MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenuni Structured version   Unicode version

Theorem kgenuni 19803
Description: The base set of the compact generator is the same as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kgenuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
kgenuni  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )

Proof of Theorem kgenuni
StepHypRef Expression
1 kgenuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 19229 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 kgentopon 19802 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
42, 3sylbi 195 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 19223 . 2  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Topctop 19189  TopOnctopon 19190  𝑘Genckgen 19797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cmp 19681  df-kgen 19798
This theorem is referenced by:  kgencmp2  19810  llycmpkgen2  19814  1stckgen  19818  txkgen  19916  qtopkgen  19974
  Copyright terms: Public domain W3C validator