Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqfvima Structured version   Unicode version

Theorem kqfvima 19994
 Description: When the image set is open, the quotient map satisfies a partial converse to fnfvima 6138, which is normally only true for injective functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
kqfvima TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem kqfvima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5
21kqffn 19989 . . . 4 TopOn
323ad2ant1 1017 . . 3 TopOn
4 toponss 19225 . . . 4 TopOn
543adant3 1016 . . 3 TopOn
6 fnfvima 6138 . . . 4
763expia 1198 . . 3
83, 5, 7syl2anc 661 . 2 TopOn
9 fnfun 5678 . . . 4
10 fvelima 5919 . . . . 5
1110ex 434 . . . 4
123, 9, 113syl 20 . . 3 TopOn
13 simpr 461 . . . . 5 TopOn
14 simpl1 999 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
155sselda 3504 . . . . . . . . 9 TopOn
16 simpl3 1001 . . . . . . . . 9 TopOn
171kqfeq 19988 . . . . . . . . 9 TopOn
1814, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . 8 TopOn
19 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
20 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
2119, 20bibi12d 321 . . . . . . . . 9
2221cbvralv 3088 . . . . . . . 8
2318, 22syl6bb 261 . . . . . . 7 TopOn
24 simpl2 1000 . . . . . . . 8 TopOn
25 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
26 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
2725, 26bibi12d 321 . . . . . . . . 9
2827rspcv 3210 . . . . . . . 8
2924, 28syl 16 . . . . . . 7 TopOn
3023, 29sylbid 215 . . . . . 6 TopOn
31 bi1 186 . . . . . 6
3230, 31syl6 33 . . . . 5 TopOn
3313, 32mpid 41 . . . 4 TopOn
3433rexlimdva 2955 . . 3 TopOn
3512, 34syld 44 . 2 TopOn
368, 35impbid 191 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  crab 2818   wss 3476   cmpt 4505  cima 5002   wfun 5582   wfn 5583  cfv 5588  TopOnctopon 19190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-topon 19197 This theorem is referenced by:  kqsat  19995  kqdisj  19996  kqcldsat  19997  kqt0lem  20000  isr0  20001  regr1lem  20003  kqreglem1  20005  kqreglem2  20006
 Copyright terms: Public domain W3C validator