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Theorem krippen 24193
Description: Krippenlemma (German for crib's lemma) Lemma 7.22 of [Schwabhauser] p. 53. proven by Gupta 1965 as Theorem 3.45 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
krippen.m  |-  M  =  ( S `  X
)
krippen.n  |-  N  =  ( S `  Y
)
krippen.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
krippen.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
krippen.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
krippen.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
krippen.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
krippen.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
krippen.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
krippen.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
krippen.2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
krippen.3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
krippen.4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
krippen.5  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
krippen.6  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
Assertion
Ref Expression
krippen  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippen
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 mirval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 mirval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 mirval.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
5 mirval.s . . 3  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 mirval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  G  e. TarskiG )
8 krippen.m . . 3  |-  M  =  ( S `  X
)
9 krippen.n . . 3  |-  N  =  ( S `  Y
)
10 krippen.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  A  e.  P
)
12 krippen.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  B  e.  P
)
14 krippen.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  P
)
16 krippen.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
1716adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  E  e.  P
)
18 krippen.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  F  e.  P
)
20 krippen.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  X  e.  P
)
22 krippen.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  Y  e.  P
)
24 krippen.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
2524adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  ( A I E ) )
26 krippen.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
2726adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  ( B I F ) )
28 krippen.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
30 krippen.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F ) )
32 krippen.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
3332adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  B  =  ( M `  A ) )
34 krippen.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
3534adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  F  =  ( N `  E ) )
36 eqid 2457 . . 3  |-  (≤G `  G )  =  (≤G `  G )
37 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )
381, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 36, 37krippenlem 24192 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
396adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  G  e. TarskiG )
4022adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  Y  e.  P
)
4114adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  P
)
4220adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  X  e.  P
)
4316adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  E  e.  P
)
4418adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  F  e.  P
)
4510adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  A  e.  P
)
4612adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  B  e.  P
)
4724adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( A I E ) )
481, 2, 3, 39, 45, 41, 43, 47tgbtwncom 24004 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( E I A ) )
4926adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( B I F ) )
501, 2, 3, 39, 46, 41, 44, 49tgbtwncom 24004 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( F I B ) )
5130adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F ) )
5228adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
5334adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  F  =  ( N `  E ) )
5432adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  B  =  ( M `  A ) )
55 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )
561, 2, 3, 4, 5, 39, 9, 8, 43, 44, 41, 45, 46, 40, 42, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 36, 55krippenlem 24192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( Y I X ) )
571, 2, 3, 39, 40, 41, 42, 56tgbtwncom 24004 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
581, 2, 3, 36, 6, 14, 10, 14, 16legtrid 24103 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E )  \/  ( C  .-  E
) (≤G `  G
) ( C  .-  A ) ) )
5938, 57, 58mpjaodan 786 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   distcds 14720  TarskiGcstrkg 23950  Itvcitv 23957  LineGclng 23958  ≤Gcleg 24094  pInvGcmir 24158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-hash 12408  df-word 12545  df-concat 12547  df-s1 12548  df-s2 12824  df-s3 12825  df-trkgc 23969  df-trkgb 23970  df-trkgcb 23971  df-trkg 23975  df-cgrg 24028  df-leg 24095  df-mir 24159
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