Theorem kmlem10 8571

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }

Assertion

Ref	Expression
kmlem10	|- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, u, t, h   y, A, z, w, h   ph, h

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, u, t)   A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . 3 |- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
2	1	kmlem9 8570	. 2 |- A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) )
3		vex 3062	. . . . 5 |- x e. _V
4	3	abrexex 6758	. . . 4 |- { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) } e. _V
5	1, 4	eqeltri 2486	. . 3 |- A e. _V
6		raleq 3004	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
7	6	raleqbi1dv 3012	. . . 4 |- ( h = A -> ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
8		raleq 3004	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. z e. h ph <-> A. z e. A ph ) )
9	8	exbidv 1735	. . . 4 |- ( h = A -> ( E. y A. z e. h ph <-> E. y A. z e. A ph ) )
10	7, 9	imbi12d 318	. . 3 |- ( h = A -> ( ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) <-> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) ) )
11	5, 10	spcv 3150	. 2 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) )
12	2, 11	mpi 20	1 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1403   = wceq 1405   E.wex 1633   {cab 2387   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059   \ cdif 3411   i^i cin 3413   (/)c0 3738   {csn 3972   U.cuni 4191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577

This theorem is referenced by:  kmlem13  8574