Theorem konigsberg 21662

Description: The Konigsberg Bridge problem. If <. V , E >. is the graph on four vertices 0 , 1 , 2 , 3, with edges { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 0 , 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 2 , 3 }, then vertices 0 , 1 , 3 each have degree three, and 2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 21656 the graph cannot have an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">

Assertion

Ref	Expression
konigsberg	|- ( V EulPaths E ) = (/)

Proof of Theorem konigsberg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfi 7340	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } e. Fin
2		3ne0 10041	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
3		1re 9046	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
4		1lt3 10100	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
5	3, 4	gtneii 9141	. . . . . . 7 |- 3 =/= 1
6	2, 5	nelpri 3795	. . . . . 6 |- -. 3 e. { 0 , 1 }
7		3nn0 10195	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
8		hashunsng 11620	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ -. 3 e. { 0 , 1 } ) -> ( # ` ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ) = ( ( # ` { 0 , 1 } ) + 1 ) ) )
9	7, 8	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ -. 3 e. { 0 , 1 } ) -> ( # ` ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ) = ( ( # ` { 0 , 1 } ) + 1 ) )
10	1, 6, 9	mp2an 654	. . . . 5 |- ( # ` ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ) = ( ( # ` { 0 , 1 } ) + 1 )
11		df-3 10015	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
12		ax-1ne0 9015	. . . . . . . . 9 |- 1 =/= 0
13	12	necomi 2649	. . . . . . . 8 |- 0 =/= 1
14		0nn0 10192	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
15		1nn0 10193	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
16		hashprg 11621	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( 0 =/= 1 <-> ( # ` { 0 , 1 } ) = 2 ) )
17	14, 15, 16	mp2an 654	. . . . . . . 8 |- ( 0 =/= 1 <-> ( # ` { 0 , 1 } ) = 2 )
18	13, 17	mpbi 200	. . . . . . 7 |- ( # ` { 0 , 1 } ) = 2
19	18	oveq1i 6050	. . . . . 6 |- ( ( # ` { 0 , 1 } ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
20	11, 19	eqtr4i 2427	. . . . 5 |- 3 = ( ( # ` { 0 , 1 } ) + 1 )
21	10, 20	eqtr4i 2427	. . . 4 |- ( # ` ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ) = 3
22		konigsberg.v	. . . . . . . 8 |- V = ( 0 ... 3 )
23		fzfi 11266	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
24	22, 23	eqeltri 2474	. . . . . . 7 |- V e. Fin
25		ssrab2 3388	. . . . . . 7 |- { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } C_ V
26		ssfi 7288	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } C_ V ) -> { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } e. Fin )
27	24, 25, 26	mp2an 654	. . . . . 6 |- { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } e. Fin
28		nn0uz 10476	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
29	7, 28	eleqtri 2476	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
30		eluzfz1 11020	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
31	29, 30	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
32	31, 22	eleqtrri 2477	. . . . . . . . 9 |- 0 e. V
33		2nn 10089	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
34		1nn 9967	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
35		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
36	35	mulid1i 9048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 1 ) = 2
37	36	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
38	37, 11	eqtr4i 2427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
39		1lt2 10098	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
40	33, 15, 34, 38, 39	ndvdsi 12885	. . . . . . . . 9 |- -. 2 || 3
41		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( ( V VDeg E ) ` x ) = ( ( V VDeg E ) ` 0 ) )
42	24	elexi 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V e. _V
43		df-s6 11771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> concat <" { 2 , 3 } "> )
44		df-s5 11770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> concat <" { 1 , 2 } "> )
45		df-s4 11769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> concat <" { 1 , 2 } "> )
46		df-s3 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> concat <" { 0 , 3 } "> )
47		df-s2 11767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> concat <" { 0 , 2 } "> )
48		3re 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 3 e. RR
49	3, 48, 4	ltleii 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 <_ 3
50	15, 28	eleqtri 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
51	7	nn0zi 10262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 3 e. ZZ
52		elfz5 11007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 3 e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> 1 <_ 3 ) )
53	50, 51, 52	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> 1 <_ 3 )
54	49, 53	mpbir 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
55	54, 22	eleqtrri 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. V
56	42, 32, 55	umgrabi 21658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
57	56	s1cld 11711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
58		2re 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
59		2lt3 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 < 3
60	58, 48, 59	ltleii 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 <_ 3
61		2nn0 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. NN0
62	61, 28	eleqtri 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
63		elfz5 11007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 3 e. ZZ ) -> ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> 2 <_ 3 ) )
64	62, 51, 63	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> 2 <_ 3 )
65	60, 64	mpbir 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
