Theorem krippenlem 23803

Description: Lemma for krippen 23804. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	|- P = ( Base ` G )
mirval.d	|- .- = ( dist ` G )
mirval.i	|- I = (Itv ` G )
mirval.l	|- L = (LineG ` G )
mirval.s	|- S = (pInvG ` G )
mirval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
krippen.m	|- M = ( S ` X )
krippen.n	|- N = ( S ` Y )
krippen.a	|- ( ph -> A e. P )
krippen.b	|- ( ph -> B e. P )
krippen.c	|- ( ph -> C e. P )
krippen.e	|- ( ph -> E e. P )
krippen.f	|- ( ph -> F e. P )
krippen.x	|- ( ph -> X e. P )
krippen.y	|- ( ph -> Y e. P )
krippen.1	|- ( ph -> C e. ( A I E ) )
krippen.2	|- ( ph -> C e. ( B I F ) )
krippen.3	|- ( ph -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
krippen.4	|- ( ph -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
krippen.5	|- ( ph -> B = ( M ` A ) )
krippen.6	|- ( ph -> F = ( N ` E ) )
krippen.l	|- .<_ = (≤G ` G )
krippen.7	|- ( ph -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )

Assertion

Ref	Expression
krippenlem	|- ( ph -> C e. ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippenlem

