MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqffn Structured version   Unicode version

Theorem kqffn 19416
Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqffn  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    F( x, y)    V( y)

Proof of Theorem kqffn
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3537 . . . . 5  |-  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J
2 elpw2g 4555 . . . . 5  |-  ( J  e.  V  ->  ( { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J ) )
31, 2mpbiri 233 . . . 4  |-  ( J  e.  V  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J
)
5 kqval.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
64, 5fmptd 5968 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  F : X --> ~P J )
7 ffn 5659 . 2  |-  ( F : X --> ~P J  ->  F  Fn  X )
86, 7syl 16 1  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799    C_ wss 3428   ~Pcpw 3960    |-> cmpt 4450    Fn wfn 5513   -->wf 5514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-fv 5526
This theorem is referenced by:  kqtopon  19418  kqid  19419  ist0-4  19420  kqfvima  19421  kqsat  19422  kqdisj  19423  kqcldsat  19424  kqopn  19425  kqcld  19426  kqt0lem  19427  isr0  19428  r0cld  19429  regr1lem2  19431  kqreglem1  19432  kqreglem2  19433  kqnrmlem1  19434  kqnrmlem2  19435
  Copyright terms: Public domain W3C validator