Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqnrmlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem kqnrmlem1 20751
 Description: A Kolmogorov quotient of a normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
kqnrmlem1 TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem kqnrmlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5
21kqtopon 20735 . . . 4 TopOn KQ TopOn
32adantr 467 . . 3 TopOn KQ TopOn
4 topontop 19934 . . 3 KQ TopOn KQ
53, 4syl 17 . 2 TopOn KQ
6 simplr 761 . . . . 5 TopOn KQ KQ
71kqid 20736 . . . . . . 7 TopOn KQ
87ad2antrr 731 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
9 simprl 763 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
10 cnima 20274 . . . . . 6 KQ KQ
118, 9, 10syl2anc 666 . . . . 5 TopOn KQ KQ
12 inss1 3651 . . . . . . 7 KQ KQ
13 simprr 765 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
1412, 13sseldi 3429 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
15 cnclima 20277 . . . . . 6 KQ KQ
168, 14, 15syl2anc 666 . . . . 5 TopOn KQ KQ
17 inss2 3652 . . . . . . 7 KQ
1817, 13sseldi 3429 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
19 elpwi 3959 . . . . . 6
20 imass2 5203 . . . . . 6
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 TopOn KQ KQ
22 nrmsep3 20364 . . . . 5
236, 11, 16, 21, 22syl13anc 1269 . . . 4 TopOn KQ KQ
24 simplll 767 . . . . . 6 TopOn KQ KQ TopOn
25 simprl 763 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
261kqopn 20742 . . . . . 6 TopOn KQ
2724, 25, 26syl2anc 666 . . . . 5 TopOn KQ KQ KQ
28 simprrl 773 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
291kqffn 20733 . . . . . . . 8 TopOn
30 fnfun 5671 . . . . . . . 8
3124, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
3214adantr 467 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ KQ
33 eqid 2450 . . . . . . . . . 10 KQ KQ
3433cldss 20037 . . . . . . . . 9 KQ KQ
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ
36 toponuni 19935 . . . . . . . . 9 KQ TopOn KQ
3724, 2, 363syl 18 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ
3835, 37sseqtr4d 3468 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
39 funimass1 5654 . . . . . . 7
4031, 38, 39syl2anc 666 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
4128, 40mpd 15 . . . . 5 TopOn KQ KQ
42 topontop 19934 . . . . . . . . . 10 TopOn
4324, 42syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
44 elssuni 4226 . . . . . . . . . 10
4544ad2antrl 733 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
46 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
4746clscld 20055 . . . . . . . . 9
4843, 45, 47syl2anc 666 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
491kqcld 20743 . . . . . . . 8 TopOn KQ
5024, 48, 49syl2anc 666 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
5146sscls 20064 . . . . . . . . 9
5243, 45, 51syl2anc 666 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
53 imass2 5203 . . . . . . . 8
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
5533clsss2 20081 . . . . . . 7 KQ KQ
5650, 54, 55syl2anc 666 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
57 simprrr 774 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
5846clsss3 20067 . . . . . . . . . 10
5943, 45, 58syl2anc 666 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
60 fndm 5673 . . . . . . . . . . 11
6124, 29, 603syl 18 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
62 toponuni 19935 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6324, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
6461, 63eqtrd 2484 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
6559, 64sseqtr4d 3468 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
66 funimass3 5996 . . . . . . . 8
6731, 65, 66syl2anc 666 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
6857, 67mpbird 236 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
6956, 68sstrd 3441 . . . . 5 TopOn KQ KQ KQ
70 sseq2 3453 . . . . . . 7
71 fveq2 5863 . . . . . . . 8 KQ KQ
7271sseq1d 3458 . . . . . . 7 KQ KQ
7370, 72anbi12d 716 . . . . . 6 KQ KQ
7473rspcev 3149 . . . . 5 KQ KQ KQ KQ
7527, 41, 69, 74syl12anc 1265 . . . 4 TopOn KQ KQ KQ KQ
7623, 75rexlimddv 2882 . . 3 TopOn KQ KQ KQ KQ
7776ralrimivva 2808 . 2 TopOn KQ KQ KQ KQ
78 isnrm 20344 . 2 KQ KQ KQ KQ KQ KQ
795, 77, 78sylanbrc 669 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  wrex 2737  crab 2740   cin 3402   wss 3403  cpw 3950  cuni 4197   cmpt 4460  ccnv 4832   cdm 4833   crn 4834  cima 4836   wfun 5575   wfn 5576  cfv 5581  (class class class)co 6288  ctop 19910  TopOnctopon 19911  ccld 20024  ccl 20026   ccn 20233  cnrm 20319  KQckq 20701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-map 7471  df-qtop 15399  df-top 19914  df-topon 19916  df-cld 20027  df-cls 20029  df-cn 20236  df-nrm 20326  df-kq 20702 This theorem is referenced by:  kqnrm  20760
 Copyright terms: Public domain W3C validator