MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberg Structured version   Unicode version

Theorem konigsberg 24679
Description: The Konigsberg Bridge problem. If  <. V ,  E >. is the graph on four vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3, with edges  { 0 ,  1 } ,  { 0 ,  2 } ,  { 0 ,  3 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 1 ,  2 } ,  {
2 ,  3 } ,  { 2 ,  3 }, then vertices  0 ,  1 ,  3 each have degree three, and  2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 24673 the graph cannot have an Eulerian path. This is Metamath 100 proof #54. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
konigsberg.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
konigsberg  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)

Proof of Theorem konigsberg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7794 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2 3ne0 10629 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3 1re 9594 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 1lt3 10703 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
53, 4gtneii 9695 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
62, 5nelpri 4048 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 0 ,  1 }
7 3nn0 10812 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
8 hashunsng 12426 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) )
101, 6, 9mp2an 672 . . . . 5  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
11 df-3 10594 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
12 0ne1 10602 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
13 0nn0 10809 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
14 1nn0 10810 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
15 hashprg 12427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
1712, 16mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
1817oveq1i 6293 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
1911, 18eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  3  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
2010, 19eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  3
21 konigsberg.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
22 fzfi 12049 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2321, 22eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  V  e. 
Fin
24 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  C_  V
25 ssfi 7740 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  C_  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )
2623, 24, 25mp2an 672 . . . . . 6  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin
27 nn0uz 11115 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
287, 27eleqtri 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
29 eluzfz1 11692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 3
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 ... 3
)
3130, 21eleqtrri 2554 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  V
32 2nn 10692 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
33 1nn 10546 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
34 2t1e2 10683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3534oveq1i 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
3635, 11eqtr4i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
37 1lt2 10701 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
3832, 14, 33, 36, 37ndvdsi 13926 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  3
39 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 0 ) )
4023elexi 3123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
41 df-s6 12779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> concat 
<" { 2 ,  3 } "> )
42 df-s5 12778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 } ">  =  (
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> concat  <" {
1 ,  2 } "> )
43 df-s4 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> concat  <" { 1 ,  2 } "> )
44 df-s3 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } "> concat  <" {
0 ,  3 } "> )
45 df-s2 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 } "> concat 
<" { 0 ,  2 } "> )
46 1le3 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <_  3
4714, 27eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
48 3z 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  ZZ
49 elfz5 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
5047, 48, 49mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
5146, 50mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
5251, 21eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  V
5340, 31, 52umgrabi 24675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T. 
->  { 0 ,  1 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
5453s1cld 12577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
55 2re 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
56 3re 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  e.  RR
57 2lt3 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  3
5855, 56, 57ltleii 9706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  3
59 2nn0 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  NN0
6059, 27eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
61 elfz5 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 ) )
6260, 48, 61mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 )
6358, 62mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( 0 ... 3
)
6463, 21eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  V
6540, 31, 64umgrabi 24675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  { 0 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
6645, 54, 65cats1cld 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
67 eluzfz2 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  3  e.  ( 0 ... 3
) )
6828, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  ( 0 ... 3
)
6968, 21eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  V
7040, 31, 69umgrabi 24675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T. 
->  { 0 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7144, 66, 70cats1cld 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
7240, 52, 64umgrabi 24675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  { 1 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7343, 71, 72cats1cld 12782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7442, 73, 72cats1cld 12782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7540, 64, 69umgrabi 24675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { 2 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7641, 74, 75cats1cld 12782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
77 wrd0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T. 
