Theorem krippenlem 24735

Description: Lemma for krippen 24736. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	|- P = ( Base ` G )
mirval.d	|- .- = ( dist ` G )
mirval.i	|- I = (Itv ` G )
mirval.l	|- L = (LineG ` G )
mirval.s	|- S = (pInvG ` G )
mirval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
krippen.m	|- M = ( S ` X )
krippen.n	|- N = ( S ` Y )
krippen.a	|- ( ph -> A e. P )
krippen.b	|- ( ph -> B e. P )
krippen.c	|- ( ph -> C e. P )
krippen.e	|- ( ph -> E e. P )
krippen.f	|- ( ph -> F e. P )
krippen.x	|- ( ph -> X e. P )
krippen.y	|- ( ph -> Y e. P )
krippen.1	|- ( ph -> C e. ( A I E ) )
krippen.2	|- ( ph -> C e. ( B I F ) )
krippen.3	|- ( ph -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
krippen.4	|- ( ph -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
krippen.5	|- ( ph -> B = ( M ` A ) )
krippen.6	|- ( ph -> F = ( N ` E ) )
krippen.l	|- .<_ = (≤G ` G )
krippen.7	|- ( ph -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )

Assertion

Ref	Expression
krippenlem	|- ( ph -> C e. ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippenlem

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krippen.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( A I E ) )
2	1	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. ( A I E ) )
3		mirval.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
4		mirval.d	. . . . . . 7 |- .- = ( dist ` G )
5		mirval.i	. . . . . . 7 |- I = (Itv ` G )
6		mirval.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> G e. TarskiG )
8		krippen.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. P )
9	8	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. P )
10		krippen.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. P )
11	10	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> A e. P )
12		krippen.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. P )
13	12	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> B e. P )
14		krippen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
15	14	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
16		krippen.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = (≤G ` G )
17		krippen.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
18	17	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
19		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E = C ) -> E = C )
20	19	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- C ) )
21	18, 20	breqtrd 4427	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- C ) )
22	3, 4, 5, 16, 7, 9, 11, 9, 13, 21	legeq 24638	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = A )
23	3, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 13, 15, 22	tgcgreq 24526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = B )
24		krippen.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( M ` A ) )
25	24	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> B = ( M ` A ) )
26	23, 22, 25	3eqtr3rd 2494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( M ` A ) = A )
27		mirval.l	. . . . . 6 |- L = (LineG ` G )
28		mirval.s	. . . . . 6 |- S = (pInvG ` G )
29		krippen.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. P )
30	29	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> X e. P )
31		krippen.m	. . . . . 6 |- M = ( S ` X )
32	3, 4, 5, 27, 28, 7, 30, 31, 11	mirinv 24711	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( ( M ` A ) = A <-> X = A ) )
33	26, 32	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = C ) -> X = A )
34		krippen.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. P )
35	34	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> F e. P )
36		krippen.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
37	36	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
38	37, 20	eqtr3d 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- F ) = ( C .- C ) )
39	3, 4, 5, 7, 9, 35, 9, 38	axtgcgrid 24511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = F )
40		krippen.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( N ` E ) )
41	40	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> F = ( N ` E ) )
42	19, 39, 41	3eqtrrd 2490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( N ` E ) = E )
43		krippen.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. P )
44	43	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> Y e. P )
45		krippen.n	. . . . . 6 |- N = ( S ` Y )
46		krippen.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. P )
47	46	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> E e. P )
48	3, 4, 5, 27, 28, 7, 44, 45, 47	mirinv 24711	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( ( N ` E ) = E <-> Y = E ) )
49	42, 48	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = C ) -> Y = E )
50	33, 49	oveq12d 6308	. . 3 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( X I Y ) = ( A I E ) )
51	2, 50	eleqtrrd 2532	. 2 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. ( X I Y ) )
52	6	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> G e. TarskiG )
53	52	ad2antrr 732	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> G e. TarskiG )
54	8	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> C e. P )
55		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( S ` C ) = ( S ` C )
56	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55	mirf 24705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( S ` C ) : P --> P )
57	43	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. P )
58	56, 57	ffvelrnd 6023	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
59	58	ad2antrr 732	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
60		simplr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. P )
61	54	ad2antrr 732	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. P )
62	57	ad2antrr 732	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> Y e. P )
63		simprl 764	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
64	3, 4, 5, 27, 28, 6, 8, 55, 43	mirbtwn 24703	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I Y ) )
65	64	ad3antrrr 736	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I Y ) )
66	3, 4, 5, 53, 59, 60, 61, 62, 63, 65	tgbtwnexch3 24538	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( q I Y ) )
67	29	ad3antrrr 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> X e. P )
68	10	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. P )
69	68	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> A e. P )
70	12	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. P )
71	70	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B e. P )
72		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( S ` q ) = ( S ` q )
73	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> E e. P )
74	56, 73	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
75	34	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F e. P )
76	56, 75	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
77	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> G e. TarskiG )
78	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. P )
79	74	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
80	3, 4, 5, 77, 78, 79	tgbtwntriv1 24535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. ( A I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
81		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A = C )
82	81	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> ( A I ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
83	80, 82	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
84	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> G e. TarskiG )
85	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> A e. P )
86	74	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
87	8	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. P )
88	46	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> E e. P )
89		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> E =/= C )
90	3, 4, 5, 6, 10, 8, 46, 1	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. ( E I A ) )
91	90	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( E I A ) )
92	3, 4, 5, 27, 28, 84, 87, 55, 88	mirbtwn 24703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I E ) )
93	3, 4, 5, 84, 86, 87, 88, 92	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( E I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
94	3, 5, 84, 88, 87, 85, 86, 89, 91, 93	tgbtwnconn2 24621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) \/ ( ( S ` C ) ` E ) e. ( C I A ) ) )
95	17	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
96	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73	mircgr 24702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C .- E ) )
97	95, 96	breqtrrd 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
98	97	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
99	3, 4, 5, 16, 84, 85, 86, 87, 85, 94, 98	legbtwn 24639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
100	83, 99	pm2.61dane 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
101	3, 4, 5, 52, 54, 68, 74, 100	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I C ) )
102	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> G e. TarskiG )
103	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. P )
104	76	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
105	3, 4, 5, 102, 103, 104	tgbtwntriv1 24535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. ( B I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
106		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B = C )
107	106	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> ( B I ( ( S ` C ) ` F ) ) = ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
108	105, 107	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
109	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> G e. TarskiG )
110	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> B e. P )
111	76	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
112	8	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. P )
113	34	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> F e. P )
114	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> G e. TarskiG )
115	8	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> C e. P )
