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Theorem kqreglem1 20833
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem1
Dummy variables  m  w  z  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqtopon 20819 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
32adantr 472 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
4 topontop 20018 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
6 toponss 20021 . . . . . . . 8  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
73, 6sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
87sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  ran  F )
91kqffn 20817 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
109ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  F  Fn  X )
11 fvelrnb 5926 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
1210, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
138, 12mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b )
14 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  J  e.  Reg )
151kqid 20820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
1615ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
17 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
a  e.  (KQ `  J ) )
18 cnima 20358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " a )  e.  J )
1916, 17, 18syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
( `' F "
a )  e.  J
)
209adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  F  Fn  X )
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
22 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " a )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  a ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( z  e.  ( `' F "
a )  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) ) )
2423biimpar 493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
z  e.  ( `' F " a ) )
25 regsep 20427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' F " a )  e.  J  /\  z  e.  ( `' F "
a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
2614, 19, 24, 25syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
27 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
28 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  e.  J )
291kqopn 20826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
3027, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  (KQ
`  J ) )
31 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  w )
32 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  X )
331kqfvima 20822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3427, 28, 32, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3531, 34mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) )
36 topontop 20018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3727, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
38 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
3938ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
40 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
4140clscld 20139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4237, 39, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  e.  (
Clsd `  J )
)
431kqcld 20827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  w )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
4427, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) ) )
4540sscls 20148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
4637, 39, 45syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
47 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  ( ( cls `  J ) `  w
)  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
49 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
5049clsss2 20165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) )  /\  ( F
" w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5144, 48, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5220ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
53 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  Fun  F )
55 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' F " a ) )
56 funimass2 5667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5754, 55, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5851, 57sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a )
59 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  =  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) ) )
6160sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a  <->  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)
6259, 61anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " w
)  /\  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a ) ) )
6362rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F " w
)  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  z
)  e.  ( F
" w )  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6430, 35, 58, 63syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6526, 64rexlimddv 2875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6665expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
67 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  a  <->  b  e.  a ) )
68 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  b  e.  m ) )
6968anbi1d 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7069rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7167, 70imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )  <->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7266, 71syl5ibcom 228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7372com23 80 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( b  e.  a  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7473imp 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  a )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7574an32s 821 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  b  e.  a )  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7675rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7713, 76mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
7877anasss 659 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
a  e.  (KQ `  J )  /\  b  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
7978ralrimivva 2814 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
80 isreg 20425 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Reg 
<->  ( (KQ `  J
)  e.  Top  /\  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
815, 79, 80sylanbrc 677 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108   clsccl 20110    Cn ccn 20317   Regcreg 20402  KQckq 20785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-qtop 15484  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-cn 20320  df-reg 20409  df-kq 20786
This theorem is referenced by:  kqreg  20843
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