Theorem konigthlem 8955

Description: Lemma for konigth 8956. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigth.1	|- A e. _V
konigth.2	|- S = U_ i e. A ( M ` i )
konigth.3	|- P = X_ i e. A ( N ` i )
konigth.4	|- D = ( i e. A |-> ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
konigth.5	|- E = ( i e. A |-> ( e ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
konigthlem	|- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> S ~< P )

Distinct variable groups:   A, a, e, f, i   D, a, e   E, a, i   M, a, f   N, a, e, f   P, a, e, f   S, a, e, f

Allowed substitution hints:   D( f, i)   P( i)   S( i)   E( e, f)   M( e, i)   N( i)

Proof of Theorem konigthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( M ` i ) e. _V
2		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` a ) ` i ) e. _V
3		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) = ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) )
4	2, 3	fnmpti 5715	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) Fn ( M ` i )
5	1	mptex 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) e. _V
6		konigth.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( i e. A |-> ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
7	6	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. A /\ ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) e. _V ) -> ( D ` i ) = ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
8	5, 7	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. A -> ( D ` i ) = ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
9	8	fneq1d 5677	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. A -> ( ( D ` i ) Fn ( M ` i ) <-> ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) Fn ( M ` i ) ) )
10	4, 9	mpbiri 233	. . . . . . . . 9 |- ( i e. A -> ( D ` i ) Fn ( M ` i ) )
11		fnrndomg 8925	. . . . . . . . 9 |- ( ( M ` i ) e. _V -> ( ( D ` i ) Fn ( M ` i ) -> ran ( D ` i ) ~<_ ( M ` i ) ) )
12	1, 10, 11	mpsyl 63	. . . . . . . 8 |- ( i e. A -> ran ( D ` i ) ~<_ ( M ` i ) )
13		domsdomtr 7664	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( D ` i ) ~<_ ( M ` i ) /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> ran ( D ` i ) ~< ( N ` i ) )
14	12, 13	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( i e. A /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> ran ( D ` i ) ~< ( N ` i ) )
15		sdomdif 7677	. . . . . . 7 |- ( ran ( D ` i ) ~< ( N ` i ) -> ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) )
16	14, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( i e. A /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) )
17	16	ralimiaa 2859	. . . . 5 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> A. i e. A ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) )
18		konigth.1	. . . . . 6 |- A e. _V
19		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( N ` i ) e. _V
20		difss 3636	. . . . . . 7 |- ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) C_ ( N ` i )
21	19, 20	ssexi 4598	. . . . . 6 |- ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) e. _V
22	18, 21	ac6c5 8874	. . . . 5 |- ( A. i e. A ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) -> E. e A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) )
23		equid 1740	. . . . . . 7 |- f = f
24		eldifi 3631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( e ` i ) e. ( N ` i ) )
25		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e ` i ) e. _V
26		konigth.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E = ( i e. A |-> ( e ` i ) )
27	26	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. A /\ ( e ` i ) e. _V ) -> ( E ` i ) = ( e ` i ) )
28	25, 27	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. A -> ( E ` i ) = ( e ` i ) )
29	28	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. A -> ( ( E ` i ) e. ( N ` i ) <-> ( e ` i ) e. ( N ` i ) ) )
30	24, 29	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A -> ( ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E ` i ) e. ( N ` i ) ) )
31	30	ralimia 2858	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> A. i e. A ( E ` i ) e. ( N ` i ) )
32	25, 26	fnmpti 5715	. . . . . . . . . . 11 |- E Fn A
33	31, 32	jctil 537	. . . . . . . . . 10 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E Fn A /\ A. i e. A ( E ` i ) e. ( N ` i ) ) )
34	18	mptex 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A |-> ( e ` i ) ) e. _V
35	26, 34	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . 11 |- E e. _V
36	35	elixp 7488	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. X_ i e. A ( N ` i ) <-> ( E Fn A /\ A. i e. A ( E ` i ) e. ( N ` i ) ) )
37	33, 36	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> E e. X_ i e. A ( N ` i ) )
38		konigth.3	. . . . . . . . 9 |- P = X_ i e. A ( N ` i )
39	37, 38	syl6eleqr 2566	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> E e. P )
40		foelrn 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : S -onto-> P /\ E e. P ) -> E. a e. S E = ( f ` a ) )
41	40	expcom 435	. . . . . . . . 9 |- ( E e. P -> ( f : S -onto-> P -> E. a e. S E = ( f ` a ) ) )
42		konigth.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = U_ i e. A ( M ` i )
43	42	eleq2i 2545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. S <-> a e. U_ i e. A ( M ` i ) )
44		eliun 4336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. U_ i e. A ( M ` i ) <-> E. i e. A a e. ( M ` i ) )
45	43, 44	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. S <-> E. i e. A a e. ( M ` i ) )
46		nfra1 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) )
47		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i E = ( f ` a )
48	46, 47	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) )
49		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i -. f = f
50	28	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( E ` i ) = ( e ` i ) )
51		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E = ( f ` a ) -> ( E ` i ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
