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Theorem konigthlem 8847
Description: Lemma for konigth 8848. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
konigth.1  |-  A  e. 
_V
konigth.2  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
konigth.3  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
konigth.4  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
konigth.5  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
Assertion
Ref Expression
konigthlem  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Distinct variable groups:    A, a,
e, f, i    D, a, e    E, a, i    M, a, f    N, a, e, f    P, a, e, f    S, a, e, f
Allowed substitution hints:    D( f, i)    P( i)    S( i)    E( e, f)    M( e, i)    N( i)

Proof of Theorem konigthlem
StepHypRef Expression
1 fvex 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( M `
 i )  e. 
_V
2 fvex 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  a ) `
 i )  e. 
_V
3 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )
42, 3fnmpti 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  Fn  ( M `  i )
51mptex 6060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  e.  _V
6 konigth.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
76fvmpt2 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) )  e.  _V )  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `
 i )  |->  ( ( f `  a
) `  i )
) )
85, 7mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) )
98fneq1d 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  <->  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )  Fn  ( M `  i
) ) )
104, 9mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  Fn  ( M `  i
) )
11 fnrndomg 8817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M `  i )  e.  _V  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  ->  ran  ( D `  i
)  ~<_  ( M `  i ) ) )
121, 10, 11mpsyl 63 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  A  ->  ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `  i
) )
13 domsdomtr 7559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `
 i )  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
1412, 13sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
15 sdomdif 7572 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( D `  i
)  ~<  ( N `  i )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1716ralimiaa 2818 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  =/=  (/) )
18 konigth.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
19 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( N `
 i )  e. 
_V
20 difss 3594 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  C_  ( N `  i )
2119, 20ssexi 4548 . . . . . 6  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  e. 
_V
2218, 21ac6c5 8766 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/)  ->  E. e A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
23 equid 1731 . . . . . . 7  |-  f  =  f
24 eldifi 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  (
e `  i )  e.  ( N `  i
) )
25 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e `
 i )  e. 
_V
26 konigth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
2726fvmpt2 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( e `  i
)  e.  _V )  ->  ( E `  i
)  =  ( e `
 i ) )
2825, 27mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  A  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
2928eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  (
( E `  i
)  e.  ( N `
 i )  <->  ( e `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3024, 29syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  (
( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  -> 
( E `  i
)  e.  ( N `
 i ) ) )
3130ralimia 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) )
3225, 26fnmpti 5650 . . . . . . . . . . 11  |-  E  Fn  A
3331, 32jctil 537 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3418mptex 6060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  |->  ( e `
 i ) )  e.  _V
3526, 34eqeltri 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  E  e. 
_V
3635elixp 7383 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i )  <-> 
( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3733, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i ) )
38 konigth.3 . . . . . . . . 9  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
3937, 38syl6eleqr 2553 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  P )
40 foelrn 5974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : S -onto-> P  /\  E  e.  P
)  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a
) )
4140expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  P  ->  (
f : S -onto-> P  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a ) ) )
42 konigth.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
4342eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i ) )
44 eliun 4286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i )  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
4543, 44bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
46 nfra1 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )
47 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  E  =  ( f `
 a )
4846, 47nfan 1866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )
49 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  -.  f  =  f
5028ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
51 fveq1 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E  =  ( f `  a )  ->  ( E `  i )  =  ( ( f `
 a ) `  i ) )
528fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
) `  a )  =  ( ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) ) `
 a ) )
533fvmpt2 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  ( M `
 i )  /\  ( ( f `  a ) `  i
)  e.  _V )  ->  ( ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) `  a )  =  ( ( f `  a
) `  i )
)
542, 53mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ( M `  i )  ->  (
( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5552, 54sylan9eq 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5655eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( f `  a ) `  i
)  =  ( ( D `  i ) `
 a ) )
5751, 56sylan9eq 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
5850, 57eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
59 fnfvelrn 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6010, 59sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
( D `  i
) `  a )  e.  ran  ( D `  i ) )
6258, 61eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
63623adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
64 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
65 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  i  e.  A
)
66 rsp 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  ( e `
 i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) ) ) )
67 eldifn 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  -.  ( e `  i
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6866, 67syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  -.  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) ) )
6964, 65, 68sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
7063, 69pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  f  =  f )
71703expia 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i
) )  ->  -.  f  =  f )
)
7271expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( i  e.  A  ->  ( a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) ) )
7348, 49, 72rexlimd 2944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) )
7445, 73syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( a  e.  S  ->  -.  f  =  f ) )
7574ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  (
a  e.  S  ->  -.  f  =  f
) ) )
7675com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( a  e.  S  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
) )
7776rexlimdv 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E. a  e.  S  E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
)
7841, 77syl9r 72 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  e.  P  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f
) ) )
7939, 78mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f ) )
8023, 79mt2i 118 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8180exlimiv 1689 . . . . 5  |-  ( E. e A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8217, 22, 813syl 20 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  f : S -onto-> P )
8382nexdv 1823 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  E. f 
f : S -onto-> P
)
8410dom 7554 . . . . . . . 8  |-  (/)  ~<_  ( M `
 i )
85 domsdomtr 7559 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<_  ( M `  i )  /\  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
) )  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
8684, 85mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
87190sdom 7555 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ~< 
( N `  i
)  <->  ( N `  i )  =/=  (/) )
8886, 87sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  ( N `  i )  =/=  (/) )
8988ralimi 2819 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9038neeq1i 2737 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9119rgenw 2901 . . . . . . . . 9  |-  A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
92 ixpexg 7400 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V  ->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
9438, 93eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
95940sdom 7555 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  P 
<->  P  =/=  (/) )
9618, 19ac9 8767 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9790, 95, 963bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( (/)  ~<  P 
<-> 
A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9889, 97sylibr 212 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  P )
9918, 1iunex 6670 . . . . . . 7  |-  U_ i  e.  A  ( M `  i )  e.  _V
10042, 99eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
101 domtri 8835 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P ) )
10294, 100, 101mp2an 672 . . . . 5  |-  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P )
103102biimpri 206 . . . 4  |-  ( -.  S  ~<  P  ->  P  ~<_  S )
104 fodomr 7575 . . . 4  |-  ( (
(/)  ~<  P  /\  P  ~<_  S )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10598, 103, 104syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A. i  e.  A  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  /\  -.  S  ~<  P )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10683, 105mtand 659 . 2  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  -.  S  ~<  P )
107106notnotrd 113 1  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   (/)c0 3748   U_ciun 4282   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ran crn 4952    Fn wfn 5524   -onto->wfo 5527   ` cfv 5529   X_cixp 7376    ~<_ cdom 7421    ~< csdm 7422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-ac2 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-card 8224  df-acn 8227  df-ac 8401
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