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Theorem kmlem9 8348
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem9  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, z, w, u, t    z, A, w
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem9
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2996 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
32rexbidv 2757 . . . 4  |-  ( u  =  z  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
4 kmlem9.1 . . . 4  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
51, 3, 4elab2 3130 . . 3  |-  ( z  e.  A  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
6 vex 2996 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
7 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  w  =  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
87rexbidv 2757 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
96, 8, 4elab2 3130 . . . 4  |-  ( w  e.  A  <->  E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
10 difeq1 3488 . . . . . . 7  |-  ( t  =  h  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
11 sneq 3908 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  h  ->  { t }  =  { h } )
1211difeq2d 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  h  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { h } ) )
1312unieqd 4122 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  h  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { h } ) )
1413difeq2d 3495 . . . . . . 7  |-  ( t  =  h  ->  (
h  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )
1510, 14eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( t  =  h  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )
1615eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( t  =  h  ->  (
w  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  w  =  (
h  \  U. (
x  \  { h } ) ) ) )
1716cbvrexv 2969 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  <->  E. h  e.  x  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )
189, 17bitri 249 . . 3  |-  ( w  e.  A  <->  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) )
19 reeanv 2909 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  E. h  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  <-> 
( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  /\  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) ) )
20 eqeq12 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =  w  <->  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) ) )
2115, 20syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( t  =  h  ->  z  =  w ) )
2221necon3d 2670 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  t  =/=  h ) )
23 kmlem5 8344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  x  /\  t  =/=  h )  -> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) )  =  (/) )
24 ineq12 3568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  i^i  w )  =  ( ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) ) )
2524eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( ( z  i^i  w )  =  (/) 
<->  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) )  =  (/) ) )
2623, 25syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( ( h  e.  x  /\  t  =/=  h )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
2726expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( h  e.  x  ->  ( t  =/=  h  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
2822, 27syl5d 67 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( h  e.  x  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
2928com12 31 . . . . . 6  |-  ( h  e.  x  ->  (
( z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
3029adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  x  /\  h  e.  x )  ->  ( ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
3130rexlimivv 2867 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  E. h  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
3219, 31sylbir 213 . . 3  |-  ( ( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  /\  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
335, 18, 32syl2anb 479 . 2  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
3433rgen2a 2803 1  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3346    i^i cin 3348   (/)c0 3658   {csn 3898   U.cuni 4112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-dif 3352  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-sn 3899  df-uni 4113
This theorem is referenced by:  kmlem10  8349
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