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Theorem kmlem13 8554
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem13  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, t    y, A, z, w, v
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem13
Dummy variables  h  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kmlem1 8542 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2 raleq 3063 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
32raleqbi1dv 3071 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
4 raleq 3063 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
54exbidv 1690 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
63, 5imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  h  ->  (
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
76cbvalv 1996 . . . 4  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
8 kmlem9.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
98kmlem10 8551 . . . . . 6  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
10 ineq2 3699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  g  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  g ) )
1110eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  g  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1211eubidv 2298 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  g  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1312imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  g  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) ) ) )
1413ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  g  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) ) )
1514cbvexv 1997 . . . . . . 7  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) )
16 kmlem3 8544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
17 ralinexa 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
1817rexbii 2969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  E. v  e.  z  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
19 rexnal 2915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  -. 
E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2016, 18, 193bitri 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2120ralbii 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
22 ralnex 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2321, 22bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
248kmlem12 8553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
25 vex 3121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  g  e. 
_V
2625inex1 4594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  i^i  U. A )  e.  _V
27 ineq2 3699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )
2827eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
2928eubidv 2298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3130ralbidv 2906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3226, 31spcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
3324, 32syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3433exlimdv 1700 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3534com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  =/=  (/)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3623, 35syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3715, 36sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
389, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3938alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
407, 39sylbi 195 . . 3  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
411, 40syl 16 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
42 kmlem7 8548 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
4342imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
44 biimt 335 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4544ralimi 2860 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
46 ralbi 2998 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4847exbidv 1690 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
5049pm5.74i 245 . . . 4  |-  ( ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <-> 
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
5143, 50sylibr 212 . . 3  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
5251alimi 1614 . 2  |-  ( A. x ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
5341, 52impbii 188 1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E!weu 2275   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    i^i cin 3480   (/)c0 3790   {csn 4033   U.cuni 4251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602
This theorem is referenced by:  dfackm  8558
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