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Theorem kur14 27268
Description: Kuratowski's closure-complement theorem. There are at most 14 sets which can be obtained by the application of the closure and complement operations to a set in a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14.x  |-  X  = 
U. J
kur14.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J, y    x, X
Allowed substitution hints:    S( x, y)    K( x, y)    X( y)

Proof of Theorem kur14
StepHypRef Expression
1 kur14.s . . . . . 6  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( A  e.  x  <->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x
) )
32anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) ) )
43rabbidv 3070 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
54inteqd 4244 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
61, 5syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  S  =  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
76eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( S  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin )
)
86fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } ) )
98breq1d 4413 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( # `  S )  <_ ; 1 4  <->  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
107, 9anbi12d 710 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
11 kur14.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
12 unieq 4210 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  U. J  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1311, 12syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  X  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1413pweqd 3976 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P X  =  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
1514pweqd 3976 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P ~P X  =  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1613sseq2d 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
17 sn0top 18738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  Top
1817elimel 3963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top
19 uniexg 6490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top  ->  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  e. 
_V )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  _V
2120elpw2 4567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  <->  A  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
2216, 21syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2322ifbid 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  =  if ( A  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) ) )
2423eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  <->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x ) )
2513difeq1d 3584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( X  \  y
)  =  ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \  y ) )
26 kur14.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( cls `  J
)
27 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( cls `  J
)  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2826, 27syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  K  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2928fveq1d 5804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( K `  y
)  =  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y ) )
3025, 29preq12d 4073 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  =  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) } )
3130sseq1d 3494 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3231ralbidv 2846 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A. y  e.  x  { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3324, 32anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  <->  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) ) )
3415, 33rabeqbidv 3073 . . . . . 6  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  {
x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3534inteqd 4244 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3635eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin ) )
3735fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  =  (
# `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } ) )
3837breq1d 4413 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4  <-> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
3936, 38anbi12d 710 . . 3  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
40 eqid 2454 . . . 4  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
41 eqid 2454 . . . 4  |-  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )  =  ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
42 eqid 2454 . . . 4  |-  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }
43 0elpw 4572 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )
4443elimel 3963 . . . . 5  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
45 elpwi 3980 . . . . 5  |-  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
4718, 40, 41, 42, 46kur14lem10 27267 . . 3  |-  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 )
4810, 39, 47dedth2h 3953 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  ( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
4948ancoms 453 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {cpr 3990   U.cuni 4202   |^|cint 4239   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   Fincfn 7423   1c1 9397    <_ cle 9533   4c4 10487  ;cdc 10869   #chash 12223   Topctop 18633   clsccl 18757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224  df-top 18638  df-topon 18641  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760
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