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krippen.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( A I E ) )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. ( A I E ) )
3		mirval.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
4		mirval.d	. . . . . . 7 |- .- = ( dist ` G )
5		mirval.i	. . . . . . 7 |- I = (Itv ` G )
6		mirval.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> G e. TarskiG )
8		krippen.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. P )
9	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. P )
10		krippen.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. P )
11	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> B e. P )
12		krippen.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = (≤G ` G )
13		krippen.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. P )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E = C ) -> A e. P )
15		krippen.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
17		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ E = C ) -> E = C )
18	17	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- C ) )
19	16, 18	breqtrd 4471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- C ) )
20	3, 4, 5, 12, 7, 9, 14, 9, 11, 19	legeq 23735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = A )
21	20	oveq2d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- C ) = ( C .- A ) )
22		krippen.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
23	22	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
24	21, 23	eqtr2d 2509	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- B ) = ( C .- C ) )
25	3, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 24	axtgcgrid 23616	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = B )
26		krippen.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( M ` A ) )
27	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> B = ( M ` A ) )
28	25, 20, 27	3eqtr3rd 2517	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( M ` A ) = A )
29		mirval.l	. . . . . 6 |- L = (LineG ` G )
30		mirval.s	. . . . . 6 |- S = (pInvG ` G )
31		krippen.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. P )
32	31	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> X e. P )
33		krippen.m	. . . . . 6 |- M = ( S ` X )
34	3, 4, 5, 29, 30, 7, 32, 33, 14	mirinv 23788	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( ( M ` A ) = A <-> X = A ) )
35	28, 34	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = C ) -> X = A )
36		krippen.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. P )
37	36	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> F e. P )
38		krippen.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
39	38	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
40	39, 18	eqtr3d 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- F ) = ( C .- C ) )
41	3, 4, 5, 7, 9, 37, 9, 40	axtgcgrid 23616	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = F )
42		krippen.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( N ` E ) )
43	42	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> F = ( N ` E ) )
44	17, 41, 43	3eqtrrd 2513	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( N ` E ) = E )
45		krippen.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. P )
46	45	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> Y e. P )
47		krippen.n	. . . . . 6 |- N = ( S ` Y )
48		krippen.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. P )
49	48	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> E e. P )
50	3, 4, 5, 29, 30, 7, 46, 47, 49	mirinv 23788	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( ( N ` E ) = E <-> Y = E ) )
51	44, 50	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = C ) -> Y = E )
52	35, 51	oveq12d 6302	. . 3 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( X I Y ) = ( A I E ) )
53	2, 52	eleqtrrd 2558	. 2 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. ( X I Y ) )
54	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> G e. TarskiG )
55	54	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> G e. TarskiG )
56	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> C e. P )
57		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( S ` C ) = ( S ` C )
58	3, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57	mirf 23782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( S ` C ) : P --> P )
59	45	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. P )
60	58, 59	ffvelrnd 6022	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
61	60	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
62		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. P )
63	56	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. P )
64	59	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> Y e. P )
65		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
66	3, 4, 5, 29, 30, 6, 8, 57, 45	mirbtwn 23780	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I Y ) )
67	66	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I Y ) )
68	3, 4, 5, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 67	tgbtwnexch3 23641	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( q I Y ) )
69	31	ad3antrrr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> X e. P )
70	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. P )
71	70	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> A e. P )
72	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. P )
73	72	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B e. P )
74		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( S ` q ) = ( S ` q )
75	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> E e. P )
76	58, 75	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
77	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F e. P )
78	58, 77	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
79	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> G e. TarskiG )
80	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. P )
81	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
82	3, 4, 5, 79, 80, 81	tgbtwntriv1 23638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. ( A I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
83		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A = C )
84	83	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> ( A I ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
85	82, 84	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
86	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> G e. TarskiG )
87	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> A e. P )
88	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
89	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. P )
90	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> E e. P )
91		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> E =/= C )
92	3, 4, 5, 29, 30, 86, 89, 57, 90	mirbtwn 23780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I E ) )
93	3, 4, 5, 86, 88, 89, 90, 92	tgbtwncom 23635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( E I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
94	3, 4, 5, 6, 13, 8, 48, 1	tgbtwncom 23635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C e. ( E I A ) )
95	94	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( E I A ) )
96	3, 5, 86, 90, 89, 88, 87, 91, 93, 95	tgbtwnconn2 23718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` E ) e. ( C I A ) \/ A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) ) )
97	96	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) \/ ( ( S ` C ) ` E ) e. ( C I A ) ) )
98	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
99	3, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57, 75	mircgr 23779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C .- E ) )
100	98, 99	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
101	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
102	3, 4, 5, 12, 86, 87, 88, 89, 87, 97, 101	legbtwn 23736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
103	85, 102	pm2.61dane 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
104	3, 4, 5, 54, 56, 70, 76, 103	tgbtwncom 23635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I C ) )
105	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> G e. TarskiG )
106	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. P )
107	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
108	3, 4, 5, 105, 106, 107	tgbtwntriv1 23638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. ( B I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
109		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B = C )
110	109	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> ( B I ( ( S ` C ) ` F ) ) = ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
111	108, 110	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
112	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> G e. TarskiG )
113	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> B e. P )
114	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
115	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. P )
116	77	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> F e. P )
117	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> G e. TarskiG )
