Theorem kmlem4 8581

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem4	|- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Distinct variable group:   x, w, z

Proof of Theorem kmlem4

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3452	. . . . 5 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) <-> ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) )
2		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. U. ( x \ { z } ) )
3		eluni 4225	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( x \ { z } ) <-> E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
4	3	notbii 297	. . . . . . 7 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
5		alnex 1661	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
6		con2b 335	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) )
7		imnan 423	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
8		eldifsn 4128	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ v =/= z ) )
9		necom 2700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v =/= z <-> z =/= v )
10	9	anbi2i 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. x /\ v =/= z ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
11	8, 10	bitri 252	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
12	11	imbi1i 326	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
13	6, 7, 12	3bitr3i 278	. . . . . . . 8 |- ( -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
14	13	albii 1687	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
15	4, 5, 14	3bitr2i 276	. . . . . 6 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
16	2, 15	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
17	1, 16	sylbi 198	. . . 4 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
18		eleq1 2501	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( v e. x <-> w e. x ) )
19		neeq2 2714	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( z =/= v <-> z =/= w ) )
20	18, 19	anbi12d 715	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( ( v e. x /\ z =/= v ) <-> ( w e. x /\ z =/= w ) ) )
21		eleq2 2502	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( y e. v <-> y e. w ) )
22	21	notbid 295	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( -. y e. v <-> -. y e. w ) )
23	20, 22	imbi12d 321	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) <-> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) ) )
24	23	spv 2067	. . . . 5 |- ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) )
25	24	com12 32	. . . 4 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> -. y e. w ) )
26	17, 25	syl5 33	. . 3 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. w ) )
27	26	ralrimiv 2844	. 2 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
28		disj 3839	. 2 |- ( ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) <-> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
29	27, 28	sylibr 215	1 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1870   =/= wne 2625   A.wral 2782   \ cdif 3439   i^i cin 3441   (/)c0 3767   {csn 4002   U.cuni 4222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-v 3089  df-dif 3445  df-in 3449  df-nul 3768  df-sn 4003  df-uni 4223

This theorem is referenced by:  kmlem5  8582  kmlem11  8588