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Theorem krippenlem 24735
Description: Lemma for krippen 24736. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
krippen.m  |-  M  =  ( S `  X
)
krippen.n  |-  N  =  ( S `  Y
)
krippen.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
krippen.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
krippen.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
krippen.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
krippen.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
krippen.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
krippen.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
krippen.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
krippen.2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
krippen.3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
krippen.4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
krippen.5  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
krippen.6  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
krippen.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
krippen.7  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  .<_  ( C  .-  E ) )
Assertion
Ref Expression
krippenlem  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippenlem
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 krippen.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
21adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  ( A I E ) )
3 mirval.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 mirval.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 mirval.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
6 mirval.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
8 krippen.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
98adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  P )
10 krippen.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  A  e.  P )
12 krippen.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1312adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  B  e.  P )
14 krippen.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
1514adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B
) )
16 krippen.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  (≤G `  G )
17 krippen.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  .<_  ( C  .-  E ) )
1817adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  E ) )
19 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  E  =  C )
2019oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  C
) )
2118, 20breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  C ) )
223, 4, 5, 16, 7, 9, 11, 9, 13, 21legeq 24638 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  A )
233, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 13, 15, 22tgcgreq 24526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  B )
24 krippen.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
2524adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  B  =  ( M `  A ) )
2623, 22, 253eqtr3rd 2494 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( M `  A )  =  A )
27 mirval.l . . . . . 6  |-  L  =  (LineG `  G )
28 mirval.s . . . . . 6  |-  S  =  (pInvG `  G )
29 krippen.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
3029adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  X  e.  P )
31 krippen.m . . . . . 6  |-  M  =  ( S `  X
)
323, 4, 5, 27, 28, 7, 30, 31, 11mirinv 24711 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  (
( M `  A
)  =  A  <->  X  =  A ) )
3326, 32mpbid 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  X  =  A )
34 krippen.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
3534adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  F  e.  P )
36 krippen.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
3736adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F
) )
3837, 20eqtr3d 2487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  C
) )
393, 4, 5, 7, 9, 35, 9, 38axtgcgrid 24511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  =  F )
40 krippen.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
4140adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  F  =  ( N `  E ) )
4219, 39, 413eqtrrd 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( N `  E )  =  E )
43 krippen.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
4443adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  Y  e.  P )
45 krippen.n . . . . . 6  |-  N  =  ( S `  Y
)
46 krippen.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
4746adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  E  e.  P )
483, 4, 5, 27, 28, 7, 44, 45, 47mirinv 24711 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  (
( N `  E
)  =  E  <->  Y  =  E ) )
4942, 48mpbid 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  Y  =  E )
5033, 49oveq12d 6308 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  ( X I Y )  =  ( A I E ) )
512, 50eleqtrrd 2532 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =  C )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
526adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
5352ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
548adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  C  e.  P )
55 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 C )  =  ( S `  C
)
563, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55mirf 24705 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( S `  C ) : P --> P )
5743adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  P )
5856, 57ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  Y )  e.  P
)
5958ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  C
) `  Y )  e.  P )
60 simplr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  P )
6154ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  P )
6257ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  Y  e.  P )
63 simprl 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C ) )
643, 4, 5, 27, 28, 6, 8, 55, 43mirbtwn 24703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( S `  C
) `  Y )
I Y ) )
6564ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I Y ) )
663, 4, 5, 53, 59, 60, 61, 62, 63, 65tgbtwnexch3 24538 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( q I Y ) )
6729ad3antrrr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  X  e.  P )
6810adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  P )
6968ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  A  e.  P )
7012adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  P )
7170ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  e.  P )
72 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 q )  =  ( S `  q
)
7346adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  E  e.  P )
7456, 73ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  E )  e.  P
)
7534adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  e.  P )
