Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem9 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem9 28326
 Description: Lemma for kur14 28328. Since the set is closed under closure and complement, it contains the minimal set as a subset, so also has at most elements. (Indeed , and it's not hard to prove this, but we don't need it for this proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j
kur14lem.x
kur14lem.k
kur14lem.i
kur14lem.a
kur14lem.b
kur14lem.c
kur14lem.d
kur14lem.t
kur14lem.s
Assertion
Ref Expression
kur14lem9 ;
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem kur14lem9
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kur14lem.s . . 3
2 vex 3116 . . . . . 6
32elintrab 4294 . . . . 5
4 ssun1 3667 . . . . . . . 8
5 ssun1 3667 . . . . . . . . 9
6 ssun1 3667 . . . . . . . . . 10
7 kur14lem.t . . . . . . . . . 10
86, 7sseqtr4i 3537 . . . . . . . . 9
95, 8sstri 3513 . . . . . . . 8
104, 9sstri 3513 . . . . . . 7
11 kur14lem.j . . . . . . . . . . 11
12 kur14lem.x . . . . . . . . . . . 12
1312topopn 19210 . . . . . . . . . . 11
1411, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
1514elexi 3123 . . . . . . . . 9
16 kur14lem.a . . . . . . . . 9
1715, 16ssexi 4592 . . . . . . . 8
1817tpid1 4140 . . . . . . 7
1910, 18sselii 3501 . . . . . 6
20 kur14lem.k . . . . . . . . 9
21 kur14lem.i . . . . . . . . 9
22 kur14lem.b . . . . . . . . 9
23 kur14lem.c . . . . . . . . 9
24 kur14lem.d . . . . . . . . 9
2511, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem7 28324 . . . . . . . 8
2625simprd 463 . . . . . . 7
2726rgen 2824 . . . . . 6
2825simpld 459 . . . . . . . . . 10
2915elpw2 4611 . . . . . . . . . 10
3028, 29sylibr 212 . . . . . . . . 9
3130ssriv 3508 . . . . . . . 8
3215pwex 4630 . . . . . . . . 9
3332elpw2 4611 . . . . . . . 8
3431, 33mpbir 209 . . . . . . 7
35 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
36 sseq2 3526 . . . . . . . . . . 11
3736raleqbi1dv 3066 . . . . . . . . . 10
3835, 37anbi12d 710 . . . . . . . . 9
39 eleq2 2540 . . . . . . . . 9
4038, 39imbi12d 320 . . . . . . . 8
4140rspccv 3211 . . . . . . 7
4234, 41mpi 17 . . . . . 6
4319, 27, 42mp2ani 678 . . . . 5
443, 43sylbi 195 . . . 4
4544ssriv 3508 . . 3
461, 45eqsstri 3534 . 2
4711, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem8 28325 . 2 ;
48 1nn0 10811 . . 3
49 4nn0 10814 . . 3
5048, 49deccl 10990 . 2 ;
5146, 47, 50hashsslei 12449 1 ;
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  crab 2818   cdif 3473   cun 3474   wss 3476  cpw 4010  cpr 4029  ctp 4031  cuni 4245  cint 4282   class class class wbr 4447  cfv 5588  cfn 7516  c1 9493   cle 9629  c4 10587  ;cdc 10976  chash 12373  ctop 19189  cnt 19312  ccl 19313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-top 19194  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316 This theorem is referenced by:  kur14lem10  28327
 Copyright terms: Public domain W3C validator