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Theorem kmlem2 7987
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem2  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)

Proof of Theorem kmlem2
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq2 3496 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  v ) )
21eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
w  e.  ( z  i^i  y )  <->  w  e.  ( z  i^i  v
) ) )
32eubidv 2262 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) )
43imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  (
( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) ) )
54ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) ) )
65cbvexv 2053 . . 3  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. v A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) )
7 vex 2919 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
87uniex 4664 . . . . . 6  |-  U. x  e.  _V
9 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. x  -> 
( u  e.  y  <-> 
u  e.  U. x
) )
109notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. x  -> 
( -.  u  e.  y  <->  -.  u  e.  U. x ) )
1110exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. x  -> 
( E. u  -.  u  e.  y  <->  E. u  -.  u  e.  U. x
) )
12 nalset 4300 . . . . . . . 8  |-  -.  E. y A. u  u  e.  y
13 alexn 1586 . . . . . . . 8  |-  ( A. y E. u  -.  u  e.  y  <->  -.  E. y A. u  u  e.  y )
1412, 13mpbir 201 . . . . . . 7  |-  A. y E. u  -.  u  e.  y
1514spi 1765 . . . . . 6  |-  E. u  -.  u  e.  y
168, 11, 15vtocl 2966 . . . . 5  |-  E. u  -.  u  e.  U. x
17 indi 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  ( v  u. 
{ u } ) )  =  ( ( z  i^i  v )  u.  ( z  i^i 
{ u } ) )
18 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  z  C_ 
U. x )
1918ssneld 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  x  ->  ( -.  u  e.  U. x  ->  -.  u  e.  z ) )
20 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  i^i  { u } )  =  (/)  <->  -.  u  e.  z )
2119, 20syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  x  ->  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( z  i^i  {
u } )  =  (/) ) )
2221impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( z  i^i  { u } )  =  (/) )
2322uneq2d 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( (
z  i^i  v )  u.  ( z  i^i  {
u } ) )  =  ( ( z  i^i  v )  u.  (/) ) )
24 un0 3612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  i^i  v )  u.  (/) )  =  ( z  i^i  v )
2523, 24syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( (
z  i^i  v )  u.  ( z  i^i  {
u } ) )  =  ( z  i^i  v ) )
2617, 25syl5req 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( z  i^i  v )  =  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) )
2726eleq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( w  e.  ( z  i^i  v
)  <->  w  e.  (
z  i^i  ( v  u.  { u } ) ) ) )
2827eubidv 2262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  v )  <->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) ) )
2928imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  <->  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) )
3029ralbidva 2682 . . . . . . . 8  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  <->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) ) )
31 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  u  e. 
_V
3231snid 3801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  u  e. 
{ u }
3332olci 381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  v  \/  u  e.  { u } )
34 elun 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( v  u. 
{ u } )  <-> 
( u  e.  v  \/  u  e.  {
u } ) )
3533, 34mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  u  e.  ( v  u.  {
u } )
36 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  u.  { u } )  e.  x  ->  ( v  u.  {
u } )  C_  U. x )
3736sseld 3307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  u.  { u } )  e.  x  ->  ( u  e.  ( v  u.  { u } )  ->  u  e.  U. x ) )
3835, 37mpi 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  u.  { u } )  e.  x  ->  u  e.  U. x
)
3938con3i 129 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  -.  ( v  u. 
{ u } )  e.  x )
4039biantrurd 495 . . . . . . . 8  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) )  <->  ( -.  ( v  u.  {
u } )  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) ) )
4130, 40bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  <->  ( -.  (
v  u.  { u } )  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) ) ) )
42 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
43 snex 4365 . . . . . . . . 9  |-  { u }  e.  _V
4442, 43unex 4666 . . . . . . . 8  |-  ( v  u.  { u }
)  e.  _V
45 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( y  e.  x  <->  ( v  u. 
{ u } )  e.  x ) )
4645notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( -.  y  e.  x  <->  -.  ( v  u.  { u } )  e.  x ) )
47 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( z  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) )
4847eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  w  e.  (
z  i^i  ( v  u.  { u } ) ) ) )
4948eubidv 2262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) )
5049imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) )
5150ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) )
5246, 51anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <-> 
( -.  ( v  u.  { u }
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) ) ) )
5344, 52spcev 3003 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( v  u. 
{ u } )  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
5441, 53syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) ) )
5554exlimiv 1641 . . . . 5  |-  ( E. u  -.  u  e. 
U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) ) )
5616, 55ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
5756exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. v A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
586, 57sylbi 188 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
59 simpr 448 . . 3  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )
6059eximi 1582 . 2  |-  ( E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )
6158, 60impbii 181 1  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2254   A.wral 2666    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975
This theorem is referenced by:  kmlem8  7993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-sn 3780  df-pr 3781  df-uni 3976
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