Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem9 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem9 28855
Description: Lemma for kur14 28857. Since the set  T is closed under closure and complement, it contains the minimal set  S as a subset, so  S also has at most  1 4 elements. (Indeed  S  =  T, and it's not hard to prove this, but we don't need it for this proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j  |-  J  e. 
Top
kur14lem.x  |-  X  = 
U. J
kur14lem.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14lem.i  |-  I  =  ( int `  J
)
kur14lem.a  |-  A  C_  X
kur14lem.b  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
kur14lem.c  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
kur14lem.d  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
kur14lem.t  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
kur14lem.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14lem9  |-  ( S  e.  Fin  /\  ( # `
 S )  <_ ; 1 4 )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    x, y, T   
x, X, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    I( x, y)    J( x, y)    K( y)

Proof of Theorem kur14lem9
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kur14lem.s . . 3  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 vex 3112 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
32elintrab 4300 . . . . 5  |-  ( s  e.  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P X ( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x )  -> 
s  e.  x ) )
4 ssun1 3663 . . . . . . . 8  |-  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  C_  ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `
 A ) } )
5 ssun1 3663 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  C_  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `
 A ) } )  u.  { ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `
 A ) ) } )
6 ssun1 3663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) 
C_  ( ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
7 kur14lem.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
86, 7sseqtr4i 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) 
C_  T
95, 8sstri 3508 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  C_  T
104, 9sstri 3508 . . . . . . 7  |-  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  C_  T
11 kur14lem.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
12 kur14lem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
1312topopn 19542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
1411, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  X  e.  J
1514elexi 3119 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
_V
16 kur14lem.a . . . . . . . . 9  |-  A  C_  X
1715, 16ssexi 4601 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
1817tpid1 4145 . . . . . . 7  |-  A  e. 
{ A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }
1910, 18sselii 3496 . . . . . 6  |-  A  e.  T
20 kur14lem.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( cls `  J
)
21 kur14lem.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( int `  J
)
22 kur14lem.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
23 kur14lem.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
24 kur14lem.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
2511, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem7 28853 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  T  ->  (
y  C_  X  /\  { ( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T ) )
2625simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  T  ->  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y ) }  C_  T )
2726rgen 2817 . . . . . 6  |-  A. y  e.  T  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
2825simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  T  ->  y  C_  X )
2915elpw2 4620 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
3028, 29sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  T  ->  y  e.  ~P X )
3130ssriv 3503 . . . . . . . 8  |-  T  C_  ~P X
3215pwex 4639 . . . . . . . . 9  |-  ~P X  e.  _V
3332elpw2 4620 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ~P ~P X  <->  T 
C_  ~P X )
3431, 33mpbir 209 . . . . . . 7  |-  T  e. 
~P ~P X
35 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  T ) )
36 sseq2 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  T  ->  ( { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x  <->  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
) )
3736raleqbi1dv 3062 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  ( A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x  <->  A. y  e.  T  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
) )
3835, 37anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T ) ) )
39 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
s  e.  x  <->  s  e.  T ) )
4038, 39imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  <->  ( ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T )  -> 
s  e.  T ) ) )
4140rspccv 3207 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  ( T  e.  ~P ~P X  ->  ( ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T )  -> 
s  e.  T ) ) )
4234, 41mpi 17 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  (
( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  T )  ->  s  e.  T ) )
4319, 27, 42mp2ani 678 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  s  e.  T )
443, 43sylbi 195 . . . 4  |-  ( s  e.  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  ->  s  e.  T
)
4544ssriv 3503 . . 3  |-  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  C_  T
461, 45eqsstri 3529 . 2  |-  S  C_  T
4711, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem8 28854 . 2  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )
48 1nn0 10832 . . 3  |-  1  e.  NN0
49 4nn0 10835 . . 3  |-  4  e.  NN0
5048, 49deccl 11014 . 2  |- ; 1 4  e.  NN0
5146, 47, 50hashsslei 12488 1  |-  ( S  e.  Fin  /\  ( # `
 S )  <_ ; 1 4 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {cpr 4034   {ctp 4036   U.cuni 4251   |^|cint 4288   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   Fincfn 7535   1c1 9510    <_ cle 9646   4c4 10608  ;cdc 11000   #chash 12408   Topctop 19521   intcnt 19645   clsccl 19646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409  df-top 19526  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649
This theorem is referenced by:  kur14lem10  28856
  Copyright terms: Public domain W3C validator