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Theorem knatar 6266
Description: The Knaster-Tarski theorem says that every monotone function over a complete lattice has a (least) fixpoint. Here we specialize this theorem to the case when the lattice is the powerset lattice  ~P A. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
knatar.1  |-  X  = 
|^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }
Assertion
Ref Expression
knatar  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  C_  A  /\  ( F `
 X )  =  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, F, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem knatar
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knatar.1 . . 3  |-  X  = 
|^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }
2 pwidg 3955 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
323ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A  e.  ~P A )
4 simp2 1031 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  A )  C_  A
)
5 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
6 id 22 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  z  =  A )
75, 6sseq12d 3447 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( F `  z
)  C_  z  <->  ( F `  A )  C_  A
) )
87intminss 4252 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P A  /\  ( F `  A
)  C_  A )  ->  |^| { z  e. 
~P A  |  ( F `  z ) 
C_  z }  C_  A )
93, 4, 8syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  |^| { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  C_  A )
101, 9syl5eqss 3462 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  C_  A
)
11 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
12 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  z  =  w )
1311, 12sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  C_  z  <->  ( F `  w )  C_  w
) )
1413intminss 4252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w
)  C_  w )  ->  |^| { z  e. 
~P A  |  ( F `  z ) 
C_  z }  C_  w )
1514adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  |^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }  C_  w )
161, 15syl5eqss 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  X  C_  w )
17 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
1817elpw2 4565 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ~P w  <->  X  C_  w
)
1916, 18sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  X  e.  ~P w
)
20 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  w  e.  ~P A
)
21 simpl3 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)
22 pweq 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ~P x  =  ~P w
)
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
2423sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  w )
) )
2522, 24raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  w
( F `  y
)  C_  ( F `  w ) ) )
2625rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  w ( F `  y )  C_  ( F `  w )
) )
2720, 21, 26sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  A. y  e.  ~P  w ( F `  y )  C_  ( F `  w )
)
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
2928sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  w )  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  w )
) )
3029rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ~P w  -> 
( A. y  e. 
~P  w ( F `
 y )  C_  ( F `  w )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  w )
) )
3119, 27, 30sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  X
)  C_  ( F `  w ) )
32 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  w
)  C_  w )
3331, 32sstrd 3428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  X
)  C_  w )
3433expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  w  e.  ~P A )  ->  (
( F `  w
)  C_  w  ->  ( F `  X ) 
C_  w ) )
3534ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. w  e.  ~P  A ( ( F `  w ) 
C_  w  ->  ( F `  X )  C_  w ) )
36 ssintrab 4249 . . . . 5  |-  ( ( F `  X ) 
C_  |^| { w  e. 
~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }  <->  A. w  e.  ~P  A ( ( F `  w ) 
C_  w  ->  ( F `  X )  C_  w ) )
3735, 36sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w } )
3813cbvrabv 3030 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  =  { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }
3938inteqi 4230 . . . . 5  |-  |^| { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  =  |^| { w  e. 
~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }
401, 39eqtri 2493 . . . 4  |-  X  = 
|^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }
4137, 40syl6sseqr 3465 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  X
)
42 elpw2g 4564 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  ~P A  <->  X 
C_  A ) )
43423ad2ant1 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  e.  ~P A  <->  X  C_  A
) )
4410, 43mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  e.  ~P A )
45 simp3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x ) )
46 pweq 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
47 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
4847sseq2d 3446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  A )
) )
4946, 48raleqbidv 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  A
( F `  y
)  C_  ( F `  A ) ) )
5049rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  A ( F `  y )  C_  ( F `  A )
) )
513, 45, 50sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ~P  A ( F `
 y )  C_  ( F `  A ) )
5228sseq1d 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  A )  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
) )
5352rspcv 3132 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ~P A  -> 
( A. y  e. 
~P  A ( F `
 y )  C_  ( F `  A )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
) )
5444, 51, 53sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
)
5554, 4sstrd 3428 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  A
)
56 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
5756elpw 3948 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P A  <->  ( F `  X )  C_  A
)
5855, 57sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  e.  ~P A )
5956elpw 3948 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P X  <->  ( F `  X )  C_  X
)
6041, 59sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  e.  ~P X )
61 pweq 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ~P x  =  ~P X
)
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
6362sseq2d 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  X )
) )
6461, 63raleqbidv 2987 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  X
( F `  y
)  C_  ( F `  X ) ) )
6564rspcv 3132 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  X ( F `  y )  C_  ( F `  X )
) )
6644, 45, 65sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ~P  X ( F `
 y )  C_  ( F `  X ) )
67 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  X )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( F `  X ) ) )
6867sseq1d 3445 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  X )  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  X )  <->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
) )
6968rspcv 3132 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P X  -> 
( A. y  e. 
~P  X ( F `
 y )  C_  ( F `  X )  ->  ( F `  ( F `  X ) )  C_  ( F `  X ) ) )
7060, 66, 69sylc 61 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
)
71 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( F `  X ) ) )
72 id 22 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  w  =  ( F `  X ) )
7371, 72sseq12d 3447 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  (
( F `  w
)  C_  w  <->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
) )
7473intminss 4252 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ~P A  /\  ( F `  ( F `  X )
)  C_  ( F `  X ) )  ->  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }  C_  ( F `  X ) )
7558, 70, 74syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }  C_  ( F `  X ) )
7640, 75syl5eqss 3462 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  C_  ( F `  X )
)
7741, 76eqssd 3435 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  =  X )
7810, 77jca 541 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  C_  A  /\  ( F `
 X )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   |^|cint 4226   ` cfv 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-iota 5553  df-fv 5597
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