Theorem kmlem4 8446

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem4	|- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Distinct variable group:   x, w, z

Proof of Theorem kmlem4

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3399	. . . . 5 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) <-> ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) )
2		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. U. ( x \ { z } ) )
3		eluni 4166	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( x \ { z } ) <-> E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
4	3	notbii 294	. . . . . . 7 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
5		alnex 1622	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
6		con2b 332	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) )
7		imnan 420	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
8		eldifsn 4069	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ v =/= z ) )
9		necom 2651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v =/= z <-> z =/= v )
10	9	anbi2i 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. x /\ v =/= z ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
11	8, 10	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
12	11	imbi1i 323	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
13	6, 7, 12	3bitr3i 275	. . . . . . . 8 |- ( -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
14	13	albii 1648	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
15	4, 5, 14	3bitr2i 273	. . . . . 6 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
16	2, 15	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
17	1, 16	sylbi 195	. . . 4 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
18		eleq1 2454	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( v e. x <-> w e. x ) )
19		neeq2 2665	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( z =/= v <-> z =/= w ) )
20	18, 19	anbi12d 708	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( ( v e. x /\ z =/= v ) <-> ( w e. x /\ z =/= w ) ) )
21		eleq2 2455	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( y e. v <-> y e. w ) )
22	21	notbid 292	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( -. y e. v <-> -. y e. w ) )
23	20, 22	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) <-> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) ) )
24	23	spv 2018	. . . . 5 |- ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) )
25	24	com12 31	. . . 4 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> -. y e. w ) )
26	17, 25	syl5 32	. . 3 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. w ) )
27	26	ralrimiv 2794	. 2 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
28		disj 3783	. 2 |- ( ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) <-> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
29	27, 28	sylibr 212	1 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   A.wal 1397   = wceq 1399   E.wex 1620   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   \ cdif 3386   i^i cin 3388   (/)c0 3711   {csn 3944   U.cuni 4163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-v 3036  df-dif 3392  df-in 3396  df-nul 3712  df-sn 3945  df-uni 4164

This theorem is referenced by:  kmlem5  8447  kmlem11  8453