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Theorem krippenlem 24045
Description: Lemma for krippen 24046. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
krippen.m  |-  M  =  ( S `  X
)
krippen.n  |-  N  =  ( S `  Y
)
krippen.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
krippen.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
krippen.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
krippen.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
krippen.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
krippen.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
krippen.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
krippen.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
krippen.2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
krippen.3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
krippen.4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
krippen.5  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
krippen.6  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
krippen.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
krippen.7  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  .<_  ( C  .-  E ) )
Assertion
Ref Expression
krippenlem  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippenlem
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 krippen.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  ( A I E ) )
3 mirval.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 mirval.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 mirval.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
6 mirval.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
8 krippen.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  P )
10 krippen.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  A  e.  P )
12 krippen.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  B  e.  P )
14 krippen.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B
) )
16 krippen.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  (≤G `  G )
17 krippen.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  .<_  ( C  .-  E ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  E ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  E  =  C )
2019oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  C
) )
2118, 20breqtrd 4461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  C ) )
223, 4, 5, 16, 7, 9, 11, 9, 13, 21legeq 23958 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  A )
233, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 13, 15, 22tgcgreq 23851 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  B )
24 krippen.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  B  =  ( M `  A ) )
2623, 22, 253eqtr3rd 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( M `  A )  =  A )
27 mirval.l . . . . . 6  |-  L  =  (LineG `  G )
28 mirval.s . . . . . 6  |-  S  =  (pInvG `  G )
29 krippen.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  X  e.  P )
31 krippen.m . . . . . 6  |-  M  =  ( S `  X
)
323, 4, 5, 27, 28, 7, 30, 31, 11mirinv 24025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  (
( M `  A
)  =  A  <->  X  =  A ) )
3326, 32mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  X  =  A )
34 krippen.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  F  e.  P )
36 krippen.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
3736adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F
) )
3837, 20eqtr3d 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  C
) )
393, 4, 5, 7, 9, 35, 9, 38axtgcgrid 23838 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  F )
40 krippen.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
4140adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  F  =  ( N `  E ) )
4219, 39, 413eqtrrd 2489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( N `  E )  =  E )
43 krippen.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
4443adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  Y  e.  P )
45 krippen.n . . . . . 6  |-  N  =  ( S `  Y
)
46 krippen.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
4746adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  E  e.  P )
483, 4, 5, 27, 28, 7, 44, 45, 47mirinv 24025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  (
( N `  E
)  =  E  <->  Y  =  E ) )
4942, 48mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  Y  =  E )
5033, 49oveq12d 6299 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( X I Y )  =  ( A I E ) )
512, 50eleqtrrd 2534 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
526adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
5352ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
548adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  C  e.  P )
55 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 C )  =  ( S `  C
)
563, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55mirf 24019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( S `  C ) : P --> P )
5743adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  P )
5856, 57ffvelrnd 6017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  Y )  e.  P
)
5958ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  C
) `  Y )  e.  P )
60 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  P )
6154ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  P )
6257ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  Y  e.  P )
63 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C ) )
643, 4, 5, 27, 28, 6, 8, 55, 43mirbtwn 24017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( S `  C
) `  Y )
I Y ) )
6564ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I Y ) )
663, 4, 5, 53, 59, 60, 61, 62, 63, 65tgbtwnexch3 23863 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( q I Y ) )
6729ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  X  e.  P )
6810adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  P )
6968ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  A  e.  P )
7012adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  P )
7170ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  e.  P )
72 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 q )  =  ( S `  q
)
7346adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  E  e.  P )
7456, 73ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  E )  e.  P
)
7534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  e.  P )