7656, 75ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  F )  e.  P
)
776ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
7810ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  P )
7974adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  (
( S `  C
) `  E )  e.  P )
803, 4, 5, 77, 78, 79tgbtwntriv1 24535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  ( A I ( ( S `  C
) `  E )
) )
81 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  =  C )
8281oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  ( A I ( ( S `  C ) `
 E ) )  =  ( C I ( ( S `  C ) `  E
) ) )
8380, 82eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  E )
) )
846ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
8510ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  P )
8674adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  (
( S `  C
) `  E )  e.  P )
878ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  P )
8846ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  E  e.  P )
89 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  E  =/=  C )
903, 4, 5, 6, 10, 8, 46, 1tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  ( E I A ) )
9190ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( E I A ) )
923, 4, 5, 27, 28, 84, 87, 55, 88mirbtwn 24703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  E ) I E ) )
933, 4, 5, 84, 86, 87, 88, 92tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( E I ( ( S `  C
) `  E )
) )
943, 5, 84, 88, 87, 85, 86, 89, 91, 93tgbtwnconn2 24621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  ( A  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  E ) )  \/  ( ( S `  C ) `  E
)  e.  ( C I A ) ) )
9517adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C 
.-  E ) )
963, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73mircgr 24702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( C  .-  E ) )
9795, 96breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C 
.-  ( ( S `
 C ) `  E ) ) )
9897adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  .<_  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 E ) ) )
993, 4, 5, 16, 84, 85, 86, 87, 85, 94, 98legbtwn 24639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  E )
) )
10083, 99pm2.61dane 2711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  ( C I ( ( S `  C ) `
 E ) ) )
1013, 4, 5, 52, 54, 68, 74, 100tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  A  e.  ( ( ( S `
 C ) `  E ) I C ) )
1026ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
10312ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  P )
10476adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  (
( S `  C
) `  F )  e.  P )
1053, 4, 5, 102, 103, 104tgbtwntriv1 24535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  ( B I ( ( S `  C
) `  F )
) )
106 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  =  C )
107106oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  ( B I ( ( S `  C ) `
 F ) )  =  ( C I ( ( S `  C ) `  F
) ) )
108105, 107eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  F )
) )
1096ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
11012ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  P )
11176adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  (
( S `  C
) `  F )  e.  P )
1128ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  P )
11334ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  F  e.  P )
1146adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
1158adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  C  e.  P )
11646adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  E  e.  P )
11736adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F
) )
118 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  F  =  C )
119118oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  C
) )
120117, 119eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  C
) )
1213, 4, 5, 114, 115, 116, 115, 120axtgcgrid 24511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  C  =  E )
122121eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  F  =  C )  ->  E  =  C )
123122adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  E  =  C )
124 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  E  =/=  C )
125124neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  F  =  C )  ->  -.  E  =  C )
126123, 125pm2.65da 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  -.  F  =  C )
127126neqned 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  =/=  C )
128127adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  F  =/=  C )
129 krippen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
1303, 4, 5, 6, 12, 8, 34, 129tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F I B ) )
131130ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( F I B ) )
1323, 4, 5, 27, 28, 109, 112, 55, 113mirbtwn 24703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  F ) I F ) )
1333, 4, 5, 109, 111, 112, 113, 132tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  ( F I ( ( S `  C
) `  F )
) )
1343, 5, 109, 113, 112, 110, 111, 128, 131, 133tgbtwnconn2 24621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  e.  ( C I ( ( S `
 C ) `  F ) )  \/  ( ( S `  C ) `  F
)  e.  ( C I B ) ) )
13517, 14, 363brtr3d 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  .-  B
)  .<_  ( C  .-  F ) )
136135adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C 
.-  F ) )
1373, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 75mircgr 24702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  F
) )  =  ( C  .-  F ) )
138136, 137breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C 
.-  ( ( S `
 C ) `  F ) ) )
139138adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  .-  B )  .<_  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1403, 4, 5, 16, 109, 110, 111, 112, 110, 134, 139legbtwn 24639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C
) `  F )
) )
141108, 140pm2.61dane 2711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  ( C I ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1423, 4, 5, 52, 54, 70, 76, 141tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  B  e.  ( ( ( S `
 C ) `  F ) I C ) )
14336adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F ) )
144143, 96, 1373eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
1453, 4, 5, 52, 54, 74, 54, 76, 144tgcgrcomlr 24524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  E )  .-  C )  =  ( ( ( S `  C ) `  F
)  .-  C )
)
14614adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
1473, 4, 5, 52, 54, 68, 54, 70, 146tgcgrcomlr 24524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( A  .-  C )  =  ( B  .-  C ) )
148 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S `
 ( ( S `
 C ) `  Y ) )  =  ( S `  (
( S `  C
) `  Y )
)
1493, 4, 5, 27, 28, 52, 58, 148, 74mircgr 24702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y
) ) `  (
( S `  C
) `  E )