118	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> C e. P )
119	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> E e. P )
120	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
121		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ F = C ) -> F = C )
122	121	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- F ) = ( C .- C ) )
123	120, 122	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- C ) )
124	3, 4, 5, 117, 118, 119, 118, 123	axtgcgrid 23616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> C = E )
125	124	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ F = C ) -> E = C )
126	125	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> E = C )
127		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> E =/= C )
128	127	neneqd 2669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> -. E = C )
129	126, 128	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> -. F = C )
130	129	neqned 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F =/= C )
131	130	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> F =/= C )
132	3, 4, 5, 29, 30, 112, 115, 57, 116	mirbtwn 23780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` F ) I F ) )
133	3, 4, 5, 112, 114, 115, 116, 132	tgbtwncom 23635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( F I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
134		krippen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. ( B I F ) )
135	3, 4, 5, 6, 10, 8, 36, 134	tgbtwncom 23635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C e. ( F I B ) )
136	135	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( F I B ) )
137	3, 5, 112, 116, 115, 114, 113, 131, 133, 136	tgbtwnconn2 23718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` F ) e. ( C I B ) \/ B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) ) )
138	137	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) \/ ( ( S ` C ) ` F ) e. ( C I B ) ) )
139	15, 22, 38	3brtr3d 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C .- B ) .<_ ( C .- F ) )
140	139	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- F ) )
141	3, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57, 77	mircgr 23779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) = ( C .- F ) )
142	140, 141	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
143	142	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
144	3, 4, 5, 12, 112, 113, 114, 115, 113, 138, 143	legbtwn 23736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
145	111, 144	pm2.61dane 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
146	3, 4, 5, 54, 56, 72, 78, 145	tgbtwncom 23635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. ( ( ( S ` C ) ` F ) I C ) )
147	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
148	147, 99, 141	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
149	3, 4, 5, 54, 56, 76, 56, 78, 148	tgcgrcomlr 23627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` E ) .- C ) = ( ( ( S ` C ) ` F ) .- C ) )
150	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
151	3, 4, 5, 54, 56, 70, 56, 72, 150	tgcgrcomlr 23627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( A .- C ) = ( B .- C ) )
152		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) )
153	3, 4, 5, 29, 30, 54, 60, 152, 76	mircgr 23779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
154		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` Y ) = ( ( S ` C ) ` Y )
155		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` E ) = ( ( S ` C ) ` E )
156		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` F ) = ( ( S ` C ) ` F )
157	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F = ( N ` E ) )
158	47	fveq1i 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N ` E ) = ( ( S ` Y ) ` E )
159	157, 158	syl6req 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` Y ) ` E ) = F )
160	3, 4, 5, 29, 30, 54, 57, 154, 155, 156, 56, 59, 75, 77, 159	mirauto 23797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( ( S ` C ) ` F ) )
161	160	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
162	153, 161	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
163	3, 4, 5, 54, 60, 76, 60, 78, 162	tgcgrcomlr 23627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` E ) .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( ( ( S ` C ) ` F ) .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
164		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( C .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
165	3, 4, 5, 54, 76, 70, 56, 60, 78, 72, 56, 60, 104, 146, 149, 151, 163, 164	tgifscgr 23656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( A .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( B .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
166	3, 4, 5, 54, 70, 60, 72, 60, 165	tgcgrcomlr 23627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
167	166	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
168	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> G e. TarskiG )
169	61	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
170	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. P )
171	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
172		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) = C )
173	172	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) I ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
174	171, 173	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
175	3, 4, 5, 168, 169, 170, 174	axtgbtwnid 23619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) = q )
176	175	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( q .- A ) )
177	175	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) = ( q .- B ) )
178	167, 176, 177	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
179	54	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> G e. TarskiG )
180	60	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
181	56	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> C e. P )
182	62	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> q e. P )
183		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
184	70	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> A e. P )
185	72	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> B e. P )
186		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C )
187	61	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
188	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
189	3, 29, 5, 179, 187, 182, 181, 188	btwncolg3 23700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) L q ) \/ ( ( S ` C ) ` Y ) = q ) )
190	166	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
191	150	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
192	3, 29, 5, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 4, 186, 189, 190, 191	lncgr 23711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
193	178, 192	pm2.61dane 2785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
194	193	eqcomd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q .- B ) = ( q .- A ) )
195		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( A I B ) )
196	3, 4, 5, 55, 71, 62, 73, 195	tgbtwncom 23635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( B I A ) )
197	3, 4, 5, 29, 30, 55, 62, 74, 71, 73, 194, 196	ismir 23781	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B = ( ( S ` q ) ` A ) )
198	197	eqcomd 2475	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` q ) ` A ) = B )
199	26	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B = ( M ` A ) )
200	33	fveq1i 5867	. . . . . . 7 |- ( M ` A ) = ( ( S ` X ) ` A )
201	199, 200	syl6req 2525	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` X ) ` A ) = B )
202	3, 4, 5, 29, 30, 55, 62, 69, 71, 73, 198, 201	miduniq 23798	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q = X )
203	202	oveq1d 6299	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q I Y ) = ( X I Y ) )
204	68, 203	eleqtrd 2557	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( X I Y ) )
205	3, 4, 5, 29, 30, 54, 59, 47, 75	mirbtwn 23780	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( ( N ` E ) I E ) )
206	157	oveq1d 6299	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( F I E ) = ( ( N ` E ) I E ) )
207	205, 206	eleqtrrd 2558	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( F I E ) )
208	3, 4, 5, 54, 77, 59, 75, 207	tgbtwncom 23635	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( E I F ) )
209	3, 4, 5, 29, 30, 54, 56, 57, 75, 59, 77, 208	mirbtwni 23792	. . . 4 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
210	3, 4, 5, 54, 76, 70, 56, 78, 72, 60, 104, 146, 209	tgtrisegint 23646	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> E. q e. P ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) )
211	204, 210	r19.29a 3003	. 2 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> C e. ( X I Y ) )
212	53, 211	pm2.61dane 2785	1 |- ( ph -> C e. ( X I Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   distcds 14564  TarskiGcstrkg 23581  Itvcitv 23588  LineGclng 23589  cgrGccgrg 23658  ≤Gcleg 23724  pInvGcmir 23774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-s2 12776  df-s3 12777  df-trkgc 23600  df-trkgb 23601  df-trkgcb 23602  df-trkg 23606  df-cgrg 23659  df-leg 23725  df-mir 23775

This theorem is referenced by:  krippen  23804