MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqnrm Structured version   Unicode version

Theorem kqnrm 19458
Description: The Kolmogorov quotient of a normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqnrm  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )

Proof of Theorem kqnrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 19073 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 18671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 196 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65kqnrmlem1 19449 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  e.  Nrm )  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
74, 6mpancom 669 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
8 nrmtop 19073 . . . . 5  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
9 kqtop 19451 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
108, 9sylibr 212 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Top )
1110, 3sylib 196 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
125kqnrmlem2 19450 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (KQ `  J )  e.  Nrm )  ->  J  e.  Nrm )
1311, 12mpancom 669 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Nrm )
147, 13impbii 188 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1758   {crab 2803   U.cuni 4200    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527   Topctop 18631  TopOnctopon 18632   Nrmcnrm 19047  KQckq 19399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-map 7327  df-qtop 14565  df-top 18636  df-topon 18639  df-cld 18756  df-cls 18758  df-cn 18964  df-nrm 19054  df-kq 19400
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator