Theorem konigthlem 9011

Description: Lemma for konigth 9012. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigth.1	|- A e. _V
konigth.2	|- S = U_ i e. A ( M ` i )
konigth.3	|- P = X_ i e. A ( N ` i )
konigth.4	|- D = ( i e. A |-> ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
konigth.5	|- E = ( i e. A |-> ( e ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
konigthlem	|- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> S ~< P )

Distinct variable groups:   A, a, e, f, i   D, a, e   E, a, i   M, a, f   N, a, e, f   P, a, e, f   S, a, e, f

Allowed substitution hints:   D( f, i)   P( i)   S( i)   E( e, f)   M( e, i)   N( i)

Proof of Theorem konigthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( M ` i ) e. _V
2		fvex 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` a ) ` i ) e. _V
3		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) = ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) )
4	2, 3	fnmpti 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) Fn ( M ` i )
5	1	mptex 6152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) e. _V
6		konigth.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( i e. A |-> ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
7	6	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. A /\ ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) e. _V ) -> ( D ` i ) = ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
8	5, 7	mpan2 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. A -> ( D ` i ) = ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) )
9	8	fneq1d 5676	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. A -> ( ( D ` i ) Fn ( M ` i ) <-> ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) Fn ( M ` i ) ) )
10	4, 9	mpbiri 241	. . . . . . . . 9 |- ( i e. A -> ( D ` i ) Fn ( M ` i ) )
11		fnrndomg 8981	. . . . . . . . 9 |- ( ( M ` i ) e. _V -> ( ( D ` i ) Fn ( M ` i ) -> ran ( D ` i ) ~<_ ( M ` i ) ) )
12	1, 10, 11	mpsyl 64	. . . . . . . 8 |- ( i e. A -> ran ( D ` i ) ~<_ ( M ` i ) )
13		domsdomtr 7725	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( D ` i ) ~<_ ( M ` i ) /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> ran ( D ` i ) ~< ( N ` i ) )
14	12, 13	sylan 479	. . . . . . 7 |- ( ( i e. A /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> ran ( D ` i ) ~< ( N ` i ) )
15		sdomdif 7738	. . . . . . 7 |- ( ran ( D ` i ) ~< ( N ` i ) -> ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( i e. A /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) )
17	16	ralimiaa 2795	. . . . 5 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> A. i e. A ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) )
18		konigth.1	. . . . . 6 |- A e. _V
19		fvex 5889	. . . . . . 7 |- ( N ` i ) e. _V
20		difss 3549	. . . . . . 7 |- ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) C_ ( N ` i )
21	19, 20	ssexi 4541	. . . . . 6 |- ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) e. _V
22	18, 21	ac6c5 8930	. . . . 5 |- ( A. i e. A ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) =/= (/) -> E. e A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) )
23		equid 1863	. . . . . . 7 |- f = f
24		eldifi 3544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( e ` i ) e. ( N ` i ) )
25		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e ` i ) e. _V
26		konigth.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E = ( i e. A |-> ( e ` i ) )
27	26	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. A /\ ( e ` i ) e. _V ) -> ( E ` i ) = ( e ` i ) )
28	25, 27	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. A -> ( E ` i ) = ( e ` i ) )
29	28	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. A -> ( ( E ` i ) e. ( N ` i ) <-> ( e ` i ) e. ( N ` i ) ) )
30	24, 29	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A -> ( ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E ` i ) e. ( N ` i ) ) )
31	30	ralimia 2794	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> A. i e. A ( E ` i ) e. ( N ` i ) )
32	25, 26	fnmpti 5716	. . . . . . . . . . 11 |- E Fn A
33	31, 32	jctil 546	. . . . . . . . . 10 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E Fn A /\ A. i e. A ( E ` i ) e. ( N ` i ) ) )
34	18	mptex 6152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A |-> ( e ` i ) ) e. _V
35	26, 34	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . 11 |- E e. _V
36	35	elixp 7547	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. X_ i e. A ( N ` i ) <-> ( E Fn A /\ A. i e. A ( E ` i ) e. ( N ` i ) ) )
37	33, 36	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> E e. X_ i e. A ( N ` i ) )
38		konigth.3	. . . . . . . . 9 |- P = X_ i e. A ( N ` i )
39	37, 38	syl6eleqr 2560	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> E e. P )
40		foelrn 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : S -onto-> P /\ E e. P ) -> E. a e. S E = ( f ` a ) )
41	40	expcom 442	. . . . . . . . 9 |- ( E e. P -> ( f : S -onto-> P -> E. a e. S E = ( f ` a ) ) )
42		konigth.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = U_ i e. A ( M ` i )
43	42	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. S <-> a e. U_ i e. A ( M ` i ) )
44		eliun 4274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. U_ i e. A ( M ` i ) <-> E. i e. A a e. ( M ` i ) )
45	43, 44	bitri 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. S <-> E. i e. A a e. ( M ` i ) )
46		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) )
47		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i E = ( f ` a )
48	46, 47	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) )
49		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i -. f = f
50	28	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( E ` i ) = ( e ` i ) )
51		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E = ( f ` a ) -> ( E ` i ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
52	8	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. A -> ( ( D ` i ) ` a ) = ( ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) ` a ) )
