MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqnrm Structured version   Unicode version

Theorem kqnrm 19981
Description: The Kolmogorov quotient of a normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqnrm  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )

Proof of Theorem kqnrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 19596 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 19194 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 196 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2460 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65kqnrmlem1 19972 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  e.  Nrm )  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
74, 6mpancom 669 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
8 nrmtop 19596 . . . . 5  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
9 kqtop 19974 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
108, 9sylibr 212 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Top )
1110, 3sylib 196 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
125kqnrmlem2 19973 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (KQ `  J )  e.  Nrm )  ->  J  e.  Nrm )
1311, 12mpancom 669 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Nrm )
147, 13impbii 188 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1762   {crab 2811   U.cuni 4238    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579   Topctop 19154  TopOnctopon 19155   Nrmcnrm 19570  KQckq 19922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-map 7412  df-qtop 14751  df-top 19159  df-topon 19162  df-cld 19279  df-cls 19281  df-cn 19487  df-nrm 19577  df-kq 19923
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator