Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem8 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem8 28530
Description: Lemma for kur14 28533. Show that the set  T contains at most  1
4 elements. (It could be less if some of the operators take the same value for a given set, but Kuratowski showed that this upper bound of  1 4 is tight in the sense that there exist topological spaces and subsets of these spaces for which all  1 4 generated sets are distinct, and indeed the real numbers form such a topological space.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j  |-  J  e. 
Top
kur14lem.x  |-  X  = 
U. J
kur14lem.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14lem.i  |-  I  =  ( int `  J
)
kur14lem.a  |-  A  C_  X
kur14lem.b  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
kur14lem.c  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
kur14lem.d  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
kur14lem.t  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
kur14lem8  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )

Proof of Theorem kur14lem8
StepHypRef Expression
1 kur14lem.t . 2  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  =  ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  =  ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )
4 hashtplei 12501 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) } )  <_  3
)
5 hashtplei 12501 . . . 4  |-  ( { B ,  C , 
( I `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  <_ 
3 )
6 3nn0 10819 . . . 4  |-  3  e.  NN0
7 3p3e6 10675 . . . 4  |-  ( 3  +  3 )  =  6
83, 4, 5, 6, 6, 7hashunlei 12462 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  e. 
Fin  /\  ( # `  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } ) )  <_  6 )
9 hashtplei 12501 . . 3  |-  ( { ( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) } )  <_ 
3 )
10 6nn0 10822 . . 3  |-  6  e.  NN0
11 6p3e9 10684 . . 3  |-  ( 6  +  3 )  =  9
122, 8, 9, 10, 6, 11hashunlei 12462 . 2  |-  ( ( ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )  u.  { ( K `
 B ) ,  D ,  ( K `
 ( I `  A ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) )  <_  9 )
13 eqid 2443 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  =  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )
14 hashtplei 12501 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) } )  <_ 
3 )
15 hashprlei 12493 . . 3  |-  ( { ( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 { ( K `
 ( I `  C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `  A ) ) ) } )  <_  2
)
16 2nn0 10818 . . 3  |-  2  e.  NN0
17 3p2e5 10674 . . 3  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1813, 14, 15, 6, 16, 17hashunlei 12462 . 2  |-  ( ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `  B ) ) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } ) )  <_  5
)
19 9nn0 10825 . 2  |-  9  e.  NN0
20 5nn0 10821 . 2  |-  5  e.  NN0
21 9p5e14 11049 . 2  |-  ( 9  +  5 )  = ; 1
4
221, 12, 18, 19, 20, 21hashunlei 12462 1  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   {cpr 4016   {ctp 4018   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   Fincfn 7518   1c1 9496    <_ cle 9632   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   5c5 10594   6c6 10595   9c9 10598  ;cdc 10984   #chash 12384   Topctop 19267   intcnt 19391   clsccl 19392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-hash 12385
This theorem is referenced by:  kur14lem9  28531
  Copyright terms: Public domain W3C validator