7656, 75ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  F )  e.  P
)
776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
7810ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  P )
7974adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  (
( S `  C
) `  E )  e.  P )
803, 4, 5, 77, 78, 79tgbtwntriv1 23860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  ( A I ( ( S `  C
) `  E )
) )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  =  C )
8281oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  ( A I ( ( S `  C ) `
 E ) )  =  ( C I ( ( S `  C ) `  E
) ) )
8380, 82eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  E )
) )
846ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
8510ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  P )
8674adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  (
( S `  C
) `  E )  e.  P )
878ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  P )
8846ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  E  e.  P )
89 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  E  =/=  C )
903, 4, 5, 6, 10, 8, 46, 1tgbtwncom 23857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  ( E I A ) )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( E I A ) )
923, 4, 5, 27, 28, 84, 87, 55, 88mirbtwn 24017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  E ) I E ) )
933, 4, 5, 84, 86, 87, 88, 92tgbtwncom 23857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( E I ( ( S `  C
) `  E )
) )
943, 5, 84, 88, 87, 85, 86, 89, 91, 93tgbtwnconn2 23941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  ( A  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  E ) )  \/  ( ( S `  C ) `  E
)  e.  ( C I A ) ) )
9517adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C 
.-  E ) )
963, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73mircgr 24016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( C  .-  E ) )
9795, 96breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C 
.-  ( ( S `
 C ) `  E ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 E ) ) )
993, 4, 5, 16, 84, 85, 86, 87, 85, 94, 98legbtwn 23959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  E )
) )
10083, 99pm2.61dane 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C ) `
 E ) ) )
1013, 4, 5, 52, 54, 68, 74, 100tgbtwncom 23857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  ( ( ( S `
 C ) `  E ) I C ) )
1026ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
10312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  P )
10476adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  (
( S `  C
) `  F )  e.  P )
1053, 4, 5, 102, 103, 104tgbtwntriv1 23860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  ( B I ( ( S `  C
) `  F )
) )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  =  C )
107106oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  ( B I ( ( S `  C ) `
 F ) )  =  ( C I ( ( S `  C ) `  F
) ) )
108105, 107eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  F )
) )
1096ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
11012ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  P )
11176adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  (
( S `  C
) `  F )  e.  P )
1128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  P )
11334ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  F  e.  P )
1146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
1158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  C  e.  P )
11646adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  E  e.  P )
11736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F
) )
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  F  =  C )
119118oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  C
) )
120117, 119eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  C
) )
1213, 4, 5, 114, 115, 116, 115, 120axtgcgrid 23838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  C  =  E )
122121eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  E  =  C )
123122adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  E  =  C )
124 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  E  =/=  C )
125124neneqd 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  -.  E  =  C )
126123, 125pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  -.  F  =  C )
127126neqned 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  =/=  C )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  F  =/=  C )
129 krippen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
1303, 4, 5, 6, 12, 8, 34, 129tgbtwncom 23857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F I B ) )
131130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( F I B ) )
1323, 4, 5, 27, 28, 109, 112, 55, 113mirbtwn 24017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  F ) I F ) )
1333, 4, 5, 109, 111, 112, 113, 132tgbtwncom 23857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( F I ( ( S `  C
) `  F )
) )
1343, 5, 109, 113, 112, 110, 111, 128, 131, 133tgbtwnconn2 23941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  F ) )  \/  ( ( S `  C ) `  F
)  e.  ( C I B ) ) )
13517, 14, 363brtr3d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  .-  B
)  .<_  ( C  .-  F ) )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C 
.-  F ) )
1373, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 75mircgr 24016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  F
) )  =  ( C  .-  F ) )
138136, 137breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C 
.-  ( ( S `
 C ) `  F ) ) )
139138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1403, 4, 5, 16, 109, 110, 111, 112, 110, 134, 139legbtwn 23959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  F )
) )
141108, 140pm2.61dane 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1423, 4, 5, 52, 54, 70, 76, 141tgbtwncom 23857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  ( ( ( S `
 C ) `  F ) I C ) )
14336adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F ) )
144143, 96, 1373eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1453, 4, 5, 52, 54, 74, 54, 76, 144tgcgrcomlr 23849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  E )  .-  C )  =  ( ( ( S `  C ) `  F
)  .-  C )
)
14614adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
1473, 4, 5, 52, 54, 68, 54, 70, 146tgcgrcomlr 23849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( A  .-  C )  =  ( B  .-  C ) )
148 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S `
 ( ( S `
 C ) `  Y ) )  =  ( S `  (
( S `  C
) `  Y )
)
1493, 4, 5, 27, 28, 52, 58, 148, 74mircgr 24016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y
) ) `  (
( S `  C
) `  E )
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  E ) ) )
150 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 Y )  =  ( ( S `  C ) `  Y
)
151 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 E )  =  ( ( S `  C ) `  E
)
152 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 F )  =  ( ( S `  C ) `  F
)
15340adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  =  ( N `  E ) )
15445fveq1i 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N `
 E )  =  ( ( S `  Y ) `  E
)
155153, 154syl6req 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  Y ) `  E )  =  F )
1563, 4, 5, 27, 28, 52, 55, 150, 151, 152, 54, 57, 73, 75, 155mirauto 24039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y ) ) `  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( ( S `  C
) `  F )
)
157156oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y
) ) `  (
( S `  C
) `  E )
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  F ) ) )
158149, 157eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  F ) ) )
1593, 4, 5, 52, 58, 74, 58, 76, 158tgcgrcomlr 23849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  E )  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  F
)  .-  ( ( S `  C ) `  Y ) ) )
160 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1613, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 58, 76, 70, 54, 58, 101, 142, 145, 147, 159, 160tgifscgr 23878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( A  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( B  .-  ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1623, 4, 5, 52, 68, 58, 70, 58, 161tgcgrcomlr 23849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
163162ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
16453adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
16559adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
16660adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  P
)
16763adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
168 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =  C )
169168oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y ) I ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
170167, 169eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1713, 4, 5, 164, 165, 166, 170axtgbtwnid 23841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =  q )
172171oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( q  .-  A ) )
173171oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  B )  =  ( q  .-  B ) )
174163, 172, 1733eqtr3d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
17552ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
17658ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
17754ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  C  e.  P
)
17860adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  q  e.  P
)
179 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
18068ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  A  e.  P
)
18170ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  B  e.  P
)
182 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =/=  C
)
18359adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
18463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
1853, 27, 5, 175, 183, 178, 177, 184btwncolg3 23922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) L q )  \/  ( ( S `  C ) `
 Y )  =  q ) )
186162ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
187146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
1883, 27, 5, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 4, 182, 185, 186, 187lncgr 23934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
189174, 188pm2.61dane 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
190189eqcomd 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q  .-  B )  =  ( q  .-  A ) )
191 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( A I B ) )
1923, 4, 5, 53, 69, 60, 71, 191tgbtwncom 23857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( B I A ) )
1933, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 72, 69, 71, 190, 192ismir 24018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  =  ( ( S `
 q ) `  A ) )
194193eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  q
) `  A )  =  B )
19524ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  =  ( M `  A ) )
19631fveq1i 5857 . . . . . . 7  |-  ( M `
 A )  =  ( ( S `  X ) `  A
)
197195, 196syl6req 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  X
) `  A )  =  B )
1983, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 67, 69, 71, 194, 197miduniq 24040 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  =  X )
199198oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q I Y )  =  ( X I Y ) )
20066, 199eleqtrd 2533 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
2013, 4, 5, 27, 28, 52, 57, 45, 73mirbtwn 24017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( ( N `  E ) I E ) )
202153oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( F I E )  =  ( ( N `  E
) I E ) )
203201, 202eleqtrrd 2534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( F I E ) )
2043, 4, 5, 52, 75, 57, 73, 203tgbtwncom 23857 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( E I F ) )
2053, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73, 57, 75, 204mirbtwni 24029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  Y )  e.  ( ( ( S `  C ) `  E
) I ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
2063, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 76, 70, 58, 101, 142, 205tgtrisegint 23868 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  E. q  e.  P  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )
207200, 206r19.29a 2985 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
20851, 207pm2.61dane 2761 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   distcds 14688  TarskiGcstrkg 23803  Itvcitv 23810  LineGclng 23811  cgrGccgrg 23880  ≤Gcleg 23947  pInvGcmir 24011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-s2 12795  df-s3 12796  df-trkgc 23822  df-trkgb 23823  df-trkgcb 23824  df-trkg 23828  df-cgrg 23881  df-leg 23948  df-mir 24012
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