Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  knatar Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem knatar 6266
 Description: The Knaster-Tarski theorem says that every monotone function over a complete lattice has a (least) fixpoint. Here we specialize this theorem to the case when the lattice is the powerset lattice . (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
knatar.1
Assertion
Ref Expression
knatar
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()

Proof of Theorem knatar
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knatar.1 . . 3
2 pwidg 3955 . . . . 5
323ad2ant1 1051 . . . 4
4 simp2 1031 . . . 4
5 fveq2 5879 . . . . . 6
6 id 22 . . . . . 6
75, 6sseq12d 3447 . . . . 5
87intminss 4252 . . . 4
93, 4, 8syl2anc 673 . . 3
101, 9syl5eqss 3462 . 2
11 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
12 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . 13
1413intminss 4252 . . . . . . . . . . . 12
1514adantl 473 . . . . . . . . . . 11
161, 15syl5eqss 3462 . . . . . . . . . 10
17 vex 3034 . . . . . . . . . . 11
1817elpw2 4565 . . . . . . . . . 10
1916, 18sylibr 217 . . . . . . . . 9
20 simprl 772 . . . . . . . . . 10
21 simpl3 1035 . . . . . . . . . 10
22 pweq 3945 . . . . . . . . . . . 12
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
2423sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . 12
2522, 24raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . 11
2625rspcv 3132 . . . . . . . . . 10
2720, 21, 26sylc 61 . . . . . . . . 9
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
2928sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10
3029rspcv 3132 . . . . . . . . 9
3119, 27, 30sylc 61 . . . . . . . 8
32 simprr 774 . . . . . . . 8
3331, 32sstrd 3428 . . . . . . 7
3433expr 626 . . . . . 6
3534ralrimiva 2809 . . . . 5
36 ssintrab 4249 . . . . 5
3735, 36sylibr 217 . . . 4
3813cbvrabv 3030 . . . . . 6
3938inteqi 4230 . . . . 5
401, 39eqtri 2493 . . . 4
4137, 40syl6sseqr 3465 . . 3
42 elpw2g 4564 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant1 1051 . . . . . . . . 9
4410, 43mpbird 240 . . . . . . . 8
45 simp3 1032 . . . . . . . . 9
46 pweq 3945 . . . . . . . . . . 11
47 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
4847sseq2d 3446 . . . . . . . . . . 11
4946, 48raleqbidv 2987 . . . . . . . . . 10
5049rspcv 3132 . . . . . . . . 9
513, 45, 50sylc 61 . . . . . . . 8
5228sseq1d 3445 . . . . . . . . 9
5352rspcv 3132 . . . . . . . 8
5444, 51, 53sylc 61 . . . . . . 7
5554, 4sstrd 3428 . . . . . 6
56 fvex 5889 . . . . . . 7
5756elpw 3948 . . . . . 6
5855, 57sylibr 217 . . . . 5
5956elpw 3948 . . . . . . 7
6041, 59sylibr 217 . . . . . 6
61 pweq 3945 . . . . . . . . 9
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
6362sseq2d 3446 . . . . . . . . 9
6461, 63raleqbidv 2987 . . . . . . . 8
6564rspcv 3132 . . . . . . 7
6644, 45, 65sylc 61 . . . . . 6
67 fveq2 5879 . . . . . . . 8
6867sseq1d 3445 . . . . . . 7
6968rspcv 3132 . . . . . 6
7060, 66, 69sylc 61 . . . . 5
71 fveq2 5879 . . . . . . 7
72 id 22 . . . . . . 7
7371, 72sseq12d 3447 . . . . . 6
7473intminss 4252 . . . . 5
7558, 70, 74syl2anc 673 . . . 4
7640, 75syl5eqss 3462 . . 3
7741, 76eqssd 3435 . 2
7810, 77jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760   wss 3390  cpw 3942  cint 4226  cfv 5589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-iota 5553  df-fv 5597 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator