MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberg Structured version   Unicode version

Theorem konigsberg 24859
Description: The Konigsberg Bridge problem. If  <. V ,  E >. is the graph on four vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3, with edges  { 0 ,  1 } ,  { 0 ,  2 } ,  { 0 ,  3 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 1 ,  2 } ,  {
2 ,  3 } ,  { 2 ,  3 }, then vertices  0 ,  1 ,  3 each have degree three, and  2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 24853 the graph cannot have an Eulerian path. This is Metamath 100 proof #54. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
konigsberg.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
konigsberg  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)

Proof of Theorem konigsberg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7797 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2 3ne0 10636 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3 1re 9598 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 1lt3 10710 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
53, 4gtneii 9699 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
62, 5nelpri 4035 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 0 ,  1 }
7 3nn0 10819 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
8 hashunsng 12438 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) )
101, 6, 9mp2an 672 . . . . 5  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
11 df-3 10601 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
12 0ne1 10609 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
13 0nn0 10816 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
14 1nn0 10817 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
15 hashprg 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
1712, 16mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
1817oveq1i 6291 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
1911, 18eqtr4i 2475 . . . . 5  |-  3  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
2010, 19eqtr4i 2475 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  3
21 konigsberg.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
22 fzfi 12061 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2321, 22eqeltri 2527 . . . . . . 7  |-  V  e. 
Fin
24 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  C_  V
25 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  C_  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )
2623, 24, 25mp2an 672 . . . . . 6  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin
27 nn0uz 11124 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
287, 27eleqtri 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
29 eluzfz1 11702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 3
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 ... 3
)
3130, 21eleqtrri 2530 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  V
32 2nn 10699 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
33 1nn 10553 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
34 2t1e2 10690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3534oveq1i 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
3635, 11eqtr4i 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
37 1lt2 10708 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
3832, 14, 33, 36, 37ndvdsi 13945 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  3
39 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 0 ) )
4023elexi 3105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
41 df-s6 12796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> concat 
<" { 2 ,  3 } "> )
42 df-s5 12795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 } ">  =  (
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> concat  <" {
1 ,  2 } "> )
43 df-s4 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> concat  <" { 1 ,  2 } "> )
44 df-s3 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } "> concat  <" {
0 ,  3 } "> )
45 df-s2 12792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 } "> concat 
<" { 0 ,  2 } "> )
46 1le3 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <_  3
4714, 27eleqtri 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
48 3z 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  ZZ
49 elfz5 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
5047, 48, 49mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
5146, 50mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
5251, 21eleqtrri 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  V
5340, 31, 52umgrabi 24855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T. 
->  { 0 ,  1 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
5453s1cld 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
55 2re 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
56 3re 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  e.  RR
57 2lt3 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  3
5855, 56, 57ltleii 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  3
59 2eluzge0 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
60 elfz5 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 ) )
6159, 48, 60mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 )
6258, 61mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( 0 ... 3
)
6362, 21eleqtrri 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  V
6440, 31, 63umgrabi 24855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  { 0 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
6545, 54, 64cats1cld 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
66 eluzfz2 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  3  e.  ( 0 ... 3
) )
6728, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  ( 0 ... 3
)
6867, 21eleqtrri 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  V
6940, 31, 68umgrabi 24855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T. 
->  { 0 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7044, 65, 69cats1cld 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
7140, 52, 63umgrabi 24855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  { 1 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7243, 70, 71cats1cld 12799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7342, 72, 71cats1cld 12799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7440, 63, 68umgrabi 24855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { 2 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7541, 73, 74cats1cld 12799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
76 wrd0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T. 
