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Theorem kmlem3 8590
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. The right-hand side is part of the hypothesis of 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem3  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
Distinct variable group:    x, v, w, z

Proof of Theorem kmlem3
StepHypRef Expression
1 dfdif2 3445 . . . 4  |-  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) )  =  { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. (
x  \  { z } ) }
2 dfnul3 3764 . . . . . 6  |-  (/)  =  {
v  e.  z  |  -.  v  e.  z }
32uneq2i 3617 . . . . 5  |-  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  (/) )  =  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  { v  e.  z  |  -.  v  e.  z } )
4 un0 3789 . . . . 5  |-  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  (/) )  =  { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. (
x  \  { z } ) }
5 unrab 3744 . . . . 5  |-  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  { v  e.  z  |  -.  v  e.  z } )  =  {
v  e.  z  |  ( -.  v  e. 
U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z ) }
63, 4, 53eqtr3i 2459 . . . 4  |-  { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. (
x  \  { z } ) }  =  { v  e.  z  |  ( -.  v  e.  U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z ) }
7 ianor 490 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( v  e.  U. ( x  \  { z } )  /\  v  e.  z )  <->  ( -.  v  e.  U. (
x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z )
)
8 eluni 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  U. ( x 
\  { z } )  <->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
98anbi1i 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  U. (
x  \  { z } )  /\  v  e.  z )  <->  ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) )  /\  v  e.  z ) )
10 df-rex 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  x  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  E. w ( w  e.  x  /\  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) ) )
11 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( v  e.  z  /\  v  e.  w ) )
1211anbi2i 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w ) ) )
13 df-an 372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
1412, 13bitr3i 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) )  <->  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
1514anbi2i 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  x  /\  ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) )  <->  ( w  e.  x  /\  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) ) )
16 eldifsn 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( w  e.  x  /\  w  =/=  z
) )
17 necom 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =/=  z  <->  z  =/=  w )
1817anbi2i 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  x  /\  w  =/=  z )  <->  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w ) )
1916, 18bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( w  e.  x  /\  z  =/=  w
) )
2019anbi2i 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  v  e.  z )  /\  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w
) ) )
21 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z )  <->  ( v  e.  z  /\  v  e.  w )
)
2221anbi2ci 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w ) )  <->  ( (
w  e.  x  /\  z  =/=  w )  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) )
23 anass 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w
)  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w ) )  <->  ( w  e.  x  /\  (
z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) ) )
2420, 22, 233bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( w  e.  x  /\  (
z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) ) )
25 an32 805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z ) )
2624, 25bitr3i 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  x  /\  ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z ) )
2715, 26bitr3i 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  x  /\  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z ) )
2827exbii 1712 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( w  e.  x  /\  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )  <->  E. w
( ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) )  /\  v  e.  z ) )
29 19.41v 1823 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) )  /\  v  e.  z )  <->  ( E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z )
)
3010, 28, 293bitri 274 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  x  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  ( E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z )
)
31 rexnal 2870 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  x  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
329, 30, 313bitr2ri 277 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  ( v  e. 
U. ( x  \  { z } )  /\  v  e.  z ) )
3332con1bii 332 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( v  e.  U. ( x  \  { z } )  /\  v  e.  z )  <->  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
347, 33bitr3i 254 . . . . . 6  |-  ( ( -.  v  e.  U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z )  <->  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( v  e.  z  ->  (
( -.  v  e. 
U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z )  <->  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) ) )
3635rabbiia 3068 . . . 4  |-  { v  e.  z  |  ( -.  v  e.  U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z ) }  =  { v  e.  z  |  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) }
371, 6, 363eqtri 2455 . . 3  |-  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) )  =  { v  e.  z  |  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) }
3837neeq1i 2705 . 2  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  { v  e.  z  |  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) }  =/=  (/) )
39 rabn0 3782 . 2  |-  ( { v  e.  z  | 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
4038, 39bitri 252 1  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435   (/)c0 3761   {csn 3998   U.cuni 4219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-nul 3762  df-sn 3999  df-uni 4220
This theorem is referenced by:  kmlem13  8600
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