Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem9 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem9 27032
Description: Lemma for kur14 27034. Since the set  T is closed under closure and complement, it contains the minimal set  S as a subset, so  S also has at most  1 4 elements. (Indeed  S  =  T, and it's not hard to prove this, but we don't need it for this proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j  |-  J  e. 
Top
kur14lem.x  |-  X  = 
U. J
kur14lem.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14lem.i  |-  I  =  ( int `  J
)
kur14lem.a  |-  A  C_  X
kur14lem.b  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
kur14lem.c  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
kur14lem.d  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
kur14lem.t  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
kur14lem.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14lem9  |-  ( S  e.  Fin  /\  ( # `
 S )  <_ ; 1 4 )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    x, y, T   
x, X, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    I( x, y)    J( x, y)    K( y)

Proof of Theorem kur14lem9
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kur14lem.s . . 3  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 vex 2973 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
32elintrab 4137 . . . . 5  |-  ( s  e.  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P X ( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x )  -> 
s  e.  x ) )
4 ssun1 3516 . . . . . . . 8  |-  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  C_  ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `
 A ) } )
5 ssun1 3516 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  C_  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `
 A ) } )  u.  { ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `
 A ) ) } )
6 ssun1 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) 
C_  ( ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
7 kur14lem.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
86, 7sseqtr4i 3386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) 
C_  T
95, 8sstri 3362 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  C_  T
104, 9sstri 3362 . . . . . . 7  |-  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  C_  T
11 kur14lem.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
12 kur14lem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
1312topopn 18478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
1411, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  X  e.  J
1514elexi 2980 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
_V
16 kur14lem.a . . . . . . . . 9  |-  A  C_  X
1715, 16ssexi 4434 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
1817tpid1 3985 . . . . . . 7  |-  A  e. 
{ A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }
1910, 18sselii 3350 . . . . . 6  |-  A  e.  T
20 kur14lem.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( cls `  J
)
21 kur14lem.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( int `  J
)
22 kur14lem.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
23 kur14lem.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
24 kur14lem.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
2511, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem7 27030 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  T  ->  (
y  C_  X  /\  { ( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T ) )
2625simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  T  ->  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y ) }  C_  T )
2726rgen 2779 . . . . . 6  |-  A. y  e.  T  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
2825simpld 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  T  ->  y  C_  X )
2915elpw2 4453 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
3028, 29sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  T  ->  y  e.  ~P X )
3130ssriv 3357 . . . . . . . 8  |-  T  C_  ~P X
3215pwex 4472 . . . . . . . . 9  |-  ~P X  e.  _V
3332elpw2 4453 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ~P ~P X  <->  T 
C_  ~P X )
3431, 33mpbir 209 . . . . . . 7  |-  T  e. 
~P ~P X
35 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  T ) )
36 sseq2 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  T  ->  ( { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x  <->  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
) )
3736raleqbi1dv 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  ( A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x  <->  A. y  e.  T  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
) )
3835, 37anbi12d 705 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T ) ) )
39 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
s  e.  x  <->  s  e.  T ) )
4038, 39imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  <->  ( ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T )  -> 
s  e.  T ) ) )
4140rspccv 3067 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  ( T  e.  ~P ~P X  ->  ( ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T )  -> 
s  e.  T ) ) )
4234, 41mpi 17 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  (
( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  T )  ->  s  e.  T ) )
4319, 27, 42mp2ani 673 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  s  e.  T )
443, 43sylbi 195 . . . 4  |-  ( s  e.  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  ->  s  e.  T
)
4544ssriv 3357 . . 3  |-  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  C_  T
461, 45eqsstri 3383 . 2  |-  S  C_  T
4711, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem8 27031 . 2  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )
48 1nn0 10591 . . 3  |-  1  e.  NN0
49 4nn0 10594 . . 3  |-  4  e.  NN0
5048, 49deccl 10765 . 2  |- ; 1 4  e.  NN0
5146, 47, 50hashsslei 12172 1  |-  ( S  e.  Fin  /\  ( # `
 S )  <_ ; 1 4 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717    \ cdif 3322    u. cun 3323    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {cpr 3876   {ctp 3878   U.cuni 4088   |^|cint 4125   class class class wbr 4289   ` cfv 5415   Fincfn 7306   1c1 9279    <_ cle 9415   4c4 10369  ;cdc 10751   #chash 12099   Topctop 18457   intcnt 18580   clsccl 18581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100  df-top 18462  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584
This theorem is referenced by:  kur14lem10  27033
  Copyright terms: Public domain W3C validator