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Theorem konigthlem 8975
Description: Lemma for konigth 8976. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
konigth.1  |-  A  e. 
_V
konigth.2  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
konigth.3  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
konigth.4  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
konigth.5  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
Assertion
Ref Expression
konigthlem  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Distinct variable groups:    A, a,
e, f, i    D, a, e    E, a, i    M, a, f    N, a, e, f    P, a, e, f    S, a, e, f
Allowed substitution hints:    D( f, i)    P( i)    S( i)    E( e, f)    M( e, i)    N( i)

Proof of Theorem konigthlem
StepHypRef Expression
1 fvex 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( M `
 i )  e. 
_V
2 fvex 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  a ) `
 i )  e. 
_V
3 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )
42, 3fnmpti 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  Fn  ( M `  i )
51mptex 6124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  e.  _V
6 konigth.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
76fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) )  e.  _V )  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `
 i )  |->  ( ( f `  a
) `  i )
) )
85, 7mpan2 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) )
98fneq1d 5652 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  <->  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )  Fn  ( M `  i
) ) )
104, 9mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  Fn  ( M `  i
) )
11 fnrndomg 8945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M `  i )  e.  _V  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  ->  ran  ( D `  i
)  ~<_  ( M `  i ) ) )
121, 10, 11mpsyl 62 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  A  ->  ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `  i
) )
13 domsdomtr 7690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `
 i )  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
1412, 13sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
15 sdomdif 7703 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( D `  i
)  ~<  ( N `  i )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1614, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1716ralimiaa 2796 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  =/=  (/) )
18 konigth.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
19 fvex 5859 . . . . . . 7  |-  ( N `
 i )  e. 
_V
20 difss 3570 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  C_  ( N `  i )
2119, 20ssexi 4539 . . . . . 6  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  e. 
_V
2218, 21ac6c5 8894 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/)  ->  E. e A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
23 equid 1815 . . . . . . 7  |-  f  =  f
24 eldifi 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  (
e `  i )  e.  ( N `  i
) )
25 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e `
 i )  e. 
_V
26 konigth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
2726fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( e `  i
)  e.  _V )  ->  ( E `  i
)  =  ( e `
 i ) )
2825, 27mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  A  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
2928eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  (
( E `  i
)  e.  ( N `
 i )  <->  ( e `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3024, 29syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  (
( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  -> 
( E `  i
)  e.  ( N `
 i ) ) )
3130ralimia 2795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) )
3225, 26fnmpti 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  E  Fn  A
3331, 32jctil 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3418mptex 6124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  |->  ( e `
 i ) )  e.  _V
3526, 34eqeltri 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  E  e. 
_V
3635elixp 7514 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i )  <-> 
( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3733, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i ) )
38 konigth.3 . . . . . . . . 9  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
3937, 38syl6eleqr 2501 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  P )
40 foelrn 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : S -onto-> P  /\  E  e.  P
)  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a
) )
4140expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  P  ->  (
f : S -onto-> P  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a ) ) )
42 konigth.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
4342eleq2i 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i ) )
44 eliun 4276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i )  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
4543, 44bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
46 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )
47 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  E  =  ( f `
 a )
4846, 47nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )
49 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  -.  f  =  f
5028ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
51 fveq1 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E  =  ( f `  a )  ->  ( E `  i )  =  ( ( f `
 a ) `  i ) )
528fveq1d 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
) `  a )  =  ( ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) ) `
 a ) )
533fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( M `
 i )  /\  ( ( f `  a ) `  i
)  e.  _V )  ->  ( ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) `  a )  =  ( ( f `  a
) `  i )
)
542, 53mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ( M `  i )  ->  (
( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5552, 54sylan9eq 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5655eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( f `  a ) `  i
)  =  ( ( D `  i ) `
 a ) )
5751, 56sylan9eq 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
5850, 57eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
59 fnfvelrn 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6010, 59sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6160adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
( D `  i
) `  a )  e.  ran  ( D `  i ) )
6258, 61eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
63623adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
64 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
65 simp3l 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  i  e.  A
)
66 rsp 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  ( e `
 i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) ) ) )
67 eldifn 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  -.  ( e `  i
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6866, 67syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  -.  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) ) )
6964, 65, 68sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
7063, 69pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  f  =  f )
71703expia 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i
) )  ->  -.  f  =  f )
)
7271expd 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( i  e.  A  ->  ( a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) ) )
7348, 49, 72rexlimd 2888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) )
7445, 73syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( a  e.  S  ->  -.  f  =  f ) )
7574ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  (
a  e.  S  ->  -.  f  =  f
) ) )
7675com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( a  e.  S  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
) )
7776rexlimdv 2894 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E. a  e.  S  E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
)
7841, 77syl9r 71 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  e.  P  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f
) ) )
7939, 78mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f ) )
8023, 79mt2i 118 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8180exlimiv 1743 . . . . 5  |-  ( E. e A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8217, 22, 813syl 18 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  f : S -onto-> P )
8382nexdv 1748 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  E. f 
f : S -onto-> P
)
8410dom 7685 . . . . . . . 8  |-  (/)  ~<_  ( M `
 i )
85 domsdomtr 7690 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<_  ( M `  i )  /\  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
) )  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
8684, 85mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
87190sdom 7686 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ~< 
( N `  i
)  <->  ( N `  i )  =/=  (/) )
8886, 87sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  ( N `  i )  =/=  (/) )
8988ralimi 2797 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9038neeq1i 2688 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9119rgenw 2765 . . . . . . . . 9  |-  A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
92 ixpexg 7531 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V  ->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
9438, 93eqeltri 2486 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
95940sdom 7686 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  P 
<->  P  =/=  (/) )
9618, 19ac9 8895 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9790, 95, 963bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( (/)  ~<  P 
<-> 
A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9889, 97sylibr 212 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  P )
9918, 1iunex 6764 . . . . . . 7  |-  U_ i  e.  A  ( M `  i )  e.  _V
10042, 99eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
101 domtri 8963 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P ) )
10294, 100, 101mp2an 670 . . . . 5  |-  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P )
103102biimpri 206 . . . 4  |-  ( -.  S  ~<  P  ->  P  ~<_  S )
104 fodomr 7706 . . . 4  |-  ( (
(/)  ~<  P  /\  P  ~<_  S )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10598, 103, 104syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A. i  e.  A  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  /\  -.  S  ~<  P )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10683, 105mtand 657 . 2  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  -.  S  ~<  P )
107106notnotrd 113 1  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    \ cdif 3411   (/)c0 3738   U_ciun 4271   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ran crn 4824    Fn wfn 5564   -onto->wfo 5567   ` cfv 5569   X_cixp 7507    ~<_ cdom 7552    ~< csdm 7553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-ac2 8875
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-card 8352  df-acn 8355  df-ac 8529
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