MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kmlem11 Structured version   Unicode version

Theorem kmlem11 8571
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem11  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, u, t    z, A
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem11
StepHypRef Expression
1 kmlem9.1 . . . . . 6  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
21unieqi 4199 . . . . 5  |-  U. A  =  U. { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }
3 vex 3061 . . . . . . 7  |-  t  e. 
_V
4 difexg 4541 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  e. 
_V )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  e.  _V
65dfiun2 4304 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =  U. {
u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }
72, 6eqtr4i 2434 . . . 4  |-  U. A  =  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )
87ineq2i 3637 . . 3  |-  ( z  i^i  U. A )  =  ( z  i^i  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
9 iunin2 4334 . . 3  |-  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
108, 9eqtr4i 2434 . 2  |-  ( z  i^i  U. A )  =  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
11 undif2 3847 . . . . . 6  |-  ( { z }  u.  (
x  \  { z } ) )  =  ( { z }  u.  x )
12 snssi 4115 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  { z }  C_  x )
13 ssequn1 3612 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  x  <->  ( { z }  u.  x )  =  x )
1412, 13sylib 196 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  ( { z }  u.  x )  =  x )
1511, 14syl5req 2456 . . . . 5  |-  ( z  e.  x  ->  x  =  ( { z }  u.  ( x 
\  { z } ) ) )
1615iuneq1d 4295 . . . 4  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
17 iunxun 4355 . . . . . 6  |-  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( U_ t  e.  { z }  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  { z } ) ( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
18 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
19 difeq1 3553 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
20 sneq 3981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  { t }  =  { z } )
2120difeq2d 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { z } ) )
2221unieqd 4200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { z } ) )
2322difeq2d 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
z  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
2419, 23eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
2524ineq2d 3640 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) ) )
2618, 25iunxsn 4353 . . . . . . 7  |-  U_ t  e.  { z }  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )
2726uneq1i 3592 . . . . . 6  |-  ( U_ t  e.  { z }  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
2817, 27eqtri 2431 . . . . 5  |-  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
29 eldifsni 4097 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( x  \  { z } )  ->  t  =/=  z
)
30 incom 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) )  =  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  z )
31 kmlem4 8564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  x  /\  t  =/=  z )  -> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  z )  =  (/) )
3230, 31syl5eq 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  x  /\  t  =/=  z )  -> 
( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
3332ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
t  =/=  z  -> 
( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/) ) )
3429, 33syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
t  e.  ( x 
\  { z } )  ->  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) ) )
3534ralrimiv 2815 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  A. t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
36 iuneq2 4287 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( x  \  { z } ) ( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/)  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( x  \  { z } )
(/) )
3735, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( x  \  { z } )
(/) )
38 iun0 4326 . . . . . . 7  |-  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) (/)  =  (/)
3937, 38syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
4039uneq2d 3596 . . . . 5  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  i^i  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) ) )
4128, 40syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  (/) ) )
4216, 41eqtrd 2443 . . 3  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  (/) ) )
43 un0 3763 . . . 4  |-  ( ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) )  =  ( z  i^i  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) ) )
44 indif 3691 . . . 4  |-  ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  =  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) )
4543, 44eqtri 2431 . . 3  |-  ( ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )
4642, 45syl6eq 2459 . 2  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
4710, 46syl5eq 2455 1  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   U.cuni 4190   U_ciun 4270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-sn 3972  df-uni 4191  df-iun 4272
This theorem is referenced by:  kmlem12  8572
  Copyright terms: Public domain W3C validator