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Theorem krippen 23090
Description: Krippenlemma (German for crib's lemma) Lemma 7.22 of [Schwabhauser] p. 53. proven by Gupta 1965 as Theorem 3.45 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
krippen.m  |-  M  =  ( S `  X
)
krippen.n  |-  N  =  ( S `  Y
)
krippen.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
krippen.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
krippen.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
krippen.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
krippen.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
krippen.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
krippen.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
krippen.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
krippen.2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
krippen.3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
krippen.4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
krippen.5  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
krippen.6  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
Assertion
Ref Expression
krippen  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippen
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 mirval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 mirval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 mirval.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
5 mirval.s . . 3  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 mirval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  G  e. TarskiG )
8 krippen.m . . 3  |-  M  =  ( S `  X
)
9 krippen.n . . 3  |-  N  =  ( S `  Y
)
10 krippen.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  A  e.  P
)
12 krippen.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  B  e.  P
)
14 krippen.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  P
)
16 krippen.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
1716adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  E  e.  P
)
18 krippen.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  F  e.  P
)
20 krippen.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  X  e.  P
)
22 krippen.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  Y  e.  P
)
24 krippen.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I E ) )
2524adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  ( A I E ) )
26 krippen.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I F ) )
2726adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  ( B I F ) )
28 krippen.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  B ) )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
30 krippen.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  F ) )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F ) )
32 krippen.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( M `
 A ) )
3332adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  B  =  ( M `  A ) )
34 krippen.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( N `
 E ) )
3534adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  F  =  ( N `  E ) )
36 eqid 2443 . . 3  |-  (≤G `  G )  =  (≤G `  G )
37 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )
381, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 36, 37krippenlem 23089 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E ) )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
396adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  G  e. TarskiG )
4022adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  Y  e.  P
)
4114adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  P
)
4220adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  X  e.  P
)
4316adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  E  e.  P
)
4418adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  F  e.  P
)
4510adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  A  e.  P
)
4612adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  B  e.  P
)
4724adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( A I E ) )
481, 2, 3, 39, 45, 41, 43, 47tgbtwncom 22947 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( E I A ) )
4926adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( B I F ) )
501, 2, 3, 39, 46, 41, 44, 49tgbtwncom 22947 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( F I B ) )
5130adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  ( C  .-  E )  =  ( C  .-  F ) )
5228adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  B ) )
5334adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  F  =  ( N `  E ) )
5432adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  B  =  ( M `  A ) )
55 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )
561, 2, 3, 4, 5, 39, 9, 8, 43, 44, 41, 45, 46, 40, 42, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 36, 55krippenlem 23089 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( Y I X ) )
571, 2, 3, 39, 40, 41, 42, 56tgbtwncom 22947 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  E ) (≤G `  G ) ( C 
.-  A ) )  ->  C  e.  ( X I Y ) )
581, 2, 3, 36, 6, 14, 10, 14, 16legtrid 23027 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  A ) (≤G `  G ) ( C 
.-  E )  \/  ( C  .-  E
) (≤G `  G
) ( C  .-  A ) ) )
5938, 57, 58mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X I Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   distcds 14252  TarskiGcstrkg 22894  Itvcitv 22902  LineGclng 22903  ≤Gcleg 23018  pInvGcmir 23060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-s1 12237  df-s2 12480  df-s3 12481  df-trkgc 22914  df-trkgb 22915  df-trkgcb 22916  df-trkg 22921  df-cgrg 22969  df-leg 23019  df-mir 23061
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