MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqtop Structured version   Unicode version

Theorem kqtop 20415
Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqtop  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )

Proof of Theorem kqtop
Dummy variables  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21toptopon 19604 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
43kqtopon 20397 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
52, 4sylbi 195 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
6 topontop 19597 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
8 0opn 19583 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  (/)  e.  (KQ `  J ) )
9 elfvdm 5874 . . . 4  |-  ( (/)  e.  (KQ `  J )  ->  J  e.  dom KQ )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  J  e.  dom KQ )
11 ovex 6298 . . . 4  |-  ( j qTop  ( x  e.  U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) )  e.  _V
12 df-kq 20364 . . . 4  |- KQ  =  ( j  e.  Top  |->  ( j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) ) )
1311, 12dmmpti 5692 . . 3  |-  dom KQ  =  Top
1410, 13syl6eleq 2552 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  J  e.  Top )
157, 14impbii 188 1  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1823   {crab 2808   (/)c0 3783   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   qTop cqtop 14995   Topctop 19564  TopOnctopon 19565  KQckq 20363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-qtop 14999  df-top 19569  df-topon 19572  df-kq 20364
This theorem is referenced by:  kqt0  20416  kqreg  20421  kqnrm  20422
  Copyright terms: Public domain W3C validator