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Theorem krippenlem 23089
Description: Lemma for krippen 23090. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
krippen.m  |-  M  =  ( S `  X
)
krippen.n  |-  N  =  ( S `  Y
)
krippen.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
krippen.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
krippen.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
krippen.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
krippen.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
krippen.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
krippen.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
krippen.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
krippen.2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
krippen.3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
krippen.4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
krippen.5  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
krippen.6  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
krippen.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
krippen.7  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  .<_  ( C  .-  E ) )
Assertion
Ref Expression
krippenlem  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippenlem
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 krippen.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  ( A I E ) )
3 mirval.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 mirval.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 mirval.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
6 mirval.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
8 krippen.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  P )
10 krippen.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  B  e.  P )
12 krippen.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  (≤G `  G )
13 krippen.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  A  e.  P )
15 krippen.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  .<_  ( C  .-  E ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  E ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  E  =  C )
1817oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  C
) )
1916, 18breqtrd 4321 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  C ) )
203, 4, 5, 12, 7, 9, 14, 9, 11, 19legeq 23029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  A )
2120oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  C )  =  ( C  .-  A
) )
22 krippen.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
2322adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B
) )
2421, 23eqtr2d 2476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  B )  =  ( C  .-  C
) )
253, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 24axtgcgrid 22929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  B )
26 krippen.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  B  =  ( M `  A ) )
2825, 20, 273eqtr3rd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( M `  A )  =  A )
29 mirval.l . . . . . 6  |-  L  =  (LineG `  G )
30 mirval.s . . . . . 6  |-  S  =  (pInvG `  G )
31 krippen.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  X  e.  P )
33 krippen.m . . . . . 6  |-  M  =  ( S `  X
)
343, 4, 5, 29, 30, 7, 32, 33, 14mirinv 23075 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  (
( M `  A
)  =  A  <->  X  =  A ) )
3528, 34mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  X  =  A )
36 krippen.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  F  e.  P )
38 krippen.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
3938adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F
) )
4039, 18eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  C
) )
413, 4, 5, 7, 9, 37, 9, 40axtgcgrid 22929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  F )
42 krippen.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
4342adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  F  =  ( N `  E ) )
4417, 41, 433eqtrrd 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( N `  E )  =  E )
45 krippen.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
4645adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  Y  e.  P )
47 krippen.n . . . . . 6  |-  N  =  ( S `  Y
)
48 krippen.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
4948adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  E  e.  P )
503, 4, 5, 29, 30, 7, 46, 47, 49mirinv 23075 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  (
( N `  E
)  =  E  <->  Y  =  E ) )
5144, 50mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  Y  =  E )
5235, 51oveq12d 6114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( X I Y )  =  ( A I E ) )
532, 52eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
546adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
5554ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
568adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  C  e.  P )
57 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 C )  =  ( S `  C
)
583, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57mirf 23069 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( S `  C ) : P --> P )
5945adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  P )
6058, 59ffvelrnd 5849 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  Y )  e.  P
)
6160ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  C
) `  Y )  e.  P )
62 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  P )
6356ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  P )
6459ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  Y  e.  P )
65 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C ) )
663, 4, 5, 29, 30, 6, 8, 57, 45mirbtwn 23067 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( S `  C
) `  Y )
I Y ) )
6766ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I Y ) )
683, 4, 5, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 67tgbtwnexch3 22952 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( q I Y ) )
6931ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  X  e.  P )
7013adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  P )
7170ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  A  e.  P )
7210adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  P )
7372ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  e.  P )
74 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 q )  =  ( S `  q
)
7548adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  E  e.  P )
7658, 75ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  E )  e.  P
)
