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Theorem kmlem11 7996
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem11  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, u, t    z, A
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem11
StepHypRef Expression
1 kmlem9.1 . . . . . 6  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
21unieqi 3985 . . . . 5  |-  U. A  =  U. { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }
3 vex 2919 . . . . . . 7  |-  t  e. 
_V
4 difexg 4311 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  e. 
_V )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  e.  _V
65dfiun2 4085 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =  U. {
u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }
72, 6eqtr4i 2427 . . . 4  |-  U. A  =  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )
87ineq2i 3499 . . 3  |-  ( z  i^i  U. A )  =  ( z  i^i  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
9 iunin2 4115 . . 3  |-  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
108, 9eqtr4i 2427 . 2  |-  ( z  i^i  U. A )  =  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
11 undif2 3664 . . . . . 6  |-  ( { z }  u.  (
x  \  { z } ) )  =  ( { z }  u.  x )
12 snssi 3902 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  { z }  C_  x )
13 ssequn1 3477 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  x  <->  ( { z }  u.  x )  =  x )
1412, 13sylib 189 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  ( { z }  u.  x )  =  x )
1511, 14syl5req 2449 . . . . 5  |-  ( z  e.  x  ->  x  =  ( { z }  u.  ( x 
\  { z } ) ) )
1615iuneq1d 4076 . . . 4  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
17 iunxun 4132 . . . . . 6  |-  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( U_ t  e.  { z }  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  { z } ) ( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
18 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
19 difeq1 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
20 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  { t }  =  { z } )
2120difeq2d 3425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { z } ) )
2221unieqd 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { z } ) )
2322difeq2d 3425 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
z  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
2419, 23eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
2524ineq2d 3502 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) ) )
2618, 25iunxsn 4130 . . . . . . 7  |-  U_ t  e.  { z }  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )
2726uneq1i 3457 . . . . . 6  |-  ( U_ t  e.  { z }  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
2817, 27eqtri 2424 . . . . 5  |-  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
29 eldifsni 3888 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( x  \  { z } )  ->  t  =/=  z
)
30 incom 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) )  =  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  z )
31 kmlem4 7989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  x  /\  t  =/=  z )  -> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  z )  =  (/) )
3230, 31syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  x  /\  t  =/=  z )  -> 
( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
3332ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
t  =/=  z  -> 
( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/) ) )
3429, 33syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
t  e.  ( x 
\  { z } )  ->  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) ) )
3534ralrimiv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  A. t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
36 iuneq2 4069 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( x  \  { z } ) ( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/)  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( x  \  { z } )
(/) )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( x  \  { z } )
(/) )
38 iun0 4107 . . . . . . 7  |-  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) (/)  =  (/)
3937, 38syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
4039uneq2d 3461 . . . . 5  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  i^i  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) ) )
4128, 40syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  (/) ) )
4216, 41eqtrd 2436 . . 3  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  (/) ) )
43 un0 3612 . . . 4  |-  ( ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) )  =  ( z  i^i  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) ) )
44 indif 3543 . . . 4  |-  ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  =  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) )
4543, 44eqtri 2424 . . 3  |-  ( ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )
4642, 45syl6eq 2452 . 2  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
4710, 46syl5eq 2448 1  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975   U_ciun 4053
This theorem is referenced by:  kmlem12  7997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-sn 3780  df-uni 3976  df-iun 4055
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