Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem8 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem8 28921
Description: Lemma for kur14 28924. Show that the set  T contains at most  1
4 elements. (It could be less if some of the operators take the same value for a given set, but Kuratowski showed that this upper bound of  1 4 is tight in the sense that there exist topological spaces and subsets of these spaces for which all  1 4 generated sets are distinct, and indeed the real numbers form such a topological space.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j  |-  J  e. 
Top
kur14lem.x  |-  X  = 
U. J
kur14lem.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14lem.i  |-  I  =  ( int `  J
)
kur14lem.a  |-  A  C_  X
kur14lem.b  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
kur14lem.c  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
kur14lem.d  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
kur14lem.t  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
kur14lem8  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )

Proof of Theorem kur14lem8
StepHypRef Expression
1 kur14lem.t . 2  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  =  ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  =  ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )
4 hashtplei 12506 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) } )  <_  3
)
5 hashtplei 12506 . . . 4  |-  ( { B ,  C , 
( I `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  <_ 
3 )
6 3nn0 10809 . . . 4  |-  3  e.  NN0
7 3p3e6 10665 . . . 4  |-  ( 3  +  3 )  =  6
83, 4, 5, 6, 6, 7hashunlei 12467 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  e. 
Fin  /\  ( # `  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } ) )  <_  6 )
9 hashtplei 12506 . . 3  |-  ( { ( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) } )  <_ 
3 )
10 6nn0 10812 . . 3  |-  6  e.  NN0
11 6p3e9 10674 . . 3  |-  ( 6  +  3 )  =  9
122, 8, 9, 10, 6, 11hashunlei 12467 . 2  |-  ( ( ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )  u.  { ( K `
 B ) ,  D ,  ( K `
 ( I `  A ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) )  <_  9 )
13 eqid 2454 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  =  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )
14 hashtplei 12506 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) } )  <_ 
3 )
15 hashprlei 12498 . . 3  |-  ( { ( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 { ( K `
 ( I `  C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `  A ) ) ) } )  <_  2
)
16 2nn0 10808 . . 3  |-  2  e.  NN0
17 3p2e5 10664 . . 3  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1813, 14, 15, 6, 16, 17hashunlei 12467 . 2  |-  ( ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `  B ) ) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } ) )  <_  5
)
19 9nn0 10815 . 2  |-  9  e.  NN0
20 5nn0 10811 . 2  |-  5  e.  NN0
21 9p5e14 11041 . 2  |-  ( 9  +  5 )  = ; 1
4
221, 12, 18, 19, 20, 21hashunlei 12467 1  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   {cpr 4018   {ctp 4020   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   Fincfn 7509   1c1 9482    <_ cle 9618   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   6c6 10585   9c9 10588  ;cdc 10976   #chash 12387   Topctop 19561   intcnt 19685   clsccl 19686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12388
This theorem is referenced by:  kur14lem9  28922
  Copyright terms: Public domain W3C validator