Theorem kmlem4 8583

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem4	|- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Distinct variable group:   x, w, z

Proof of Theorem kmlem4

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3414	. . . . 5 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) <-> ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) )
2		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. U. ( x \ { z } ) )
3		eluni 4201	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( x \ { z } ) <-> E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
4	3	notbii 298	. . . . . . 7 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
5		alnex 1665	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
6		con2b 336	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) )
7		imnan 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
8		eldifsn 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ v =/= z ) )
9		necom 2677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v =/= z <-> z =/= v )
10	9	anbi2i 700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. x /\ v =/= z ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
11	8, 10	bitri 253	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
12	11	imbi1i 327	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
13	6, 7, 12	3bitr3i 279	. . . . . . . 8 |- ( -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
14	13	albii 1691	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
15	4, 5, 14	3bitr2i 277	. . . . . 6 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
16	2, 15	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
17	1, 16	sylbi 199	. . . 4 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
18		eleq1 2517	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( v e. x <-> w e. x ) )
19		neeq2 2687	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( z =/= v <-> z =/= w ) )
20	18, 19	anbi12d 717	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( ( v e. x /\ z =/= v ) <-> ( w e. x /\ z =/= w ) ) )
21		eleq2 2518	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( y e. v <-> y e. w ) )
22	21	notbid 296	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( -. y e. v <-> -. y e. w ) )
23	20, 22	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) <-> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) ) )
24	23	spv 2104	. . . . 5 |- ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) )
25	24	com12 32	. . . 4 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> -. y e. w ) )
26	17, 25	syl5 33	. . 3 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. w ) )
27	26	ralrimiv 2800	. 2 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
28		disj 3805	. 2 |- ( ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) <-> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
29	27, 28	sylibr 216	1 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   \ cdif 3401   i^i cin 3403   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-v 3047  df-dif 3407  df-in 3411  df-nul 3732  df-sn 3969  df-uni 4199

This theorem is referenced by:  kmlem5  8584  kmlem11  8590