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Theorem kmlem4 8583
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem4  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  w )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, w, z

Proof of Theorem kmlem4
Dummy variables  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3414 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  <-> 
( y  e.  z  /\  -.  y  e. 
U. ( x  \  { z } ) ) )
2 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )  ->  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )
3 eluni 4201 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( x 
\  { z } )  <->  E. v ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
43notbii 298 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  U. (
x  \  { z } )  <->  -.  E. v
( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) ) )
5 alnex 1665 . . . . . . 7  |-  ( A. v  -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) )  <->  -.  E. v ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
6 con2b 336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  v  ->  -.  v  e.  (
x  \  { z } ) )  <->  ( v  e.  ( x  \  {
z } )  ->  -.  y  e.  v
) )
7 imnan 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  v  ->  -.  v  e.  (
x  \  { z } ) )  <->  -.  (
y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) ) )
8 eldifsn 4097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( v  e.  x  /\  v  =/=  z
) )
9 necom 2677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =/=  z  <->  z  =/=  v )
109anbi2i 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  x  /\  v  =/=  z )  <->  ( v  e.  x  /\  z  =/=  v ) )
118, 10bitri 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( v  e.  x  /\  z  =/=  v
) )
1211imbi1i 327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( x 
\  { z } )  ->  -.  y  e.  v )  <->  ( (
v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
136, 7, 123bitr3i 279 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( (
v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
1413albii 1691 . . . . . . 7  |-  ( A. v  -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) )  <->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
154, 5, 143bitr2i 277 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  U. (
x  \  { z } )  <->  A. v
( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
162, 15sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )  ->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
171, 16sylbi 199 . . . 4  |-  ( y  e.  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  ->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
18 eleq1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  e.  x  <->  w  e.  x ) )
19 neeq2 2687 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
z  =/=  v  <->  z  =/=  w ) )
2018, 19anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  e.  x  /\  z  =/=  v
)  <->  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w ) ) )
21 eleq2 2518 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  w ) )
2221notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  y  e.  v  <->  -.  y  e.  w ) )
2320, 22imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )  <->  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w
)  ->  -.  y  e.  w ) ) )
2423spv 2104 . . . . 5  |-  ( A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )  ->  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  ->  -.  y  e.  w )
)
2524com12 32 . . . 4  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v
)  ->  -.  y  e.  v )  ->  -.  y  e.  w )
)
2617, 25syl5 33 . . 3  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( y  e.  ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  ->  -.  y  e.  w
) )
2726ralrimiv 2800 . 2  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  ->  A. y  e.  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  -.  y  e.  w )
28 disj 3805 . 2  |-  ( ( ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  w )  =  (/)  <->  A. y  e.  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  -.  y  e.  w )
2927, 28sylibr 216 1  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  w )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737    \ cdif 3401    i^i cin 3403   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-v 3047  df-dif 3407  df-in 3411  df-nul 3732  df-sn 3969  df-uni 4199
This theorem is referenced by:  kmlem5  8584  kmlem11  8590
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