MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqtop Structured version   Unicode version

Theorem kqtop 19981
Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqtop  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )

Proof of Theorem kqtop
Dummy variables  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21toptopon 19201 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
43kqtopon 19963 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
52, 4sylbi 195 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
6 topontop 19194 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
8 0opn 19180 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  (/)  e.  (KQ `  J ) )
9 elfvdm 5890 . . . 4  |-  ( (/)  e.  (KQ `  J )  ->  J  e.  dom KQ )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  J  e.  dom KQ )
11 ovex 6307 . . . 4  |-  ( j qTop  ( x  e.  U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) )  e.  _V
12 df-kq 19930 . . . 4  |- KQ  =  ( j  e.  Top  |->  ( j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) ) )
1311, 12dmmpti 5708 . . 3  |-  dom KQ  =  Top
1410, 13syl6eleq 2565 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  J  e.  Top )
157, 14impbii 188 1  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1767   {crab 2818   (/)c0 3785   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   qTop cqtop 14754   Topctop 19161  TopOnctopon 19162  KQckq 19929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-qtop 14758  df-top 19166  df-topon 19169  df-kq 19930
This theorem is referenced by:  kqt0  19982  kqreg  19987  kqnrm  19988
  Copyright terms: Public domain W3C validator