53	3	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a e. ( M ` i ) /\ ( ( f ` a ) ` i ) e. _V ) -> ( ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) ` a ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
54	2, 53	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a e. ( M ` i ) -> ( ( a e. ( M ` i ) |-> ( ( f ` a ) ` i ) ) ` a ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
55	52, 54	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) = ( ( f ` a ) ` i ) )
56	55	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( f ` a ) ` i ) = ( ( D ` i ) ` a ) )
57	51, 56	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( E ` i ) = ( ( D ` i ) ` a ) )
58	50, 57	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( e ` i ) = ( ( D ` i ) ` a ) )
59		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D ` i ) Fn ( M ` i ) /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) e. ran ( D ` i ) )
60	10, 59	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) e. ran ( D ` i ) )
61	60	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( ( D ` i ) ` a ) e. ran ( D ` i ) )
62	58, 61	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
63	62	3adant1 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
64		simp1 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) )
65		simp3l 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> i e. A )
66		rsp 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( i e. A -> ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) ) )
67		eldifn 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> -. ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
68	66, 67	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( i e. A -> -. ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) ) )
69	64, 65, 68	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> -. ( e ` i ) e. ran ( D ` i ) )
70	63, 69	pm2.21dd 179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) /\ ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) ) -> -. f = f )
71	70	3expia 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( ( i e. A /\ a e. ( M ` i ) ) -> -. f = f ) )
72	71	expd 443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( i e. A -> ( a e. ( M ` i ) -> -. f = f ) ) )
73	48, 49, 72	rexlimd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( E. i e. A a e. ( M ` i ) -> -. f = f ) )
74	45, 73	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) /\ E = ( f ` a ) ) -> ( a e. S -> -. f = f ) )
75	74	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E = ( f ` a ) -> ( a e. S -> -. f = f ) ) )
76	75	com23 80	. . . . . . . . . 10 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( a e. S -> ( E = ( f ` a ) -> -. f = f ) ) )
77	76	rexlimdv 2870	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E. a e. S E = ( f ` a ) -> -. f = f ) )
78	41, 77	syl9r 73	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( E e. P -> ( f : S -onto-> P -> -. f = f ) ) )
79	39, 78	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> ( f : S -onto-> P -> -. f = f ) )
80	23, 79	mt2i 122	. . . . . 6 |- ( A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> -. f : S -onto-> P )
81	80	exlimiv 1784	. . . . 5 |- ( E. e A. i e. A ( e ` i ) e. ( ( N ` i ) \ ran ( D ` i ) ) -> -. f : S -onto-> P )
82	17, 22, 81	3syl 18	. . . 4 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> -. f : S -onto-> P )
83	82	nexdv 1790	. . 3 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> -. E. f f : S -onto-> P )
84	1	0dom 7720	. . . . . . . 8 |- (/) ~<_ ( M ` i )
85		domsdomtr 7725	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) ~<_ ( M ` i ) /\ ( M ` i ) ~< ( N ` i ) ) -> (/) ~< ( N ` i ) )
86	84, 85	mpan 684	. . . . . . 7 |- ( ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> (/) ~< ( N ` i ) )
87	19	0sdom 7721	. . . . . . 7 |- ( (/) ~< ( N ` i ) <-> ( N ` i ) =/= (/) )
88	86, 87	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> ( N ` i ) =/= (/) )
89	88	ralimi 2796	. . . . 5 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> A. i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
90	38	neeq1i 2707	. . . . . 6 |- ( P =/= (/) <-> X_ i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
91	19	rgenw 2768	. . . . . . . . 9 |- A. i e. A ( N ` i ) e. _V
92		ixpexg 7564	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. A ( N ` i ) e. _V -> X_ i e. A ( N ` i ) e. _V )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- X_ i e. A ( N ` i ) e. _V
94	38, 93	eqeltri 2545	. . . . . . 7 |- P e. _V
95	94	0sdom 7721	. . . . . 6 |- ( (/) ~< P <-> P =/= (/) )
96	18, 19	ac9 8931	. . . . . 6 |- ( A. i e. A ( N ` i ) =/= (/) <-> X_ i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
97	90, 95, 96	3bitr4i 285	. . . . 5 |- ( (/) ~< P <-> A. i e. A ( N ` i ) =/= (/) )
98	89, 97	sylibr 217	. . . 4 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> (/) ~< P )
99	18, 1	iunex 6792	. . . . . . 7 |- U_ i e. A ( M ` i ) e. _V
100	42, 99	eqeltri 2545	. . . . . 6 |- S e. _V
101		domtri 8999	. . . . . 6 |- ( ( P e. _V /\ S e. _V ) -> ( P ~<_ S <-> -. S ~< P ) )
102	94, 100, 101	mp2an 686	. . . . 5 |- ( P ~<_ S <-> -. S ~< P )
103	102	biimpri 211	. . . 4 |- ( -. S ~< P -> P ~<_ S )
104		fodomr 7741	. . . 4 |- ( ( (/) ~< P /\ P ~<_ S ) -> E. f f : S -onto-> P )
105	98, 103, 104	syl2an 485	. . 3 |- ( ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) /\ -. S ~< P ) -> E. f f : S -onto-> P )
106	83, 105	mtand 671	. 2 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> -. -. S ~< P )
107	106	notnotrd 117	1 |- ( A. i e. A ( M ` i ) ~< ( N ` i ) -> S ~< P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   (/)c0 3722   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589   X_cixp 7540   ~<_ cdom 7585   ~< csdm 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-ac2 8911

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565

This theorem is referenced by:  konigth  9012