MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenuni Structured version   Unicode version

Theorem kgenuni 19239
Description: The base set of the compact generator is the same as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kgenuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
kgenuni  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )

Proof of Theorem kgenuni
StepHypRef Expression
1 kgenuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 18665 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 kgentopon 19238 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
42, 3sylbi 195 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 18659 . 2  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   U.cuni 4194   ` cfv 5521   Topctop 18625  TopOnctopon 18626  𝑘Genckgen 19233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-fin 7419  df-fi 7767  df-rest 14475  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cmp 19117  df-kgen 19234
This theorem is referenced by:  kgencmp2  19246  llycmpkgen2  19250  1stckgen  19254  txkgen  19352  qtopkgen  19410
  Copyright terms: Public domain W3C validator