MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqffn Structured version   Unicode version

Theorem kqffn 20518
Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqffn  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    F( x, y)    V( y)

Proof of Theorem kqffn
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3524 . . . . 5  |-  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J
2 elpw2g 4557 . . . . 5  |-  ( J  e.  V  ->  ( { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J ) )
31, 2mpbiri 233 . . . 4  |-  ( J  e.  V  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J )
43adantr 463 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J
)
5 kqval.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
64, 5fmptd 6033 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  F : X --> ~P J )
7 ffn 5714 . 2  |-  ( F : X --> ~P J  ->  F  Fn  X )
86, 7syl 17 1  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955    |-> cmpt 4453    Fn wfn 5564   -->wf 5565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577
This theorem is referenced by:  kqtopon  20520  kqid  20521  ist0-4  20522  kqfvima  20523  kqsat  20524  kqdisj  20525  kqcldsat  20526  kqopn  20527  kqcld  20528  kqt0lem  20529  isr0  20530  r0cld  20531  regr1lem2  20533  kqreglem1  20534  kqreglem2  20535  kqnrmlem1  20536  kqnrmlem2  20537
  Copyright terms: Public domain W3C validator