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Theorem kmlem12 8580
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 27-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, v, u, t   
y, A, z, v
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem12
StepHypRef Expression
1 kmlem9.1 . . . . 5  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
21raleqi 3027 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  {
u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
3 df-ral 2778 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  A. z ( z  e. 
{ u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
5 eqeq1 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
65rexbidv 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
74, 6elab 3215 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
87imbi1i 326 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ->  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
9 r19.23v 2903 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  ( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
108, 9bitr4i 255 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ->  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  A. t  e.  x  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1110albii 1687 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
{ u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. z A. t  e.  x  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
12 ralcom4 3097 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  A. z ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  A. z A. t  e.  x  ( z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
13 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  t  e. 
_V
14 difexg 4564 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  e. 
_V )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  e.  _V
16 neeq1 2703 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/) 
<->  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/) ) )
17 ineq1 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  i^i  y )  =  ( ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) )
1817eleq2d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
1918eubidv 2284 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
2016, 19imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <-> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) ) )
2115, 20ceqsalv 3106 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
2221ralbii 2854 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  A. z ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  A. t  e.  x  ( (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
2311, 12, 223bitr2i 276 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e. 
{ u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. t  e.  x  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
242, 3, 233bitri 274 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. t  e.  x  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
25 ralim 2812 . . 3  |-  ( A. t  e.  x  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) )  ->  ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) ) )
2624, 25sylbi 198 . 2  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  ->  ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) ) )
27 difeq1 3573 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
28 sneq 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  { t }  =  { z } )
2928difeq2d 3580 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { z } ) )
3029unieqd 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { z } ) )
3130difeq2d 3580 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
z  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
3227, 31eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
3332neeq1d 2699 . . . . . 6  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/) 
<->  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/) ) )
3433cbvralv 3053 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/) )
3532ineq1d 3660 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y )  =  ( ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  y ) )
3635eleq2d 2490 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y )  <->  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y ) ) )
3736eubidv 2284 . . . . . 6  |-  ( t  =  z  ->  ( E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) ) )
3837cbvralv 3053 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  E! v  v  e.  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) )
3934, 38imbi12i 327 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) )  <-> 
( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) ) )
40 in12 3670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) )  =  ( y  i^i  (
z  i^i  U. A ) )
41 incom 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  ( z  i^i  U. A ) )  =  ( ( z  i^i  U. A )  i^i  y
)
4240, 41eqtri 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) )  =  ( ( z  i^i  U. A )  i^i  y
)
431kmlem11 8579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
4443ineq1d 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  i^i  U. A )  i^i  y
)  =  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) )
4542, 44syl5req 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) )
4645eleq2d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  (
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  (
y  i^i  U. A ) ) ) )
4746eubidv 2284 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  ( E! v  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) )
48 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) )
4947, 48syl6bi 231 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  ( E! v  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5049ralimia 2814 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  y )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) )
5150imim2i 16 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y ) )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5239, 51sylbi 198 . . 3  |-  ( ( A. t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5352com12 32 . 2  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5426, 53syl5 33 1  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1867   E!weu 2263   {cab 2405    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    i^i cin 3432   (/)c0 3758   {csn 3993   U.cuni 4213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-sn 3994  df-uni 4214  df-iun 4295
This theorem is referenced by:  kmlem13  8581
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