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Theorem kqreglem2 20006
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 19222 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Reg )
4 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
6 kqval.2 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
76kqopn 19998 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
84, 5, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
9 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  z )
10 toponss 19225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
114, 5, 10syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
1211, 9sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  X )
136kqfvima 19994 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  z  <->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
144, 5, 12, 13syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( w  e.  z  <-> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) ) )
159, 14mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) )
16 regsep 19629 . . . . 5  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Reg  /\  ( F " z )  e.  (KQ `  J )  /\  ( F `  w )  e.  ( F " z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
173, 8, 15, 16syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
184adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
196kqid 19992 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
21 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  e.  (KQ `  J ) )
22 cnima 19560 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  n  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2412adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  X )
25 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( F `  w )  e.  n )
266kqffn 19989 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
27 elpreima 6001 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2818, 26, 273syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2924, 25, 28mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  ( `' F "
n ) )
306kqtopon 19991 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
31 topontop 19222 . . . . . . . . . 10  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
3218, 30, 313syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
33 elssuni 4275 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  (KQ `  J
)  ->  n  C_  U. (KQ `  J ) )
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )
35 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
3635clscld 19342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
3732, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
38 cnclima 19563 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
3920, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4035sscls 19351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
4132, 34, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
42 imass2 5372 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  ->  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
44 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4544clsss2 19367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4639, 43, 45syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
47 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) )
48 imass2 5372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
505adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  z  e.  J )
516kqsat 19995 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5218, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5349, 52sseqtrd 3540 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  z )
5446, 53sstrd 3514 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z )
55 eleq2 2540 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
w  e.  m  <->  w  e.  ( `' F " n ) ) )
56 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( cls `  J
) `  m )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) ) )
5756sseq1d 3531 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( ( cls `  J
) `  m )  C_  z  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)
5855, 57anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z )  <->  ( w  e.  ( `' F "
n )  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z ) ) )
5958rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
n )  e.  J  /\  ( w  e.  ( `' F " n )  /\  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6023, 29, 54, 59syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6117, 60rexlimddv 2959 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6261ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
63 isreg 19627 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) ) )
642, 62, 63sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   Clsdccld 19311   clsccl 19313    Cn ccn 19519   Regcreg 19604  KQckq 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-qtop 14762  df-top 19194  df-topon 19197  df-cld 19314  df-cls 19316  df-cn 19522  df-reg 19611  df-kq 19958
This theorem is referenced by:  kqreg  20015
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