Theorem kmlem10 8620

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }

Assertion

Ref	Expression
kmlem10	|- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, u, t, h   y, A, z, w, h   ph, h

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, u, t)   A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . 3 |- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
2	1	kmlem9 8619	. 2 |- A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) )
3		vex 3060	. . . . 5 |- x e. _V
4	3	abrexex 6799	. . . 4 |- { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) } e. _V
5	1, 4	eqeltri 2536	. . 3 |- A e. _V
6		raleq 2999	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
7	6	raleqbi1dv 3007	. . . 4 |- ( h = A -> ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
8		raleq 2999	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. z e. h ph <-> A. z e. A ph ) )
9	8	exbidv 1779	. . . 4 |- ( h = A -> ( E. y A. z e. h ph <-> E. y A. z e. A ph ) )
10	7, 9	imbi12d 326	. . 3 |- ( h = A -> ( ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) <-> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) ) )
11	5, 10	spcv 3152	. 2 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) )
12	2, 11	mpi 20	1 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1453   = wceq 1455   E.wex 1674   {cab 2448   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   i^i cin 3415   (/)c0 3743   {csn 3980   U.cuni 4212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613

This theorem is referenced by:  kmlem13  8623