52	8	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. A -> ( ( D ` i ) ` a ) = ( ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) ` a ) )
53	3	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a e. ( M ` i ) /\ ( ( f ` a ) ` i ) e. _V ) -> ( ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) ` a ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
54	2, 53	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a e. ( M ` i ) -> ( ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) ` a ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
55	52, 54	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
56	55	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( f ` a ) ` i ) = ( ( D ` i ) ` a ) )
57	51, 56	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( E ` i ) = ( ( D ` i ) ` a ) )
58	50, 57	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( e ` i ) = ( ( D ` i ) ` a ) )
59		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D ` i ) Fn ( M ` i ) /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) e. ran ( D ` i ) )
60	10, 59	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) e. ran ( D ` i ) )
61	60	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) e. ran ( D ` i ) )
62	58, 61	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
63	62	3adant1 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
64		simp1 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) )
65		simp3l 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> i e. A )
66		rsp 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( i e. A -> ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) ) )
67		eldifn 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> -. ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
68	66, 67	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( i e. A -> -. ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) ) )
69	64, 65, 68	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> -. ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
70	63, 69	pm2.21dd 174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> -. f = f )
71	70	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> -. f = f ) )
72	71	expd 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( i e. A -> ( a e. ( M ` i ) -> -. f = f ) ) )
73	48, 49, 72	rexlimd 2951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( E. i e. A a e. ( M ` i ) -> -. f = f ) )
74	45, 73	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( a e. S -> -. f = f ) )
75	74	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E = ( f ` a ) -> ( a e. S -> -. f = f ) ) )
76	75	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( a e. S -> ( E = ( f ` a ) -> -. f = f ) ) )
77	76	rexlimdv 2957	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E. a e. S E = ( f ` a ) -> -. f = f ) )
78	41, 77	syl9r 72	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E e. P -> ( f : S -onto-> P -> -. f = f ) ) )
79	39, 78	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( f : S -onto-> P -> -. f = f ) )
80	23, 79	mt2i 118	. . . . . 6 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> -. f : S -onto-> P )
81	80	exlimiv 1698	. . . . 5 |- ( E. e A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> -. f : S -onto-> P )
82	17, 22, 81	3syl 20	. . . 4 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> -. f : S -onto-> P )
83	82	nexdv 1832	. . 3 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> -. E. f f : S -onto-> P )
84	1	0dom 7659	. . . . . . . 8 |- (/) ~<_ ( M ` i )
85		domsdomtr 7664	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) ~<_ ( M ` i ) /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> (/) ~< ( N ` i ) )
86	84, 85	mpan 670	. . . . . . 7 |- ( ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> (/) ~< ( N ` i ) )
87	19	0sdom 7660	. . . . . . 7 |- ( (/) ~< ( N ` i ) <-> ( N ` i ) =/= (/) )
88	86, 87	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> ( N ` i ) =/= (/) )
89	88	ralimi 2860	. . . . 5 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> A. i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
90	38	neeq1i 2752	. . . . . 6 |- ( P =/= (/) <-> X_ i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
91	19	rgenw 2828	. . . . . . . . 9 |- A. i e. A ( N ` i ) e. _V
92		ixpexg 7505	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. A ( N ` i ) e. _V -> X_ i e. A ( N ` i ) e. _V )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- X_ i e. A ( N ` i ) e. _V
94	38, 93	eqeltri 2551	. . . . . . 7 |- P e. _V
95	94	0sdom 7660	. . . . . 6 |- ( (/) ~< P <-> P =/= (/) )
96	18, 19	ac9 8875	. . . . . 6 |- ( A. i e. A ( N ` i ) =/= (/) <-> X_ i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
97	90, 95, 96	3bitr4i 277	. . . . 5 |- ( (/) ~< P <-> A. i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
98	89, 97	sylibr 212	. . . 4 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> (/) ~< P )
99	18, 1	iunex 6775	. . . . . . 7 |- U_ i e. A ( M ` i ) e. _V
100	42, 99	eqeltri 2551	. . . . . 6 |- S e. _V
101		domtri 8943	. . . . . 6 |- ( ( P e. _V /\ S e. _V ) -> ( P ~<_ S <-> -. S ~< P ) )
102	94, 100, 101	mp2an 672	. . . . 5 |- ( P ~<_ S <-> -. S ~< P )
103	102	biimpri 206	. . . 4 |- ( -. S ~< P -> P ~<_ S )
104		fodomr 7680	. . . 4 |- ( ( (/) ~< P /\ P ~<_ S ) -> E. f f : S -onto-> P )
105	98, 103, 104	syl2an 477	. . 3 |- ( ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) /\ -. S ~< P ) -> E. f f : S -onto-> P )
106	83, 105	mtand 659	. 2 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> -. -. S ~< P )
107	106	notnotrd 113	1 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> S ~< P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   (/)c0 3790   U_ciun 4331   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   ran crn 5006   Fn wfn 5589   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594   X_cixp 7481   ~<_ cdom 7526   ~< csdm 7527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-ac2 8855

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509

This theorem is referenced by:  konigth  8956