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Theorem kqreglem2 20744
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 19928 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 466 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Reg )
4 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
6 kqval.2 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
76kqopn 20736 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
84, 5, 7syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
9 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  z )
10 toponss 19931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
114, 5, 10syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
1211, 9sseldd 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  X )
136kqfvima 20732 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  z  <->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
144, 5, 12, 13syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( w  e.  z  <-> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) ) )
159, 14mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) )
16 regsep 20337 . . . . 5  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Reg  /\  ( F " z )  e.  (KQ `  J )  /\  ( F `  w )  e.  ( F " z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
173, 8, 15, 16syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
184adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
196kqid 20730 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
21 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  e.  (KQ `  J ) )
22 cnima 20268 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  n  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2320, 21, 22syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2412adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  X )
25 simprrl 772 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( F `  w )  e.  n )
266kqffn 20727 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
27 elpreima 6014 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2818, 26, 273syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2924, 25, 28mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  ( `' F "
n ) )
306kqtopon 20729 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
31 topontop 19928 . . . . . . . . . 10  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
33 elssuni 4245 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  (KQ `  J
)  ->  n  C_  U. (KQ `  J ) )
3433ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )
35 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
3635clscld 20049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
3732, 34, 36syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
38 cnclima 20271 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
3920, 37, 38syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4035sscls 20058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
4132, 34, 40syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
42 imass2 5220 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  ->  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
44 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4544clsss2 20075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4639, 43, 45syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
47 simprrr 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) )
48 imass2 5220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
505adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  z  e.  J )
516kqsat 20733 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5218, 50, 51syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5349, 52sseqtrd 3500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  z )
5446, 53sstrd 3474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z )
55 eleq2 2495 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
w  e.  m  <->  w  e.  ( `' F " n ) ) )
56 fveq2 5878 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( cls `  J
) `  m )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) ) )
5756sseq1d 3491 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( ( cls `  J
) `  m )  C_  z  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)
5855, 57anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z )  <->  ( w  e.  ( `' F "
n )  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z ) ) )
5958rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
n )  e.  J  /\  ( w  e.  ( `' F " n )  /\  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6023, 29, 54, 59syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6117, 60rexlimddv 2921 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6261ralrimivva 2846 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
63 isreg 20335 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) ) )
642, 62, 63sylanbrc 668 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779    C_ wss 3436   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4849   ran crn 4851   "cima 4853    Fn wfn 5593   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   Clsdccld 20018   clsccl 20020    Cn ccn 20227   Regcreg 20312  KQckq 20695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-map 7479  df-qtop 15394  df-top 19908  df-topon 19910  df-cld 20021  df-cls 20023  df-cn 20230  df-reg 20319  df-kq 20696
This theorem is referenced by:  kqreg  20753
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