Theorem kmlem10 8326

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }

Assertion

Ref	Expression
kmlem10	|- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, u, t, h   y, A, z, w, h   ph, h

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, u, t)   A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . 3 |- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
2	1	kmlem9 8325	. 2 |- A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) )
3		vex 2973	. . . . 5 |- x e. _V
4	3	abrexex 6549	. . . 4 |- { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) } e. _V
5	1, 4	eqeltri 2511	. . 3 |- A e. _V
6		raleq 2915	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
7	6	raleqbi1dv 2923	. . . 4 |- ( h = A -> ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
8		raleq 2915	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. z e. h ph <-> A. z e. A ph ) )
9	8	exbidv 1680	. . . 4 |- ( h = A -> ( E. y A. z e. h ph <-> E. y A. z e. A ph ) )
10	7, 9	imbi12d 320	. . 3 |- ( h = A -> ( ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) <-> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) ) )
11	5, 10	spcv 3061	. 2 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) )
12	2, 11	mpi 17	1 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   {cab 2427   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   \ cdif 3323   i^i cin 3325   (/)c0 3635   {csn 3875   U.cuni 4089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424

This theorem is referenced by:  kmlem13  8329