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  E ) ) )
150 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 Y )  =  ( ( S `  C ) `  Y
)
151 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 E )  =  ( ( S `  C ) `  E
)
152 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S `  C ) `
 F )  =  ( ( S `  C ) `  F
)
15340adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  F  =  ( N `  E ) )
15445fveq1i 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N `
 E )  =  ( ( S `  Y ) `  E
)
155153, 154syl6req 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  Y ) `  E )  =  F )
1563, 4, 5, 27, 28, 52, 55, 150, 151, 152, 54, 57, 73, 75, 155mirauto 24729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y ) ) `  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( ( S `  C
) `  F )
)
157156oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  ( ( S `  C ) `  Y
) ) `  (
( S `  C
) `  E )
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  F ) ) )
158149, 157eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  ( ( S `  C ) `  E
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  ( ( S `  C ) `  F ) ) )
1593, 4, 5, 52, 58, 74, 58, 76, 158tgcgrcomlr 24524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  E )  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  F
)  .-  ( ( S `  C ) `  Y ) ) )
160 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( C  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( C  .-  ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1613, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 58, 76, 70, 54, 58, 101, 142, 145, 147, 159, 160tgifscgr 24553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( A  .-  ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( B  .-  ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1623, 4, 5, 52, 68, 58, 70, 58, 161tgcgrcomlr 24524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( (
( S `  C
) `  Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
163162ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
16453adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
16559adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
16660adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  P
)
16763adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
168 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =  C )
169168oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y ) I ( ( S `  C ) `  Y
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
170167, 169eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I ( ( S `  C ) `
 Y ) ) )
1713, 4, 5, 164, 165, 166, 170axtgbtwnid 24514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =  q )
172171oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( q  .-  A ) )
173171oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  B )  =  ( q  .-  B ) )
174163, 172, 1733eqtr3d 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =  C )  ->  ( q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
17552ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
17658ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
17754ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  C  e.  P
)
17860adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  q  e.  P
)
179 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
18068ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  A  e.  P
)
18170ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  B  e.  P
)
182 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  =/=  C
)
18359adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( S `
 C ) `  Y )  e.  P
)
18463adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C ) )
1853, 27, 5, 175, 183, 178, 177, 184btwncolg3 24602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( C  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) L q )  \/  ( ( S `  C ) `
 Y )  =  q ) )
186162ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 Y )  .-  A )  =  ( ( ( S `  C ) `  Y
)  .-  B )
)
187146ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
1883, 27, 5, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 4, 182, 185, 186, 187lncgr 24614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P
)  /\  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  /\  ( ( S `  C ) `  Y
)  =/=  C )  ->  ( q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
189174, 188pm2.61dane 2711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q  .-  A )  =  ( q  .-  B ) )
190189eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q  .-  B )  =  ( q  .-  A ) )
191 simprr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( A I B ) )
1923, 4, 5, 53, 69, 60, 71, 191tgbtwncom 24532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  e.  ( B I A ) )
1933, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 72, 69, 71, 190, 192ismir 24704 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  =  ( ( S `
 q ) `  A ) )
194193eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  q
) `  A )  =  B )
19524ad3antrrr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  B  =  ( M `  A ) )
19631fveq1i 5866 . . . . . . 7  |-  ( M `
 A )  =  ( ( S `  X ) `  A
)
197195, 196syl6req 2502 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
( S `  X
) `  A )  =  B )
1983, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 67, 69, 71, 194, 197miduniq 24730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  q  =  X )
199198oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  (
q I Y )  =  ( X I Y ) )
20066, 199eleqtrd 2531 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =/=  C )  /\  q  e.  P )  /\  ( q  e.  ( ( ( S `  C ) `  Y
) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
2013, 4, 5, 27, 28, 52, 57, 45, 73mirbtwn 24703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( ( N `  E ) I E ) )
202153oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( F I E )  =  ( ( N `  E
) I E ) )
203201, 202eleqtrrd 2532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( F I E ) )
2043, 4, 5, 52, 75, 57, 73, 203tgbtwncom 24532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  Y  e.  ( E I F ) )
2053, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73, 57, 75, 204mirbtwni 24716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  ( ( S `  C ) `  Y )  e.  ( ( ( S `  C ) `  E
) I ( ( S `  C ) `
 F ) ) )
2063, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 76, 70, 58, 101, 142, 205tgtrisegint 24543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  E. q  e.  P  ( q  e.  ( ( ( S `
 C ) `  Y ) I C )  /\  q  e.  ( A I B ) ) )
207200, 206r19.29a 2932 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  C )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
20851, 207pm2.61dane 2711 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  cgrGccgrg 24555  ≤Gcleg 24627  pInvGcmir 24697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-mir 24698
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