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Theorem knatar 6263
Description: The Knaster-Tarski theorem says that every monotone function over a complete lattice has a (least) fixpoint. Here we specialize this theorem to the case when the lattice is the powerset lattice  ~P A. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
knatar.1  |-  X  = 
|^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }
Assertion
Ref Expression
knatar  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  C_  A  /\  ( F `
 X )  =  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, F, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem knatar
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knatar.1 . . 3  |-  X  = 
|^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }
2 pwidg 3998 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
323ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A  e.  ~P A )
4 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  A )  C_  A
)
5 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
6 id 23 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  z  =  A )
75, 6sseq12d 3499 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( F `  z
)  C_  z  <->  ( F `  A )  C_  A
) )
87intminss 4285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P A  /\  ( F `  A
)  C_  A )  ->  |^| { z  e. 
~P A  |  ( F `  z ) 
C_  z }  C_  A )
93, 4, 8syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  |^| { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  C_  A )
101, 9syl5eqss 3514 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  C_  A
)
11 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
12 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  z  =  w )
1311, 12sseq12d 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  C_  z  <->  ( F `  w )  C_  w
) )
1413intminss 4285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w
)  C_  w )  ->  |^| { z  e. 
~P A  |  ( F `  z ) 
C_  z }  C_  w )
1514adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  |^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }  C_  w )
161, 15syl5eqss 3514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  X  C_  w )
17 vex 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
1817elpw2 4589 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ~P w  <->  X  C_  w
)
1916, 18sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  X  e.  ~P w
)
20 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  w  e.  ~P A
)
21 simpl3 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)
22 pweq 3988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ~P x  =  ~P w
)
23 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
2423sseq2d 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  w )
) )
2522, 24raleqbidv 3046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  w
( F `  y
)  C_  ( F `  w ) ) )
2625rspcv 3184 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  w ( F `  y )  C_  ( F `  w )
) )
2720, 21, 26sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  A. y  e.  ~P  w ( F `  y )  C_  ( F `  w )
)
28 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
2928sseq1d 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  w )  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  w )
) )
3029rspcv 3184 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ~P w  -> 
( A. y  e. 
~P  w ( F `
 y )  C_  ( F `  w )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  w )
) )
3119, 27, 30sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  X
)  C_  ( F `  w ) )
32 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  w
)  C_  w )
3331, 32sstrd 3480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  X
)  C_  w )
3433expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  w  e.  ~P A )  ->  (
( F `  w
)  C_  w  ->  ( F `  X ) 
C_  w ) )
3534ralrimiva 2846 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. w  e.  ~P  A ( ( F `  w ) 
C_  w  ->  ( F `  X )  C_  w ) )
36 ssintrab 4282 . . . . 5  |-  ( ( F `  X ) 
C_  |^| { w  e. 
~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }  <->  A. w  e.  ~P  A ( ( F `  w ) 
C_  w  ->  ( F `  X )  C_  w ) )
3735, 36sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w } )
3813cbvrabv 3086 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  =  { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }
3938inteqi 4262 . . . . 5  |-  |^| { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  =  |^| { w  e. 
~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }
401, 39eqtri 2458 . . . 4  |-  X  = 
|^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }
4137, 40syl6sseqr 3517 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  X
)
42 elpw2g 4588 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  ~P A  <->  X 
C_  A ) )
43423ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  e.  ~P A  <->  X  C_  A
) )
4410, 43mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  e.  ~P A )
45 simp3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x ) )
46 pweq 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
47 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
4847sseq2d 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  A )
) )
4946, 48raleqbidv 3046 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  A
( F `  y
)  C_  ( F `  A ) ) )
5049rspcv 3184 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  A ( F `  y )  C_  ( F `  A )
) )
513, 45, 50sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ~P  A ( F `
 y )  C_  ( F `  A ) )
5228sseq1d 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  A )  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
) )
5352rspcv 3184 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ~P A  -> 
( A. y  e. 
~P  A ( F `
 y )  C_  ( F `  A )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
) )
5444, 51, 53sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
)
5554, 4sstrd 3480 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  A
)
56 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
5756elpw 3991 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P A  <->  ( F `  X )  C_  A
)
5855, 57sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  e.  ~P A )
5956elpw 3991 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P X  <->  ( F `  X )  C_  X
)
6041, 59sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  e.  ~P X )
61 pweq 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ~P x  =  ~P X
)
62 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
6362sseq2d 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  X )
) )
6461, 63raleqbidv 3046 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  X
( F `  y
)  C_  ( F `  X ) ) )
6564rspcv 3184 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  X ( F `  y )  C_  ( F `  X )
) )
6644, 45, 65sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ~P  X ( F `
 y )  C_  ( F `  X ) )
67 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  X )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( F `  X ) ) )
6867sseq1d 3497 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  X )  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  X )  <->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
) )
6968rspcv 3184 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P X  -> 
( A. y  e. 
~P  X ( F `
 y )  C_  ( F `  X )  ->  ( F `  ( F `  X ) )  C_  ( F `  X ) ) )
7060, 66, 69sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
)
71 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( F `  X ) ) )
72 id 23 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  w  =  ( F `  X ) )
7371, 72sseq12d 3499 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  (
( F `  w
)  C_  w  <->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
) )
7473intminss 4285 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ~P A  /\  ( F `  ( F `  X )
)  C_  ( F `  X ) )  ->  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }  C_  ( F `  X ) )
7558, 70, 74syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }  C_  ( F `  X ) )
7640, 75syl5eqss 3514 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  C_  ( F `  X )
)
7741, 76eqssd 3487 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  =  X )
7810, 77jca 534 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  C_  A  /\  ( F `
 X )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   |^|cint 4258   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-br 4427  df-iota 5565  df-fv 5609
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