->  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7840, 31vdeg0i 24854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  0
)  =  0
79 1e0p1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =  ( 0  +  1 )
80 ax-1ne0 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
81 s0s1 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <" {
0 ,  1 } ">  =  (
(/) concat  <" { 0 ,  1 } "> )
8240, 77, 31, 78, 79, 52, 80, 81vdegp1bi 24857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  0 )  =  1
83 df-2 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
84 2ne0 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
8540, 54, 31, 82, 83, 63, 84, 45vdegp1bi 24857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
0 )  =  2
8640, 65, 31, 85, 11, 68, 2, 44vdegp1bi 24857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  0 )  =  3
8740, 70, 31, 86, 52, 80, 63, 84, 43vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
8840, 72, 31, 87, 52, 80, 63, 84, 42vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
8940, 73, 31, 88, 63, 84, 68, 2, 41vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
0 )  =  3
90 konigsberg.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
91 df-s7 12797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9290, 91eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9340, 75, 31, 89, 63, 84, 68, 2, 92vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
0 )  =  3
9439, 93syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
9594breq2d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
9695notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
9796elrab 3243 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 0  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
9831, 38, 97mpbir2an 920 . . . . . . . 8  |-  0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
99 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 1 ) )
10040, 52vdeg0i 24854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  1
)  =  0
10140, 77, 52, 100, 79, 31, 12, 81vdegp1ci 24858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  1 )  =  1
1023, 37gtneii 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  1
10340, 54, 52, 101, 31, 12, 63, 102, 45vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
1 )  =  1
10440, 65, 52, 103, 31, 12, 68, 5, 44vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  1 )  =  1
10540, 70, 52, 104, 83, 63, 102, 43vdegp1bi 24857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  2
10640, 72, 52, 105, 11, 63, 102, 42vdegp1bi 24857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  3
10740, 73, 52, 106, 63, 102, 68, 5, 41vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
1 )  =  3
10840, 75, 52, 107, 63, 102, 68, 5, 92vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
1 )  =  3
10999, 108syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
110109breq2d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
111110notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
112111elrab 3243 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 1  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
11352, 38, 112mpbir2an 920 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
114 prssi 4171 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  /\  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  ->  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
11598, 113, 114mp2an 672 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }
116 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 3 ) )
11740, 68vdeg0i 24854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  3
)  =  0
118 0re 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
119 3pos 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  3
120118, 119ltneii 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  =/=  3
1213, 4ltneii 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  3
12240, 77, 68, 117, 31, 120, 52, 121, 81vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  3 )  =  0
12355, 57ltneii 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  3
12440, 54, 68, 122, 31, 120, 63, 123, 45vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
3 )  =  0
12540, 65, 68, 124, 79, 31, 120, 44vdegp1ci 24858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  3 )  =  1
12640, 70, 68, 125, 52, 121, 63, 123, 43vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12740, 72, 68, 126, 52, 121, 63, 123, 42vdegp1ai 24856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12840, 73, 68, 127, 83, 63, 123, 41vdegp1ci 24858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
3 )  =  2
12940, 75, 68, 128, 11, 63, 123, 92vdegp1ci 24858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
3 )  =  3
130116, 129syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
131130breq2d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  3  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
132131notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  3  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
133132elrab 3243 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 3  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
13468, 38, 133mpbir2an 920 . . . . . . . 8  |-  3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
135 snssi 4159 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }  ->  { 3 } 
C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
136134, 135ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 3 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
137115, 136unssi 3664 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
138 ssdomg 7563 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } ) )
13926, 137, 138mp2 9 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }
140 snfi 7598 . . . . . . 7  |-  { 3 }  e.  Fin
141 unfi 7789 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  { 3 }  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e. 
Fin )
1421, 140, 141mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e.  Fin
143 hashdom 12426 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <-> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } ) )
144142, 26, 143mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  <_  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <->  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
145139, 144mpbir 209 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
14620, 145eqbrtrri 4458 . . 3  |-  3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
147 hashcl 12407 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0 )
14826, 147ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0
149148nn0rei 10812 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  RR
15056, 149lenlti 9707 . . 3  |-  ( 3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <->  -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
151146, 150mpbi 208 . 2  |-  -.  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
152 eupath 24853 . . . 4  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  e.  {
0 ,  2 } )
153 elpri 4034 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  e. 
{ 0 ,  2 }  ->  ( ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 ) )
154 id 22 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0 )
155154, 119syl6eqbr 4474 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
156 id 22 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 )
157156, 57syl6eqbr 4474 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
158155, 157jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  2 )  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
159152, 153, 1583syl 20 . . 3  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
)
160159necon1bi 2676 . 2  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3  ->  ( V EulPaths  E )  =  (/) )
161151, 160ax-mp 5 1  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383   T. wtru 1384    e. wcel 1804    =/= wne 2638   {crab 2797    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   {cpr 4016   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ~<_ cdom 7516   Fincfn 7518   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632   2c2 10591   3c3 10592   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681   #chash 12384  Word cword 12513   concat cconcat 12515   <"cs1 12516   <"cs2 12785   <"cs3 12786   <"cs4 12787   <"cs5 12788   <"cs6 12789   <"cs7 12790    || cdvds 13863   VDeg cvdg 24765   EulPaths ceup 24834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-xadd 11328  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-word 12521  df-concat 12523  df-s1 12524  df-s2 12792  df-s3 12793  df-s4 12794  df-s5 12795  df-s6 12796  df-s7 12797  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-umgra 24185  df-vdgr 24766  df-eupa 24835
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator