MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberg Structured version   Unicode version

Theorem konigsberg 25601
Description: The Konigsberg Bridge problem. If  <. V ,  E >. is the graph on four vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3, with edges  { 0 ,  1 } ,  { 0 ,  2 } ,  { 0 ,  3 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 1 ,  2 } ,  {
2 ,  3 } ,  { 2 ,  3 }, then vertices  0 ,  1 ,  3 each have degree three, and  2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 25595 the graph cannot have an Eulerian path. This is Metamath 100 proof #54. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
konigsberg.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
konigsberg  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)

Proof of Theorem konigsberg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7843 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2 3ne0 10693 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3 1re 9631 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 1lt3 10767 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
53, 4gtneii 9735 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
62, 5nelpri 4014 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 0 ,  1 }
7 3nn0 10876 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
8 hashunsng 12557 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) )
101, 6, 9mp2an 676 . . . . 5  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
11 df-3 10658 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
12 0ne1 10666 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
13 0nn0 10873 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
14 1nn0 10874 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
15 hashprg 12558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
1613, 14, 15mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
1712, 16mpbi 211 . . . . . . 7  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
1817oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
1911, 18eqtr4i 2452 . . . . 5  |-  3  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
2010, 19eqtr4i 2452 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  3
21 konigsberg.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
22 fzfi 12171 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2321, 22eqeltri 2504 . . . . . . 7  |-  V  e. 
Fin
24 ssrab2 3543 . . . . . . 7  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  C_  V
25 ssfi 7789 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  C_  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )
2623, 24, 25mp2an 676 . . . . . 6  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin
27 nn0uz 11182 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
287, 27eleqtri 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
29 eluzfz1 11793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 3
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 ... 3
)
3130, 21eleqtrri 2507 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  V
32 2nn 10756 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
33 1nn 10609 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
34 2t1e2 10747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3534oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
3635, 11eqtr4i 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
37 1lt2 10765 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
3832, 14, 33, 36, 37ndvdsi 14355 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  3
39 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 0 ) )
4023elexi 3088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
41 df-s6 12922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ++  <" { 2 ,  3 } "> )
42 df-s5 12921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 } ">  =  (
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ++  <" {
1 ,  2 } "> )
43 df-s4 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ++  <" { 1 ,  2 } "> )
44 df-s3 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } "> ++  <" {
0 ,  3 } "> )
45 df-s2 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 } "> ++  <" { 0 ,  2 } "> )
46 1le3 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <_  3
4714, 27eleqtri 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
48 3z 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  ZZ
49 elfz5 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
5047, 48, 49mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
5146, 50mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
5251, 21eleqtrri 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  V
5340, 31, 52umgrabi 25597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T. 
->  { 0 ,  1 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
5453s1cld 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
55 2re 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
56 3re 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  e.  RR
57 2lt3 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  3
5855, 56, 57ltleii 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  3
59 2eluzge0 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
60 elfz5 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 ) )
6159, 48, 60mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 )
6258, 61mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( 0 ... 3
)
6362, 21eleqtrri 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  V
6440, 31, 63umgrabi 25597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T. 
->  { 0 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
6545, 54, 64cats1cld 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
66 eluzfz2 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  3  e.  ( 0 ... 3
) )
6728, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  ( 0 ... 3
)
6867, 21eleqtrri 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  V
6940, 31, 68umgrabi 25597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T. 
->  { 0 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7044, 65, 69cats1cld 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
7140, 52, 63umgrabi 25597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T. 
->  { 1 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7243, 70, 71cats1cld 12925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7342, 72, 71cats1cld 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7440, 63, 68umgrabi 25597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  { 2 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7541, 73, 74cats1cld 12925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
76 wrd0 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T. 
