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Theorem kmlem13 8343
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem13  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, t    y, A, z, w, v
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem13
Dummy variables  h  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kmlem1 8331 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2 raleq 2929 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
32raleqbi1dv 2937 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
4 raleq 2929 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
54exbidv 1680 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
63, 5imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  h  ->  (
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
76cbvalv 1971 . . . 4  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
8 kmlem9.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
98kmlem10 8340 . . . . . 6  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
10 ineq2 3558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  g  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  g ) )
1110eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  g  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1211eubidv 2276 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  g  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1312imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  g  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) ) ) )
1413ralbidv 2747 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  g  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) ) )
1514cbvexv 1972 . . . . . . 7  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) )
16 kmlem3 8333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
17 ralinexa 2772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
1817rexbii 2752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  E. v  e.  z  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
19 rexnal 2738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  -. 
E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2016, 18, 193bitri 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2120ralbii 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
22 ralnex 2737 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2321, 22bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
248kmlem12 8342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
25 vex 2987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  g  e. 
_V
2625inex1 4445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  i^i  U. A )  e.  _V
27 ineq2 3558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )
2827eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
2928eubidv 2276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3130ralbidv 2747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3226, 31spcev 3076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
3324, 32syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3433exlimdv 1690 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3534com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  =/=  (/)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3623, 35syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3715, 36sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
389, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3938alrimiv 1685 . . . 4  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
407, 39sylbi 195 . . 3  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
411, 40syl 16 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
42 kmlem7 8337 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
4342imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
44 biimt 335 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4544ralimi 2803 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
46 ralbi 2865 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4847exbidv 1680 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
5049pm5.74i 245 . . . 4  |-  ( ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <-> 
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
5143, 50sylibr 212 . . 3  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
5251alimi 1604 . 2  |-  ( A. x ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
5341, 52impbii 188 1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2253   {cab 2429    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728    \ cdif 3337    i^i cin 3339   (/)c0 3649   {csn 3889   U.cuni 4103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438
This theorem is referenced by:  dfackm  8347
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