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Theorem krippenlem 24814
 Description: Lemma for krippen 24815. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p
mirval.d
mirval.i Itv
mirval.l LineG
mirval.s pInvG
mirval.g TarskiG
krippen.m
krippen.n
krippen.a
krippen.b
krippen.c
krippen.e
krippen.f
krippen.x
krippen.y
krippen.1
krippen.2
krippen.3
krippen.4
krippen.5
krippen.6
krippen.l ≤G
krippen.7
Assertion
Ref Expression
krippenlem

Proof of Theorem krippenlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 krippen.1 . . . 4
3 mirval.p . . . . . . 7
4 mirval.d . . . . . . 7
5 mirval.i . . . . . . 7 Itv
6 mirval.g . . . . . . . 8 TarskiG
76adantr 472 . . . . . . 7 TarskiG
8 krippen.c . . . . . . . 8
98adantr 472 . . . . . . 7
10 krippen.a . . . . . . . 8
1110adantr 472 . . . . . . 7
12 krippen.b . . . . . . . 8
1312adantr 472 . . . . . . 7
14 krippen.3 . . . . . . . 8
1514adantr 472 . . . . . . 7
16 krippen.l . . . . . . . 8 ≤G
17 krippen.7 . . . . . . . . . 10
1817adantr 472 . . . . . . . . 9
19 simpr 468 . . . . . . . . . 10
2019oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
2118, 20breqtrd 4420 . . . . . . . 8
223, 4, 5, 16, 7, 9, 11, 9, 13, 21legeq 24717 . . . . . . 7
233, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 13, 15, 22tgcgreq 24605 . . . . . 6
24 krippen.5 . . . . . . 7
2524adantr 472 . . . . . 6
2623, 22, 253eqtr3rd 2514 . . . . 5
27 mirval.l . . . . . 6 LineG
28 mirval.s . . . . . 6 pInvG
29 krippen.x . . . . . . 7
3029adantr 472 . . . . . 6
31 krippen.m . . . . . 6
323, 4, 5, 27, 28, 7, 30, 31, 11mirinv 24790 . . . . 5
3326, 32mpbid 215 . . . 4
34 krippen.f . . . . . . . 8
3534adantr 472 . . . . . . 7
36 krippen.4 . . . . . . . . 9
3736adantr 472 . . . . . . . 8
3837, 20eqtr3d 2507 . . . . . . 7
393, 4, 5, 7, 9, 35, 9, 38axtgcgrid 24590 . . . . . 6
40 krippen.6 . . . . . . 7
4140adantr 472 . . . . . 6
4219, 39, 413eqtrrd 2510 . . . . 5
43 krippen.y . . . . . . 7
4443adantr 472 . . . . . 6
45 krippen.n . . . . . 6
46 krippen.e . . . . . . 7
4746adantr 472 . . . . . 6
483, 4, 5, 27, 28, 7, 44, 45, 47mirinv 24790 . . . . 5
4942, 48mpbid 215 . . . 4
5033, 49oveq12d 6326 . . 3
512, 50eleqtrrd 2552 . 2
526adantr 472 . . . . . 6 TarskiG
5352ad2antrr 740 . . . . 5 TarskiG
548adantr 472 . . . . . . . 8
55 eqid 2471 . . . . . . . 8
563, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55mirf 24784 . . . . . . 7
5743adantr 472 . . . . . . 7
5856, 57ffvelrnd 6038 . . . . . 6
5958ad2antrr 740 . . . . 5
60 simplr 770 . . . . 5
6154ad2antrr 740 . . . . 5
6257ad2antrr 740 . . . . 5
63 simprl 772 . . . . 5
643, 4, 5, 27, 28, 6, 8, 55, 43mirbtwn 24782 . . . . . 6
6564ad3antrrr 744 . . . . 5
663, 4, 5, 53, 59, 60, 61, 62, 63, 65tgbtwnexch3 24617 . . . 4
6729ad3antrrr 744 . . . . . 6
6810adantr 472 . . . . . . 7
6968ad2antrr 740 . . . . . 6
7012adantr 472 . . . . . . 7
7170ad2antrr 740 . . . . . 6
72 eqid 2471 . . . . . . . 8
7346adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
7456, 73ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
7534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
7656, 75ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
776ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TarskiG
7810ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7974adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
803, 4, 5, 77, 78, 79tgbtwntriv1 24614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8380, 82eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
846ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TarskiG
8510ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8674adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
878ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8846ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
903, 4, 5, 6, 10, 8, 46, 1tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
923, 4, 5, 27, 28, 84, 87, 55, 88mirbtwn 24782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
933, 4, 5, 84, 86, 87, 88, 92tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
943, 5, 84, 88, 87, 85, 86, 89, 91, 93tgbtwnconn2 24700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9517adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
963, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73mircgr 24781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9795, 96breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9897adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
993, 4, 5, 16, 84, 85, 86, 87, 85, 94, 98legbtwn 24718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10083, 99pm2.61dane 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15
1013, 4, 5, 52, 54, 68, 74, 100tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . 14
1026ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TarskiG
10312ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10476adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1053, 4, 5, 102, 103, 104tgbtwntriv1 24614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107106oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108105, 107eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1096ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TarskiG
11012ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11176adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1128ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11334ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 TarskiG
1158adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11646adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
118 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
119118oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
120117, 119eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1213, 4, 5, 114, 115, 116, 115, 120axtgcgrid 24590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
122121eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
123122adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
124 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125124neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126123, 125pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127126neqned 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129 krippen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1303, 4, 5, 6, 12, 8, 34, 129tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1323, 4, 5, 27, 28, 109, 112, 55, 113mirbtwn 24782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1333, 4, 5, 109, 111, 112, 113, 132tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1343, 5, 109, 113, 112, 110, 111, 128, 131, 133tgbtwnconn2 24700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13517, 14, 363brtr3d 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136135adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1373, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 75mircgr 24781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138136, 137breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1403, 4, 5, 16, 109, 110, 111, 112, 110, 134, 139legbtwn 24718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141108, 140pm2.61dane 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15
1423, 4, 5, 52, 54, 70, 76, 141tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . 14
14336adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144143, 96, 1373eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15
1453, 4, 5, 52, 54, 74, 54, 76, 144tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . . . . . . . 14
14614adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
1473, 4, 5, 52, 54, 68, 54, 70, 146tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . . . . . . . 14
148 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1493, 4, 5, 27, 28, 52, 58, 148, 74mircgr 24781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15340adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15445fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155153, 154syl6req 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1563, 4, 5, 27, 28, 52, 55, 150, 151, 152, 54, 57, 73, 75, 155mirauto 24808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157156oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158149, 157eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15
1593, 4, 5, 52, 58, 74, 58, 76, 158tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . . . . . . . 14
160 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
1613, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 58, 76, 70, 54, 58, 101, 142, 145, 147, 159, 160tgifscgr 24632 . . . . . . . . . . . . 13
1623, 4, 5, 52, 68, 58, 70, 58, 161tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . . . . . 12
163162ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
16453adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 TarskiG
16559adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
16660adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
16763adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
168 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
169168oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
170167, 169eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 4, 5, 164, 165, 166, 170axtgbtwnid 24593 . . . . . . . . . . . 12
172171oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
173171oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
174163, 172, 1733eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10
17552ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11 TarskiG
17658ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
17754ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
17860adantr 472 . . . . . . . . . . 11
179 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 cgrG cgrG
18068ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
18170ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
182 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
18359adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
18463adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
1853, 27, 5, 175, 183, 178, 177, 184btwncolg3 24681 . . . . . . . . . . 11
186162ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
187146ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
1883, 27, 5, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 4, 182, 185, 186, 187lncgr 24693 . . . . . . . . . 10
189174, 188pm2.61dane 2730 . . . . . . . . 9
190189eqcomd 2477 . . . . . . . 8
191 simprr 774 . . . . . . . . 9
1923, 4, 5, 53, 69, 60, 71, 191tgbtwncom 24611 . . . . . . . 8
1933, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 72, 69, 71, 190, 192ismir 24783 . . . . . . 7
194193eqcomd 2477 . . . . . 6
19524ad3antrrr 744 . . . . . . 7
19631fveq1i 5880 . . . . . . 7
197195, 196syl6req 2522 . . . . . 6
1983, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 67, 69, 71, 194, 197miduniq 24809 . . . . 5
199198oveq1d 6323 . . . 4
20066, 199eleqtrd 2551 . . 3
2013, 4, 5, 27, 28, 52, 57, 45, 73mirbtwn 24782 . . . . . . 7
202153oveq1d 6323 . . . . . . 7
203201, 202eleqtrrd 2552 . . . . . 6
2043, 4, 5, 52, 75, 57, 73, 203tgbtwncom 24611 . . . . 5
2053, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73, 57, 75, 204mirbtwni 24795 . . . 4
2063, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 76, 70, 58, 101, 142, 205tgtrisegint 24622 . . 3
207200, 206r19.29a 2918 . 2
20851, 207pm2.61dane 2730 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564  cgrGccgrg 24634  ≤Gcleg 24706  pInvGcmir 24776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-leg 24707  df-mir 24777 This theorem is referenced by:  krippen  24815
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