Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvpat Structured version   Unicode version

Theorem l1cvpat 32329
Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 32749 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvpat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
l1cvpat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
l1cvpat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
l1cvpat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
l1cvpat.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
l1cvpat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
l1cvpat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
l1cvpat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
l1cvpat.l  |-  ( ph  ->  U C V )
l1cvpat.m  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
Assertion
Ref Expression
l1cvpat  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V )

Proof of Theorem l1cvpat
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 l1cvpat.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
2 l1cvpat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 l1cvpat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
5 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 l1cvpat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
73, 4, 5, 6islsat 32266 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Q  e.  A  <->  E. v  e.  ( V  \  {
( 0g `  W
) } ) Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } ) ) )
82, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  <->  E. v  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  W ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
91, 8mpbid 213 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  W
) `  { v } ) )
10 l1cvpat.m . 2  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
11 eldifi 3593 . . . 4  |-  ( v  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  v  e.  V
)
12 l1cvpat.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
13 lveclmod 18264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
142, 13syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
15143ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  W  e.  LMod )
16 l1cvpat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
17163ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  U  e.  S )
18 simp2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  v  e.  V )
193, 12, 4, 15, 17, 18lspsnel5 18153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  ( v  e.  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  C_  U ) )
2019notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  ( -.  v  e.  U  <->  -.  (
( LSpan `  W ) `  { v } ) 
C_  U ) )
21 l1cvpat.p . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
22 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  (LSHyp `  W )  =  (LSHyp `  W )
2323ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  W  e.  LVec )
24 l1cvpat.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U C V )
25 l1cvpat.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
263, 12, 22, 25, 2islshpcv 32328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  e.  (LSHyp `  W )  <->  ( U  e.  S  /\  U C V ) ) )
2716, 24, 26mpbir2and 930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  (LSHyp `  W ) )
28273ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  U  e.  (LSHyp `  W ) )
293, 4, 21, 22, 23, 28, 18lshpnelb 32259 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  ( -.  v  e.  U  <->  ( U  .(+) 
( ( LSpan `  W
) `  { v } ) )  =  V ) )
3029biimpd 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  ( -.  v  e.  U  ->  ( U  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  =  V ) )
3120, 30sylbird 238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  ( -.  ( ( LSpan `  W
) `  { v } )  C_  U  ->  ( U  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  { v } ) )  =  V ) )
32 sseq1 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( Q  C_  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) 
C_  U ) )
3332notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( -.  Q  C_  U 
<->  -.  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  C_  U ) )
34 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( U  .(+)  Q )  =  ( U  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
3534eqeq1d 2431 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( ( U  .(+)  Q )  =  V  <->  ( U  .(+) 
( ( LSpan `  W
) `  { v } ) )  =  V ) )
3633, 35imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( ( -.  Q  C_  U  ->  ( U  .(+) 
Q )  =  V )  <->  ( -.  (
( LSpan `  W ) `  { v } ) 
C_  U  ->  ( U  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } ) )  =  V ) ) )
37363ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  ( ( -.  Q  C_  U  -> 
( U  .(+)  Q )  =  V )  <->  ( -.  ( ( LSpan `  W
) `  { v } )  C_  U  ->  ( U  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  { v } ) )  =  V ) ) )
3831, 37mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )  ->  ( -.  Q  C_  U  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V ) )
39383exp 1204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  V  ->  ( Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  ( -.  Q  C_  U  ->  ( U  .(+) 
Q )  =  V ) ) ) )
4011, 39syl5 33 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  ( Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  ( -.  Q  C_  U  ->  ( U  .(+) 
Q )  =  V ) ) ) )
4140rexlimdv 2922 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {
( 0g `  W
) } ) Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( -.  Q  C_  U  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V ) ) )
429, 10, 41mp2d 46 1  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   0gc0g 15297   LSSumclsm 17221   LModclmod 18026   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129   LVecclvec 18260  LSAtomsclsa 32249  LSHypclsh 32250    <oLL clcv 32293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lvec 18261  df-lsatoms 32251  df-lshyp 32252  df-lcv 32294
This theorem is referenced by:  l1cvat  32330
  Copyright terms: Public domain W3C validator