116	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> E e. P )
117	36	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
118		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ F = C ) -> F = C )
119	118	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- F ) = ( C .- C ) )
120	117, 119	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- C ) )
121	3, 4, 5, 114, 115, 116, 115, 120	axtgcgrid 24511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ F = C ) -> C = E )
122	121	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ F = C ) -> E = C )
123	122	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> E = C )
124		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> E =/= C )
125	124	neneqd 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> -. E = C )
126	123, 125	pm2.65da 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> -. F = C )
127	126	neqned 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F =/= C )
128	127	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> F =/= C )
129		krippen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C e. ( B I F ) )
130	3, 4, 5, 6, 12, 8, 34, 129	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. ( F I B ) )
131	130	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( F I B ) )
132	3, 4, 5, 27, 28, 109, 112, 55, 113	mirbtwn 24703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` F ) I F ) )
133	3, 4, 5, 109, 111, 112, 113, 132	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( F I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
134	3, 5, 109, 113, 112, 110, 111, 128, 131, 133	tgbtwnconn2 24621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) \/ ( ( S ` C ) ` F ) e. ( C I B ) ) )
135	17, 14, 36	3brtr3d 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C .- B ) .<_ ( C .- F ) )
136	135	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- F ) )
137	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 75	mircgr 24702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) = ( C .- F ) )
138	136, 137	breqtrrd 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
139	138	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
140	3, 4, 5, 16, 109, 110, 111, 112, 110, 134, 139	legbtwn 24639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
141	108, 140	pm2.61dane 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
142	3, 4, 5, 52, 54, 70, 76, 141	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. ( ( ( S ` C ) ` F ) I C ) )
143	36	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
144	143, 96, 137	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
145	3, 4, 5, 52, 54, 74, 54, 76, 144	tgcgrcomlr 24524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` E ) .- C ) = ( ( ( S ` C ) ` F ) .- C ) )
146	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
147	3, 4, 5, 52, 54, 68, 54, 70, 146	tgcgrcomlr 24524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( A .- C ) = ( B .- C ) )
148		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) )
149	3, 4, 5, 27, 28, 52, 58, 148, 74	mircgr 24702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
150		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` Y ) = ( ( S ` C ) ` Y )
151		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` E ) = ( ( S ` C ) ` E )
152		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` F ) = ( ( S ` C ) ` F )
153	40	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F = ( N ` E ) )
154	45	fveq1i 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N ` E ) = ( ( S ` Y ) ` E )
155	153, 154	syl6req 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` Y ) ` E ) = F )
156	3, 4, 5, 27, 28, 52, 55, 150, 151, 152, 54, 57, 73, 75, 155	mirauto 24729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( ( S ` C ) ` F ) )
157	156	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
158	149, 157	eqtr3d 2487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
159	3, 4, 5, 52, 58, 74, 58, 76, 158	tgcgrcomlr 24524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` E ) .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( ( ( S ` C ) ` F ) .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
160		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( C .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
161	3, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 58, 76, 70, 54, 58, 101, 142, 145, 147, 159, 160	tgifscgr 24553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( A .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( B .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
162	3, 4, 5, 52, 68, 58, 70, 58, 161	tgcgrcomlr 24524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
163	162	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
164	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> G e. TarskiG )
165	59	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
166	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. P )
167	63	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
168		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) = C )
169	168	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) I ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
170	167, 169	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
171	3, 4, 5, 164, 165, 166, 170	axtgbtwnid 24514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) = q )
172	171	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( q .- A ) )
173	171	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) = ( q .- B ) )
174	163, 172, 173	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
175	52	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> G e. TarskiG )
176	58	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
177	54	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> C e. P )
178	60	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> q e. P )
179		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
180	68	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> A e. P )
181	70	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> B e. P )
182		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C )
183	59	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
184	63	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
185	3, 27, 5, 175, 183, 178, 177, 184	btwncolg3 24602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) L q ) \/ ( ( S ` C ) ` Y ) = q ) )
186	162	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
187	146	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
188	3, 27, 5, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 4, 182, 185, 186, 187	lncgr 24614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
189	174, 188	pm2.61dane 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
190	189	eqcomd 2457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q .- B ) = ( q .- A ) )
191		simprr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( A I B ) )
192	3, 4, 5, 53, 69, 60, 71, 191	tgbtwncom 24532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( B I A ) )
193	3, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 72, 69, 71, 190, 192	ismir 24704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B = ( ( S ` q ) ` A ) )
194	193	eqcomd 2457	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` q ) ` A ) = B )
195	24	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B = ( M ` A ) )
196	31	fveq1i 5866	. . . . . . 7 |- ( M ` A ) = ( ( S ` X ) ` A )
197	195, 196	syl6req 2502	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` X ) ` A ) = B )
198	3, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 67, 69, 71, 194, 197	miduniq 24730	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q = X )
199	198	oveq1d 6305	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q I Y ) = ( X I Y ) )
200	66, 199	eleqtrd 2531	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( X I Y ) )
201	3, 4, 5, 27, 28, 52, 57, 45, 73	mirbtwn 24703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( ( N ` E ) I E ) )
202	153	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( F I E ) = ( ( N ` E ) I E ) )
203	201, 202	eleqtrrd 2532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( F I E ) )
204	3, 4, 5, 52, 75, 57, 73, 203	tgbtwncom 24532	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( E I F ) )
205	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73, 57, 75, 204	mirbtwni 24716	. . . 4 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
206	3, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 76, 70, 58, 101, 142, 205	tgtrisegint 24543	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> E. q e. P ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) )
207	200, 206	r19.29a 2932	. 2 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> C e. ( X I Y ) )
208	51, 207	pm2.61dane 2711	1 |- ( ph -> C e. ( X I Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  cgrGccgrg 24555  ≤Gcleg 24627  pInvGcmir 24697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-mir 24698

This theorem is referenced by:  krippen  24736