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Theorem kur14 27056
Description: Kuratowski's closure-complement theorem. There are at most 14 sets which can be obtained by the application of the closure and complement operations to a set in a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14.x  |-  X  = 
U. J
kur14.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J, y    x, X
Allowed substitution hints:    S( x, y)    K( x, y)    X( y)

Proof of Theorem kur14
StepHypRef Expression
1 kur14.s . . . . . 6  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( A  e.  x  <->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x
) )
32anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) ) )
43rabbidv 2959 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
54inteqd 4128 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
61, 5syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  S  =  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
76eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( S  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin )
)
86fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } ) )
98breq1d 4297 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( # `  S )  <_ ; 1 4  <->  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
107, 9anbi12d 710 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
11 kur14.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
12 unieq 4094 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  U. J  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1311, 12syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  X  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1413pweqd 3860 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P X  =  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
1514pweqd 3860 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P ~P X  =  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1613sseq2d 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
17 sn0top 18578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  Top
1817elimel 3847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top
19 uniexg 6372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top  ->  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  e. 
_V )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  _V
2120elpw2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  <->  A  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
2216, 21syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2322ifbid 3806 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  =  if ( A  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) ) )
2423eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  <->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x ) )
2513difeq1d 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( X  \  y
)  =  ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \  y ) )
26 kur14.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( cls `  J
)
27 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( cls `  J
)  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2826, 27syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  K  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2928fveq1d 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( K `  y
)  =  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y ) )
3025, 29preq12d 3957 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  =  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) } )
3130sseq1d 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3231ralbidv 2730 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A. y  e.  x  { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3324, 32anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  <->  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) ) )
3415, 33rabeqbidv 2962 . . . . . 6  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  {
x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3534inteqd 4128 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3635eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin ) )
3735fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  =  (
# `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } ) )
3837breq1d 4297 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4  <-> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
3936, 38anbi12d 710 . . 3  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
40 eqid 2438 . . . 4  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
41 eqid 2438 . . . 4  |-  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )  =  ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
42 eqid 2438 . . . 4  |-  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }
43 0elpw 4456 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )
4443elimel 3847 . . . . 5  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
45 elpwi 3864 . . . . 5  |-  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
4718, 40, 41, 42, 46kur14lem10 27055 . . 3  |-  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 )
4810, 39, 47dedth2h 3837 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  ( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
4948ancoms 453 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   ~Pcpw 3855   {csn 3872   {cpr 3874   U.cuni 4086   |^|cint 4123   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   Fincfn 7302   1c1 9275    <_ cle 9411   4c4 10365  ;cdc 10747   #chash 12095   Topctop 18473   clsccl 18597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096  df-top 18478  df-topon 18481  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600
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