->  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7940, 31vdeg0i 24674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  0
)  =  0
80 1e0p1 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =  ( 0  +  1 )
81 ax-1ne0 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
82 s0s1 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <" {
0 ,  1 } ">  =  (
(/) concat  <" { 0 ,  1 } "> )
8340, 78, 31, 79, 80, 52, 81, 82vdegp1bi 24677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  0 )  =  1
84 df-2 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
85 2ne0 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
8640, 54, 31, 83, 84, 64, 85, 45vdegp1bi 24677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
0 )  =  2
8740, 66, 31, 86, 11, 69, 2, 44vdegp1bi 24677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  0 )  =  3
8840, 71, 31, 87, 52, 81, 64, 85, 43vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
8940, 73, 31, 88, 52, 81, 64, 85, 42vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
9040, 74, 31, 89, 64, 85, 69, 2, 41vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
0 )  =  3
91 konigsberg.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
92 df-s7 12780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9391, 92eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9440, 76, 31, 90, 64, 85, 69, 2, 93vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
0 )  =  3
9539, 94syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
9695breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
9796notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
9897elrab 3261 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 0  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
9931, 38, 98mpbir2an 918 . . . . . . . 8  |-  0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
100 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 1 ) )
10140, 52vdeg0i 24674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  1
)  =  0
10240, 78, 52, 101, 80, 31, 12, 82vdegp1ci 24678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  1 )  =  1
1033, 37gtneii 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  1
10440, 54, 52, 102, 31, 12, 64, 103, 45vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
1 )  =  1
10540, 66, 52, 104, 31, 12, 69, 5, 44vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  1 )  =  1
10640, 71, 52, 105, 84, 64, 103, 43vdegp1bi 24677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  2
10740, 73, 52, 106, 11, 64, 103, 42vdegp1bi 24677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  3
10840, 74, 52, 107, 64, 103, 69, 5, 41vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
1 )  =  3
10940, 76, 52, 108, 64, 103, 69, 5, 93vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
1 )  =  3
110100, 109syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
111110breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
112111notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
113112elrab 3261 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 1  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
11452, 38, 113mpbir2an 918 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
115 prssi 4183 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  /\  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  ->  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
11699, 114, 115mp2an 672 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }
117 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 3 ) )
11840, 69vdeg0i 24674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  3
)  =  0
119 0re 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
120 3pos 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  3
121119, 120ltneii 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  =/=  3
1223, 4ltneii 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  3
12340, 78, 69, 118, 31, 121, 52, 122, 82vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  3 )  =  0
12455, 57ltneii 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  3
12540, 54, 69, 123, 31, 121, 64, 124, 45vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
3 )  =  0
12640, 66, 69, 125, 80, 31, 121, 44vdegp1ci 24678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  3 )  =  1
12740, 71, 69, 126, 52, 122, 64, 124, 43vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12840, 73, 69, 127, 52, 122, 64, 124, 42vdegp1ai 24676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12940, 74, 69, 128, 84, 64, 124, 41vdegp1ci 24678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
3 )  =  2
13040, 76, 69, 129, 11, 64, 124, 93vdegp1ci 24678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
3 )  =  3
131117, 130syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
132131breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  3  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
133132notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  3  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
134133elrab 3261 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 3  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
13569, 38, 134mpbir2an 918 . . . . . . . 8  |-  3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
136 snssi 4171 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }  ->  { 3 } 
C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
137135, 136ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 3 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
138116, 137unssi 3679 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
139 ssdomg 7561 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } ) )
14026, 138, 139mp2 9 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }
141 snfi 7596 . . . . . . 7  |-  { 3 }  e.  Fin
142 unfi 7786 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  { 3 }  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e. 
Fin )
1431, 141, 142mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e.  Fin
144 hashdom 12414 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <-> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } ) )
145143, 26, 144mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  <_  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <->  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
146140, 145mpbir 209 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
14720, 146eqbrtrri 4468 . . 3  |-  3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
148 hashcl 12395 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0 )
14926, 148ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0
150149nn0rei 10805 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  RR
15156, 150lenlti 9703 . . 3  |-  ( 3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <->  -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
152147, 151mpbi 208 . 2  |-  -.  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
153 eupath 24673 . . . 4  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  e.  {
0 ,  2 } )
154 elpri 4047 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  e. 
{ 0 ,  2 }  ->  ( ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 ) )
155 id 22 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0 )
156155, 120syl6eqbr 4484 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
157 id 22 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 )
158157, 57syl6eqbr 4484 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
159156, 158jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  2 )  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
160153, 154, 1593syl 20 . . 3  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
)
161160necon1bi 2700 . 2  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3  ->  ( V EulPaths  E )  =  (/) )
162152, 161ax-mp 5 1  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    < clt 9627    <_ cle 9628   2c2 10584   3c3 10585   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   #chash 12372  Word cword 12499   concat cconcat 12501   <"cs1 12502   <"cs2 12768   <"cs3 12769   <"cs4 12770   <"cs5 12771   <"cs6 12772   <"cs7 12773    || cdivides 13846   VDeg cvdg 24585   EulPaths ceup 24654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-xadd 11318  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-word 12507  df-concat 12509  df-s1 12510  df-s2 12775  df-s3 12776  df-s4 12777  df-s5 12778  df-s6 12779  df-s7 12780  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-dvds 13847  df-umgra 24005  df-vdgr 24586  df-eupa 24655
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator