Theorem kmlem4 8545

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem4	|- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Distinct variable group:   x, w, z

Proof of Theorem kmlem4

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3491	. . . . 5 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) <-> ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) )
2		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. U. ( x \ { z } ) )
3		eluni 4254	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( x \ { z } ) <-> E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
4	3	notbii 296	. . . . . . 7 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
5		alnex 1598	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
6		con2b 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) )
7		imnan 422	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
8		eldifsn 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ v =/= z ) )
9		necom 2736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v =/= z <-> z =/= v )
10	9	anbi2i 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. x /\ v =/= z ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
11	8, 10	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
12	11	imbi1i 325	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
13	6, 7, 12	3bitr3i 275	. . . . . . . 8 |- ( -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
14	13	albii 1620	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
15	4, 5, 14	3bitr2i 273	. . . . . 6 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
16	2, 15	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
17	1, 16	sylbi 195	. . . 4 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
18		eleq1 2539	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( v e. x <-> w e. x ) )
19		neeq2 2750	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( z =/= v <-> z =/= w ) )
20	18, 19	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( ( v e. x /\ z =/= v ) <-> ( w e. x /\ z =/= w ) ) )
21		eleq2 2540	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( y e. v <-> y e. w ) )
22	21	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( -. y e. v <-> -. y e. w ) )
23	20, 22	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) <-> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) ) )
24	23	spv 1980	. . . . 5 |- ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) )
25	24	com12 31	. . . 4 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> -. y e. w ) )
26	17, 25	syl5 32	. . 3 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. w ) )
27	26	ralrimiv 2879	. 2 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
28		disj 3872	. 2 |- ( ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) <-> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
29	27, 28	sylibr 212	1 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   \ cdif 3478   i^i cin 3480   (/)c0 3790   {csn 4033   U.cuni 4251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-v 3120  df-dif 3484  df-in 3488  df-nul 3791  df-sn 4034  df-uni 4252

This theorem is referenced by:  kmlem5  8546  kmlem11  8552