->  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7840, 31vdeg0i 25596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  0
)  =  0
79 1e0p1 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =  ( 0  +  1 )
80 ax-1ne0 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
81 s0s1 12975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <" {
0 ,  1 } ">  =  (
(/) ++  <" { 0 ,  1 } "> )
8240, 77, 31, 78, 79, 52, 80, 81vdegp1bi 25599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  0 )  =  1
83 df-2 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
84 2ne0 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
8540, 54, 31, 82, 83, 63, 84, 45vdegp1bi 25599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
0 )  =  2
8640, 65, 31, 85, 11, 68, 2, 44vdegp1bi 25599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  0 )  =  3
8740, 70, 31, 86, 52, 80, 63, 84, 43vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
8840, 72, 31, 87, 52, 80, 63, 84, 42vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
8940, 73, 31, 88, 63, 84, 68, 2, 41vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
0 )  =  3
90 konigsberg.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
91 df-s7 12923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> ++  <" {
2 ,  3 } "> )
9290, 91eqtri 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> ++  <" {
2 ,  3 } "> )
9340, 75, 31, 89, 63, 84, 68, 2, 92vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
0 )  =  3
9439, 93syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
9594breq2d 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
9695notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
9796elrab 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 0  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
9831, 38, 97mpbir2an 928 . . . . . . . 8  |-  0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
99 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 1 ) )
10040, 52vdeg0i 25596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  1
)  =  0
10140, 77, 52, 100, 79, 31, 12, 81vdegp1ci 25600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  1 )  =  1
1023, 37gtneii 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  1
10340, 54, 52, 101, 31, 12, 63, 102, 45vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
1 )  =  1
10440, 65, 52, 103, 31, 12, 68, 5, 44vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  1 )  =  1
10540, 70, 52, 104, 83, 63, 102, 43vdegp1bi 25599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  2
10640, 72, 52, 105, 11, 63, 102, 42vdegp1bi 25599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  3
10740, 73, 52, 106, 63, 102, 68, 5, 41vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
1 )  =  3
10840, 75, 52, 107, 63, 102, 68, 5, 92vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
1 )  =  3
10999, 108syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
110109breq2d 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
111110notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
112111elrab 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 1  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
11352, 38, 112mpbir2an 928 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
114 prssi 4150 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  /\  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  ->  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
11598, 113, 114mp2an 676 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }
116 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 3 ) )
11740, 68vdeg0i 25596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  3
)  =  0
118 0re 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
119 3pos 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  3
120118, 119ltneii 9736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  =/=  3
1213, 4ltneii 9736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  3
12240, 77, 68, 117, 31, 120, 52, 121, 81vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  3 )  =  0
12355, 57ltneii 9736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  3
12440, 54, 68, 122, 31, 120, 63, 123, 45vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
3 )  =  0
12540, 65, 68, 124, 79, 31, 120, 44vdegp1ci 25600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  3 )  =  1
12640, 70, 68, 125, 52, 121, 63, 123, 43vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12740, 72, 68, 126, 52, 121, 63, 123, 42vdegp1ai 25598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12840, 73, 68, 127, 83, 63, 123, 41vdegp1ci 25600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
3 )  =  2
12940, 75, 68, 128, 11, 63, 123, 92vdegp1ci 25600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
3 )  =  3
130116, 129syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
131130breq2d 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  3  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
132131notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  3  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
133132elrab 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 3  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
13468, 38, 133mpbir2an 928 . . . . . . . 8  |-  3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
135 snssi 4138 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }  ->  { 3 } 
C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
136134, 135ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 3 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
137115, 136unssi 3638 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
138 ssdomg 7613 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } ) )
13926, 137, 138mp2 9 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }
140 snfi 7648 . . . . . . 7  |-  { 3 }  e.  Fin
141 unfi 7835 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  { 3 }  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e. 
Fin )
1421, 140, 141mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e.  Fin
143 hashdom 12544 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <-> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } ) )
144142, 26, 143mp2an 676 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  <_  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <->  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
145139, 144mpbir 212 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
14620, 145eqbrtrri 4438 . . 3  |-  3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
147 hashcl 12524 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0 )
14826, 147ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0
149148nn0rei 10869 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  RR
15056, 149lenlti 9743 . . 3  |-  ( 3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <->  -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
151146, 150mpbi 211 . 2  |-  -.  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
152 eupath 25595 . . . 4  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  e.  {
0 ,  2 } )
153 elpri 4013 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  e. 
{ 0 ,  2 }  ->  ( ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 ) )
154 id 23 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0 )
155154, 119syl6eqbr 4454 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
156 id 23 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 )
157156, 57syl6eqbr 4454 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
158155, 157jaoi 380 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  2 )  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
159152, 153, 1583syl 18 . . 3  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
)
160159necon1bi 2655 . 2  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3  ->  ( V EulPaths  E )  =  (/) )
161151, 160ax-mp 5 1  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1867    =/= wne 2616   {crab 2777    \ cdif 3430    u. cun 3431    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   {csn 3993   {cpr 3995   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    ~<_ cdom 7566   Fincfn 7568   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665   2c2 10648   3c3 10649   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   ...cfz 11771   #chash 12501  Word cword 12632   ++ cconcat 12634   <"cs1 12635   <"cs2 12911   <"cs3 12912   <"cs4 12913   <"cs5 12914   <"cs6 12915   <"cs7 12916    || cdvds 14272   VDeg cvdg 25507   EulPaths ceup 25576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-xadd 11399  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-word 12640  df-concat 12642  df-s1 12643  df-s2 12918  df-s3 12919  df-s4 12920  df-s5 12921  df-s6 12922  df-s7 12923  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-dvds 14273  df-umgra 24927  df-vdgr 25508  df-eupa 25577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator