MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigthlem Unicode version

Theorem konigthlem 8399
Description: Lemma for konigth 8400. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
konigth.1  |-  A  e. 
_V
konigth.2  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
konigth.3  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
konigth.4  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
konigth.5  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
Assertion
Ref Expression
konigthlem  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Distinct variable groups:    A, a,
e, f, i    D, a, e    E, a, i    M, a, f    N, a, e, f    P, a, e, f    S, a, e, f
Allowed substitution hints:    D( f, i)    P( i)    S( i)    E( e, f)    M( e, i)    N( i)

Proof of Theorem konigthlem
StepHypRef Expression
1 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( M `
 i )  e. 
_V
2 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  a ) `
 i )  e. 
_V
3 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )
42, 3fnmpti 5532 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  Fn  ( M `  i )
51mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  e.  _V
6 konigth.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
76fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) )  e.  _V )  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `
 i )  |->  ( ( f `  a
) `  i )
) )
85, 7mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) )
98fneq1d 5495 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  <->  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )  Fn  ( M `  i
) ) )
104, 9mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  Fn  ( M `  i
) )
11 fnrndomg 8369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M `  i )  e.  _V  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  ->  ran  ( D `  i
)  ~<_  ( M `  i ) ) )
121, 10, 11mpsyl 61 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  A  ->  ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `  i
) )
13 domsdomtr 7201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `
 i )  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
1412, 13sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
15 sdomdif 7214 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( D `  i
)  ~<  ( N `  i )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1716ralimiaa 2740 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  =/=  (/) )
18 konigth.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
19 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( N `
 i )  e. 
_V
20 difss 3434 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  C_  ( N `  i )
2119, 20ssexi 4308 . . . . . 6  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  e. 
_V
2218, 21ac6c5 8318 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/)  ->  E. e A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
23 equid 1684 . . . . . . 7  |-  f  =  f
24 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  (
e `  i )  e.  ( N `  i
) )
25 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e `
 i )  e. 
_V
26 konigth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
2726fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( e `  i
)  e.  _V )  ->  ( E `  i
)  =  ( e `
 i ) )
2825, 27mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  A  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
2928eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  (
( E `  i
)  e.  ( N `
 i )  <->  ( e `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3024, 29syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  (
( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  -> 
( E `  i
)  e.  ( N `
 i ) ) )
3130ralimia 2739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) )
3225, 26fnmpti 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  E  Fn  A
3331, 32jctil 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3418mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  |->  ( e `
 i ) )  e.  _V
3526, 34eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  E  e. 
_V
3635elixp 7028 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i )  <-> 
( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3733, 36sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i ) )
38 konigth.3 . . . . . . . . 9  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
3937, 38syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  P )
40 foelrn 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : S -onto-> P  /\  E  e.  P
)  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a
) )
4140expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  P  ->  (
f : S -onto-> P  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a ) ) )
42 konigth.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
4342eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i ) )
44 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i )  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
4543, 44bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
46 nfra1 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )
47 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  E  =  ( f `
 a )
4846, 47nfan 1842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )
49 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  -.  f  =  f
5028ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
51 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E  =  ( f `  a )  ->  ( E `  i )  =  ( ( f `
 a ) `  i ) )
528fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
) `  a )  =  ( ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) ) `
 a ) )
533fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( M `
 i )  /\  ( ( f `  a ) `  i
)  e.  _V )  ->  ( ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) `  a )  =  ( ( f `  a
) `  i )
)
542, 53mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ( M `  i )  ->  (
( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5552, 54sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5655eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( f `  a ) `  i
)  =  ( ( D `  i ) `
 a ) )
5751, 56sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
5850, 57eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
59 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6010, 59sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6160adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
( D `  i
) `  a )  e.  ran  ( D `  i ) )
6258, 61eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
63623adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
64 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
65 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  i  e.  A
)
66 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  ( e `
 i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) ) ) )
67 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  -.  ( e `  i
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6866, 67syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  -.  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) ) )
6964, 65, 68sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
7063, 69pm2.21dd 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  f  =  f )
71703expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i
) )  ->  -.  f  =  f )
)
7271exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( i  e.  A  ->  ( a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) ) )
7348, 49, 72rexlimd 2787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) )
7445, 73syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( a  e.  S  ->  -.  f  =  f ) )
7574ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  (
a  e.  S  ->  -.  f  =  f
) ) )
7675com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( a  e.  S  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
) )
7776rexlimdv 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E. a  e.  S  E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
)
7841, 77syl9r 69 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  e.  P  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f
) ) )
7939, 78mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f ) )
8023, 79mt2i 112 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8180exlimiv 1641 . . . . 5  |-  ( E. e A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8217, 22, 813syl 19 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  f : S -onto-> P )
8382nexdv 1937 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  E. f 
f : S -onto-> P
)
8410dom 7196 . . . . . . . 8  |-  (/)  ~<_  ( M `
 i )
85 domsdomtr 7201 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<_  ( M `  i )  /\  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
) )  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
8684, 85mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
87190sdom 7197 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ~< 
( N `  i
)  <->  ( N `  i )  =/=  (/) )
8886, 87sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  ( N `  i )  =/=  (/) )
8988ralimi 2741 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9038neeq1i 2577 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9119rgenw 2733 . . . . . . . . 9  |-  A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
92 ixpexg 7045 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V  ->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
9438, 93eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
95940sdom 7197 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  P 
<->  P  =/=  (/) )
9618, 19ac9 8319 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9790, 95, 963bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( (/)  ~<  P 
<-> 
A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9889, 97sylibr 204 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  P )
9918, 1iunex 5950 . . . . . . 7  |-  U_ i  e.  A  ( M `  i )  e.  _V
10042, 99eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
101 domtri 8387 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P ) )
10294, 100, 101mp2an 654 . . . . 5  |-  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P )
103102biimpri 198 . . . 4  |-  ( -.  S  ~<  P  ->  P  ~<_  S )
104 fodomr 7217 . . . 4  |-  ( (
(/)  ~<  P  /\  P  ~<_  S )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10598, 103, 104syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A. i  e.  A  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  /\  -.  S  ~<  P )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10683, 105mtand 641 . 2  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  -.  S  ~<  P )
107106notnotrd 107 1  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   (/)c0 3588   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413   X_cixp 7022    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067
This theorem is referenced by:  konigth  8400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-ac2 8299
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953
  Copyright terms: Public domain W3C validator