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Theorem kmlem8 8441
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem8  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    y, u, w, z
Allowed substitution hints:    ps( y, z, w, u)

Proof of Theorem kmlem8
StepHypRef Expression
1 ralnex 2852 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps  <->  -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps )
2 df-rex 2805 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) )
3 rexnal 2854 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
42, 3bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
5 exsimpl 1645 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  E. w  w  e.  z )
6 n0 3757 . . . . . . . 8  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
75, 6sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  z  =/=  (/) )
84, 7sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  z  ps  ->  z  =/=  (/) )
98ralimi 2819 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps 
->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
101, 9sylbir 213 . . . 4  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
11 biimt 335 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1211ralimi 2819 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
13 ralbi 2959 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1514anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) ) )
1615exbidv 1681 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
17 kmlem2 8435 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1816, 17syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1910, 18syl 16 . . 3  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2019pm5.74i 245 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
21 pm4.64 372 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <-> 
( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2220, 21bitri 249 1  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   E.wex 1587    e. wcel 1758   E!weu 2262    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    i^i cin 3438   (/)c0 3748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-sn 3989  df-pr 3991  df-uni 4203
This theorem is referenced by:  dfackm  8450
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