MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kmlem10 Structured version   Unicode version

Theorem kmlem10 8571
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem10  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ph )  ->  E. y A. z  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, u, t, h    y, A, z, w, h    ph, h
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, u, t)    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem10
StepHypRef Expression
1 kmlem9.1 . . 3  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
21kmlem9 8570 . 2  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
3 vex 3062 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
43abrexex 6758 . . . 4  |-  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  e.  _V
51, 4eqeltri 2486 . . 3  |-  A  e. 
_V
6 raleq 3004 . . . . 5  |-  ( h  =  A  ->  ( A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
76raleqbi1dv 3012 . . . 4  |-  ( h  =  A  ->  ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
8 raleq 3004 . . . . 5  |-  ( h  =  A  ->  ( A. z  e.  h  ph  <->  A. z  e.  A  ph ) )
98exbidv 1735 . . . 4  |-  ( h  =  A  ->  ( E. y A. z  e.  h  ph  <->  E. y A. z  e.  A  ph ) )
107, 9imbi12d 318 . . 3  |-  ( h  =  A  ->  (
( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ph )  <->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  A  ph ) ) )
115, 10spcv 3150 . 2  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ph )  -> 
( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  A  ph ) )
122, 11mpi 20 1  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ph )  ->  E. y A. z  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633   {cab 2387    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    i^i cin 3413   (/)c0 3738   {csn 3972   U.cuni 4191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577
This theorem is referenced by:  kmlem13  8574
  Copyright terms: Public domain W3C validator