MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqnrm Structured version   Unicode version

Theorem kqnrm 20437
Description: The Kolmogorov quotient of a normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqnrm  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )

Proof of Theorem kqnrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 20022 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 19618 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 196 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2402 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65kqnrmlem1 20428 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  e.  Nrm )  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
74, 6mpancom 667 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
8 nrmtop 20022 . . . . 5  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
9 kqtop 20430 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
108, 9sylibr 212 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Top )
1110, 3sylib 196 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
125kqnrmlem2 20429 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (KQ `  J )  e.  Nrm )  ->  J  e.  Nrm )
1311, 12mpancom 667 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Nrm )
147, 13impbii 188 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1842   {crab 2757   U.cuni 4190    |-> cmpt 4452   ` cfv 5525   Topctop 19578  TopOnctopon 19579   Nrmcnrm 19996  KQckq 20378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-map 7379  df-qtop 15013  df-top 19583  df-topon 19586  df-cld 19704  df-cls 19706  df-cn 19913  df-nrm 20003  df-kq 20379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator