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Theorem kqreglem2 20409
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 19594 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 753 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Reg )
4 simpll 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
6 kqval.2 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
76kqopn 20401 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
84, 5, 7syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
9 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  z )
10 toponss 19597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
114, 5, 10syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
1211, 9sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  X )
136kqfvima 20397 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  z  <->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
144, 5, 12, 13syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( w  e.  z  <-> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) ) )
159, 14mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) )
16 regsep 20002 . . . . 5  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Reg  /\  ( F " z )  e.  (KQ `  J )  /\  ( F `  w )  e.  ( F " z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
173, 8, 15, 16syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
184adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
196kqid 20395 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
21 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  e.  (KQ `  J ) )
22 cnima 19933 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  n  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2320, 21, 22syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2412adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  X )
25 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( F `  w )  e.  n )
266kqffn 20392 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
27 elpreima 5983 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2818, 26, 273syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2924, 25, 28mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  ( `' F "
n ) )
306kqtopon 20394 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
31 topontop 19594 . . . . . . . . . 10  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
3218, 30, 313syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
33 elssuni 4264 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  (KQ `  J
)  ->  n  C_  U. (KQ `  J ) )
3433ad2antrl 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )
35 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
3635clscld 19715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
3732, 34, 36syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
38 cnclima 19936 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
3920, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4035sscls 19724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
4132, 34, 40syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
42 imass2 5360 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  ->  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
44 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4544clsss2 19740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4639, 43, 45syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
47 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) )
48 imass2 5360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
505adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  z  e.  J )
516kqsat 20398 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5218, 50, 51syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5349, 52sseqtrd 3525 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  z )
5446, 53sstrd 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z )
55 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
w  e.  m  <->  w  e.  ( `' F " n ) ) )
56 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( cls `  J
) `  m )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) ) )
5756sseq1d 3516 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( ( cls `  J
) `  m )  C_  z  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)
5855, 57anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z )  <->  ( w  e.  ( `' F "
n )  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z ) ) )
5958rspcev 3207 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
n )  e.  J  /\  ( w  e.  ( `' F " n )  /\  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6023, 29, 54, 59syl12anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6117, 60rexlimddv 2950 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6261ralrimivva 2875 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
63 isreg 20000 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) ) )
642, 62, 63sylanbrc 662 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   ran crn 4989   "cima 4991    Fn wfn 5565   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   Clsdccld 19684   clsccl 19686    Cn ccn 19892   Regcreg 19977  KQckq 20360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-qtop 14996  df-top 19566  df-topon 19569  df-cld 19687  df-cls 19689  df-cn 19895  df-reg 19984  df-kq 20361
This theorem is referenced by:  kqreg  20418
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