Theorem kmlem10 8528

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }

Assertion

Ref	Expression
kmlem10	|- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, u, t, h   y, A, z, w, h   ph, h

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, u, t)   A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . 3 |- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
2	1	kmlem9 8527	. 2 |- A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) )
3		vex 3109	. . . . 5 |- x e. _V
4	3	abrexex 6748	. . . 4 |- { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) } e. _V
5	1, 4	eqeltri 2544	. . 3 |- A e. _V
6		raleq 3051	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
7	6	raleqbi1dv 3059	. . . 4 |- ( h = A -> ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
8		raleq 3051	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. z e. h ph <-> A. z e. A ph ) )
9	8	exbidv 1685	. . . 4 |- ( h = A -> ( E. y A. z e. h ph <-> E. y A. z e. A ph ) )
10	7, 9	imbi12d 320	. . 3 |- ( h = A -> ( ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) <-> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) ) )
11	5, 10	spcv 3197	. 2 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> ( A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. A ph ) )
12	2, 11	mpi 17	1 |- ( A. h ( A. z e. h A. w e. h ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E. y A. z e. h ph ) -> E. y A. z e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1372   = wceq 1374   E.wex 1591   {cab 2445   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   i^i cin 3468   (/)c0 3778   {csn 4020   U.cuni 4238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587

This theorem is referenced by:  kmlem13  8531