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Theorem kqt0lem 20527
Description: Lemma for kqt0 20537. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqt0lem  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqt0lem
Dummy variables  w  z  a  b  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqopn 20525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
32adantlr 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
4 eleq2 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
5 eleq2 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  b
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
64, 5bibi12d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  ( F " w )  <-> 
( F `  b
)  e.  ( F
" w ) ) ) )
76rspcv 3155 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " w )  e.  (KQ `  J
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
83, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
91kqfvima 20521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  a  e.  X )  ->  (
a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
1093expa 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  a  e.  X )  ->  (
a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
1110adantrr 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
121kqfvima 20521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  b  e.  X )  ->  (
b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
13123expa 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  b  e.  X )  ->  (
b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
1413adantrl 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
1511, 14bibi12d 319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
a  e.  w  <->  b  e.  w )  <->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
1615an32s 805 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( a  e.  w  <->  b  e.  w )  <->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
178, 16sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
1817ralrimdva 2821 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
191kqfeq 20515 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  <->  A. y  e.  J  ( a  e.  y  <->  b  e.  y ) ) )
20193expb 1198 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <->  A. y  e.  J  ( a  e.  y  <->  b  e.  y ) ) )
21 elequ2 1847 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
a  e.  y  <->  a  e.  w ) )
22 elequ2 1847 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
b  e.  y  <->  b  e.  w ) )
2321, 22bibi12d 319 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
( a  e.  y  <-> 
b  e.  y )  <-> 
( a  e.  w  <->  b  e.  w ) ) )
2423cbvralv 3033 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  J  (
a  e.  y  <->  b  e.  y )  <->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) )
2520, 24syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
2618, 25sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
2726ralrimivva 2824 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
281kqffn 20516 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
29 eleq1 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
u  e.  z  <->  ( F `  a )  e.  z ) )
3029bibi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z ) ) )
3130ralbidv 2842 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  <->  A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z ) ) )
32 eqeq1 2406 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
u  =  v  <->  ( F `  a )  =  v ) )
3331, 32imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
3433ralbidv 2842 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
3534ralrn 6011 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
36 eleq1 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
v  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z ) )
3736bibi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z ) ) )
3837ralbidv 2842 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  v  e.  z )  <->  A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z ) ) )
39 eqeq2 2417 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  =  v  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
4038, 39imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4140ralrn 6011 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4241ralbidv 2842 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  X  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4335, 42bitrd 253 . . . 4  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4428, 43syl 17 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4527, 44mpbird 232 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) )
461kqtopon 20518 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
47 ist0-2 20136 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  <->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) ) )
4846, 47syl 17 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  <->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) ) )
4945, 48mpbird 232 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   {crab 2757    |-> cmpt 4452   ran crn 4823   "cima 4825    Fn wfn 5563   ` cfv 5568  TopOnctopon 19685   Kol2ct0 20098  KQckq 20484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-qtop 15119  df-top 19689  df-topon 19692  df-t0 20105  df-kq 20485
This theorem is referenced by:  kqt0  20537  t0kq  20609
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