66	65, 22	eleqtrri 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. V
67	42, 32, 66	umgrabi 21658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
68	47, 57, 67	cats1cld 11774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
69		eluzfz2 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
70	29, 69	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
71	70, 22	eleqtrri 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 3 e. V
72	42, 32, 71	umgrabi 21658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
73	46, 68, 72	cats1cld 11774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
74	42, 55, 66	umgrabi 21658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
75	45, 73, 74	cats1cld 11774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
76	44, 75, 74	cats1cld 11774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
77	42, 66, 71	umgrabi 21658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
78	43, 76, 77	cats1cld 11774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
79		wrd0 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> (/) e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
81	42, 32	vdeg0i 21657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V VDeg (/) ) ` 0 ) = 0
82		1e0p1 10366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 = ( 0 + 1 )
83		s0s1 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- <" { 0 , 1 } "> = ( (/) concat <" { 0 , 1 } "> )
84	42, 80, 32, 81, 82, 55, 12, 83	vdegp1bi 21660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } "> ) ` 0 ) = 1
85		df-2 10014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 = ( 1 + 1 )
86		2ne0 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 =/= 0
87	42, 57, 32, 84, 85, 66, 86, 47	vdegp1bi 21660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ) ` 0 ) = 2
88	42, 68, 32, 87, 11, 71, 2, 46	vdegp1bi 21660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ) ` 0 ) = 3
89	42, 73, 32, 88, 55, 12, 66, 86, 45	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ) ` 0 ) = 3
90	42, 75, 32, 89, 55, 12, 66, 86, 44	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ) ` 0 ) = 3
91	42, 76, 32, 90, 66, 86, 71, 2, 43	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ) ` 0 ) = 3
92		konigsberg.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
93		df-s7 11772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> concat <" { 2 , 3 } "> )
94	92, 93	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> concat <" { 2 , 3 } "> )
95	42, 78, 32, 91, 66, 86, 71, 2, 94	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V VDeg E ) ` 0 ) = 3
96	41, 95	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( V VDeg E ) ` x ) = 3 )
97	96	breq2d 4184	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) <-> 2 || 3 ) )
98	97	notbid 286	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) <-> -. 2 || 3 ) )
99	98	elrab 3052	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } <-> ( 0 e. V /\ -. 2 || 3 ) )
100	32, 40, 99	mpbir2an 887	. . . . . . . 8 |- 0 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) }
101		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( ( V VDeg E ) ` x ) = ( ( V VDeg E ) ` 1 ) )
102	42, 55	vdeg0i 21657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V VDeg (/) ) ` 1 ) = 0
103	42, 80, 55, 102, 82, 32, 13, 83	vdegp1ci 21661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } "> ) ` 1 ) = 1
104	3, 39	gtneii 9141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 =/= 1
105	42, 57, 55, 103, 32, 13, 66, 104, 47	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ) ` 1 ) = 1
106	42, 68, 55, 105, 32, 13, 71, 5, 46	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ) ` 1 ) = 1
107	42, 73, 55, 106, 85, 66, 104, 45	vdegp1bi 21660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ) ` 1 ) = 2
108	42, 75, 55, 107, 11, 66, 104, 44	vdegp1bi 21660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ) ` 1 ) = 3
109	42, 76, 55, 108, 66, 104, 71, 5, 43	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ) ` 1 ) = 3
110	42, 78, 55, 109, 66, 104, 71, 5, 94	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V VDeg E ) ` 1 ) = 3
111	101, 110	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( ( V VDeg E ) ` x ) = 3 )
112	111	breq2d 4184	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) <-> 2 || 3 ) )
113	112	notbid 286	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) <-> -. 2 || 3 ) )
114	113	elrab 3052	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } <-> ( 1 e. V /\ -. 2 || 3 ) )
115	55, 40, 114	mpbir2an 887	. . . . . . . 8 |- 1 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) }
116		prssi 3914	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) -> { 0 , 1 } C_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } )
117	100, 115, 116	mp2an 654	. . . . . . 7 |- { 0 , 1 } C_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) }
118		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 3 -> ( ( V VDeg E ) ` x ) = ( ( V VDeg E ) ` 3 ) )
119	42, 71	vdeg0i 21657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V VDeg (/) ) ` 3 ) = 0
120		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. RR
121		3pos 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 3
122	120, 121	ltneii 9142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 =/= 3
123	3, 4	ltneii 9142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 =/= 3
124	42, 80, 71, 119, 32, 122, 55, 123, 83	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } "> ) ` 3 ) = 0
125	58, 59	ltneii 9142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 =/= 3
126	42, 57, 71, 124, 32, 122, 66, 125, 47	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ) ` 3 ) = 0
127	42, 68, 71, 126, 82, 32, 122, 46	vdegp1ci 21661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ) ` 3 ) = 1
128	42, 73, 71, 127, 55, 123, 66, 125, 45	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ) ` 3 ) = 1
129	42, 75, 71, 128, 55, 123, 66, 125, 44	vdegp1ai 21659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ) ` 3 ) = 1
130	42, 76, 71, 129, 85, 66, 125, 43	vdegp1ci 21661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V VDeg <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ) ` 3 ) = 2
131	42, 78, 71, 130, 11, 66, 125, 94	vdegp1ci 21661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V VDeg E ) ` 3 ) = 3
132	118, 131	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 3 -> ( ( V VDeg E ) ` x ) = 3 )
133	132	breq2d 4184	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 3 -> ( 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) <-> 2 || 3 ) )
134	133	notbid 286	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 3 -> ( -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) <-> -. 2 || 3 ) )
135	134	elrab 3052	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } <-> ( 3 e. V /\ -. 2 || 3 ) )
136	71, 40, 135	mpbir2an 887	. . . . . . . 8 |- 3 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) }
137		snssi 3902	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } -> { 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } )
138	136, 137	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- { 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) }
139	117, 138	unssi 3482	. . . . . 6 |- ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) C_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) }
140		ssdomg 7112	. . . . . 6 |- ( { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } e. Fin -> ( ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) C_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } -> ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ~<_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) )
141	27, 139, 140	mp2 9	. . . . 5 |- ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ~<_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) }
142		snfi 7146	. . . . . . 7 |- { 3 } e. Fin
143		unfi 7333	. . . . . . 7 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ { 3 } e. Fin ) -> ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) e. Fin )
144	1, 142, 143	mp2an 654	. . . . . 6 |- ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) e. Fin
145		hashdom 11608	. . . . . 6 |- ( ( ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) e. Fin /\ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } e. Fin ) -> ( ( # ` ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) <-> ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ~<_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) )
146	144, 27, 145	mp2an 654	. . . . 5 |- ( ( # ` ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) <-> ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ~<_ { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } )
147	141, 146	mpbir 201	. . . 4 |- ( # ` ( { 0 , 1 } u. { 3 } ) ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } )
148	21, 147	eqbrtrri 4193	. . 3 |- 3 <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } )
149		hashcl 11594	. . . . . 6 |- ( { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } e. Fin -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) e. NN0 )
150	27, 149	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) e. NN0
151	150	nn0rei 10188	. . . 4 |- ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) e. RR
152	48, 151	lenlti 9149	. . 3 |- ( 3 <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) <-> -. ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) < 3 )
153	148, 152	mpbi 200	. 2 |- -. ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) < 3
154		eupath 21656	. . . 4 |- ( ( V EulPaths E ) =/= (/) -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
155		elpri 3794	. . . 4 |- ( ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> ( ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 0 \/ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 2 ) )
156		id 20	. . . . . 6 |- ( ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 0 -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 0 )
157	156, 121	syl6eqbr 4209	. . . . 5 |- ( ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 0 -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) < 3 )
158		id 20	. . . . . 6 |- ( ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 2 -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 2 )
159	158, 59	syl6eqbr 4209	. . . . 5 |- ( ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 2 -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) < 3 )
160	157, 159	jaoi 369	. . . 4 |- ( ( ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 0 \/ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) = 2 ) -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) < 3 )
161	154, 155, 160	3syl 19	. . 3 |- ( ( V EulPaths E ) =/= (/) -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) < 3 )
162	161	necon1bi 2610	. 2 |- ( -. ( # ` { x e. V | -. 2 || ( ( V VDeg E ) ` x ) } ) < 3 -> ( V EulPaths E ) = (/) )
163	153, 162	ax-mp 8	1 |- ( V EulPaths E ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   T. wtru 1322   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   {crab 2670   \ cdif 3277   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   #chash 11573  Word cword 11672   concat cconcat 11673   <"cs1 11674   <"cs2 11760   <"cs3 11761   <"cs4 11762   <"cs5 11763   <"cs6 11764   <"cs7 11765   || cdivides 12807   VDeg cvdg 21617   EulPaths ceup 21637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-s2 11767  df-s3 11768  df-s4 11769  df-s5 11770  df-s6 11771  df-s7 11772  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-prm 13035  df-umgra 21301  df-vdgr 21618  df-eupa 21638