7736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  e.  P )
7858, 77ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  F )  e.  P
)
7954adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
8013ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  P )
8176adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  (
( S `  C
) `  E )  e.  P )
823, 4, 5, 79, 80, 81tgbtwntriv1 22949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  ( A I ( ( S `  C
) `  E )
) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  =  C )
8483oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  ( A I ( ( S `  C ) `
 E ) )  =  ( C I ( ( S `  C ) `  E
) ) )
8582, 84eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  E )
) )
8654adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
8713ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  P )
8876adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  (
( S `  C
) `  E )  e.  P )
8956adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  P )
9075adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  E  e.  P )
91 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  E  =/=  C )
923, 4, 5, 29, 30, 86, 89, 57, 90mirbtwn 23067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  E ) I E ) )
933, 4, 5, 86, 88, 89, 90, 92tgbtwncom 22947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( E I ( ( S `  C
) `  E )
) )
943, 4, 5, 6, 13, 8, 48, 1tgbtwncom 22947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  C  e.  ( E I A ) )
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( E I A ) )
963, 5, 86, 90, 89, 88, 87, 91, 93, 95tgbtwnconn2 23013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  (
( ( S `  C ) `  E
)  e.  ( C I A )  \/  A  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  E ) ) ) )
9796orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  ( A  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  E ) )  \/  ( ( S `  C ) `  E
)  e.  ( C I A ) ) )
9815adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C 
.-  E ) )
993, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57, 75mircgr 23066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( C  .-  E ) )
10098, 99breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C 
.-  ( ( S `
 C ) `  E ) ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 E ) ) )
1023, 4, 5, 12, 86, 87, 88, 89, 87, 97, 101legbtwn 23030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  E )
) )
10385, 102pm2.61dane 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C ) `
 E ) ) )
1043, 4, 5, 54, 56, 70, 76, 103tgbtwncom 22947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  ( ( ( S `
 C ) `  E ) I C ) )
10554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
10610ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  P )
10778adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  (
( S `  C
) `  F )  e.  P )
1083, 4, 5, 105, 106, 107tgbtwntriv1 22949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  ( B I ( ( S `  C
) `  F )
) )
109 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  =  C )
110109oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  ( B I ( ( S `  C ) `
 F ) )  =  ( C I ( ( S `  C ) `  F
) ) )
111108, 110eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  F )
) )
11254adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
11310ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  P )
11478adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  (
( S `  C
) `  F )  e.  P )
11556adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  P )
11677adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  F  e.  P )
1176adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
1188adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  C  e.  P )
11948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  E  e.  P )
12038adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F
) )
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  F  =  C )
122121oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  C
) )
123120, 122eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  C
) )
1243, 4, 5, 117, 118, 119, 118, 123axtgcgrid 22929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  C  =  E )
125124eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  E  =  C )
126125adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  E  =  C )
127 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  E  =/=  C )
128127neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  -.  E  =  C )
129126, 128pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  -.  F  =  C )
130129neneqad 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  =/=  C )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  F  =/=  C )
1323, 4, 5, 29, 30, 112, 115, 57, 116mirbtwn 23067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  F ) I F ) )
1333, 4, 5, 112, 114, 115, 116, 132tgbtwncom 22947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( F I ( ( S `  C
) `  F )
) )
134 krippen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
1353, 4, 5, 6, 10, 8, 36, 134tgbtwncom 22947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F I B ) )
136135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( F I B ) )
1373, 5, 112, 116, 115, 114, 113, 131, 133, 136tgbtwnconn2 23013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  (
( ( S `  C ) `  F
)  e.  ( C I B )  \/  B  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  F ) ) ) )
138137orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  F ) )  \/  ( ( S `  C ) `  F
)  e.  ( C I B ) ) )
13915, 22, 383brtr3d 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  .-  B
)  .<_  ( C  .-  F ) )
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C 
.-  F ) )
1413, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57, 77mircgr 23066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  F
) )  =  ( C  .-  F ) )
142140, 141breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C 
.-  ( ( S `
 C ) `  F ) ) )
143142adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1443, 4, 5, 12, 112, 113, 114, 115, 113, 138, 143legbtwn 23030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  F )
) )
145111, 144pm2.61dane 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1463, 4, 5, 54, 56, 72, 78, 145tgbtwncom 22947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  ( ( ( S `
 C ) `  F ) I C ) )
14738adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F ) )
148147, 99, 1413eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1493, 4, 5, 54, 56, 76, 56, 78, 148tgcgrcomlr 22939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  E )  .-  C )  =  ( ( ( S `  C ) `  F
)  .-  C )
)
15022adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
1513, 4, 5, 54, 56, 70, 56, 72, 150tgcgrcomlr 22939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( A  .-  C )  =  ( B  .-  C ) )
152 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S `
 ( ( S `
 C ) `  Y ) )  =  ( S `  (
( S `  C
) `  Y )
)
1533, 4, 5, 29, 30, 54, 60, 152, 76mircgr 23066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y
) ) `  (
( S `  C
) `  E )
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  E ) ) )
154 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 Y )  =  ( ( S `  C ) `  Y
)
155 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 E )  =  ( ( S `  C ) `  E
)
156 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 F )  =  ( ( S `  C ) `  F
)
15742adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  =  ( N `  E ) )
15847fveq1i 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N `
 E )  =  ( ( S `  Y ) `  E
)
159157, 158syl6req 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  Y ) `  E )  =  F )
1603, 4, 5, 29, 30, 54, 57, 154, 155, 156, 56, 59, 75, 77, 159mirauto 23083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y ) ) `  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( ( S `  C
) `  F )
)
161160oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y
) ) `  (
( S `  C
) `  E )
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  F ) ) )
162153, 161eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  F ) ) )
1633, 4, 5, 54, 60, 76, 60, 78, 162tgcgrcomlr 22939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  E )  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  F
)  .-  ( ( S `  C ) `  Y ) ) )
164 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1653, 4, 5, 54, 76, 70, 56, 60, 78, 72, 56, 60, 104, 146, 149, 151, 163, 164tgifscgr 22966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( A  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( B  .-  ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1663, 4, 5, 54, 70, 60, 72, 60, 165tgcgrcomlr 22939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
167166ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
16855adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
16961adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
17062adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  P
)
17165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
172 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =  C )
173172oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y ) I ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
174171, 173eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1753, 4, 5, 168, 169, 170, 174axtgbtwnid 22932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =  q )
176175oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( q  .-  A ) )
177175oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  B )  =  ( q  .-  B ) )
178167, 176, 1773eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
17954ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
18060ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
18156ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  C  e.  P
)
18262adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  q  e.  P
)
183 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
18470ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  A  e.  P
)
18572ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  B  e.  P
)
186 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =/=  C
)
18761adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
18865adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
1893, 29, 5, 179, 187, 182, 181, 188btwncolg3 22996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) L q )  \/  ( ( S `  C ) `
 Y )  =  q ) )
190166ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
191150ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
1923, 29, 5, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 4, 186, 189, 190, 191lncgr 23006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
193178, 192pm2.61dane 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
194193eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q  .-  B )  =  ( q  .-  A ) )
195 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( A I B ) )
1963, 4, 5, 55, 71, 62, 73, 195tgbtwncom 22947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( B I A ) )
1973, 4, 5, 29, 30, 55, 62, 74, 71, 73, 194, 196ismir 23068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  =  ( ( S `
 q ) `  A ) )
198197eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  q
) `  A )  =  B )
19926ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  =  ( M `  A ) )
20033fveq1i 5697 . . . . . . 7  |-  ( M `
 A )  =  ( ( S `  X ) `  A
)
201199, 200syl6req 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  X
) `  A )  =  B )
2023, 4, 5, 29, 30, 55, 62, 69, 71, 73, 198, 201miduniq 23084 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  =  X )
203202oveq1d 6111 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q I Y )  =  ( X I Y ) )
20468, 203eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
2053, 4, 5, 29, 30, 54, 59, 47, 75mirbtwn 23067 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( ( N `  E ) I E ) )
206157oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( F I E )  =  ( ( N `  E
) I E ) )
207205, 206eleqtrrd 2520 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( F I E ) )
2083, 4, 5, 54, 77, 59, 75, 207tgbtwncom 22947 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( E I F ) )
2093, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57, 75, 59, 77, 208mirbtwni 23079 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  Y )  e.  ( ( ( S `  C ) `  E
) I ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
2103, 4, 5, 54, 76, 70, 56, 78, 72, 60, 104, 146, 209tgtrisegint 22957 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  E. q  e.  P  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )
211204, 210r19.29a 2867 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
21253, 211pm2.61dane 2694 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   distcds 14252  TarskiGcstrkg 22894  Itvcitv 22902  LineGclng 22903  cgrGccgrg 22968  ≤Gcleg 23018  pInvGcmir 23060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-s1 12237  df-s2 12480  df-s3 12481  df-trkgc 22914  df-trkgb 22915  df-trkgcb 22916  df-trkg 22921  df-cgrg 22969  df-leg 23019  df-mir 23061
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