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Theorem kmlem4 8581
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem4  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  w )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, w, z

Proof of Theorem kmlem4
Dummy variables  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3452 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  <-> 
( y  e.  z  /\  -.  y  e. 
U. ( x  \  { z } ) ) )
2 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )  ->  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )
3 eluni 4225 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( x 
\  { z } )  <->  E. v ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
43notbii 297 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  U. (
x  \  { z } )  <->  -.  E. v
( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) ) )
5 alnex 1661 . . . . . . 7  |-  ( A. v  -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) )  <->  -.  E. v ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
6 con2b 335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  v  ->  -.  v  e.  (
x  \  { z } ) )  <->  ( v  e.  ( x  \  {
z } )  ->  -.  y  e.  v
) )
7 imnan 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  v  ->  -.  v  e.  (
x  \  { z } ) )  <->  -.  (
y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) ) )
8 eldifsn 4128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( v  e.  x  /\  v  =/=  z
) )
9 necom 2700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =/=  z  <->  z  =/=  v )
109anbi2i 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  x  /\  v  =/=  z )  <->  ( v  e.  x  /\  z  =/=  v ) )
118, 10bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( v  e.  x  /\  z  =/=  v
) )
1211imbi1i 326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( x 
\  { z } )  ->  -.  y  e.  v )  <->  ( (
v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
136, 7, 123bitr3i 278 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( (
v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
1413albii 1687 . . . . . . 7  |-  ( A. v  -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) )  <->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
154, 5, 143bitr2i 276 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  U. (
x  \  { z } )  <->  A. v
( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
162, 15sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )  ->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
171, 16sylbi 198 . . . 4  |-  ( y  e.  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  ->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
18 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  e.  x  <->  w  e.  x ) )
19 neeq2 2714 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
z  =/=  v  <->  z  =/=  w ) )
2018, 19anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  e.  x  /\  z  =/=  v
)  <->  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w ) ) )
21 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  w ) )
2221notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  y  e.  v  <->  -.  y  e.  w ) )
2320, 22imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )  <->  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w
)  ->  -.  y  e.  w ) ) )
2423spv 2067 . . . . 5  |-  ( A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )  ->  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  ->  -.  y  e.  w )
)
2524com12 32 . . . 4  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v
)  ->  -.  y  e.  v )  ->  -.  y  e.  w )
)
2617, 25syl5 33 . . 3  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( y  e.  ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  ->  -.  y  e.  w
) )
2726ralrimiv 2844 . 2  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  ->  A. y  e.  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  -.  y  e.  w )
28 disj 3839 . 2  |-  ( ( ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  w )  =  (/)  <->  A. y  e.  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  -.  y  e.  w )
2927, 28sylibr 215 1  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  w )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782    \ cdif 3439    i^i cin 3441   (/)c0 3767   {csn 4002   U.cuni 4222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-v 3089  df-dif 3445  df-in 3449  df-nul 3768  df-sn 4003  df-uni 4223
This theorem is referenced by:  kmlem5  8582  kmlem11  8588
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