Theorem kgentopon 19111

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentopon	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem kgentopon

Dummy variables y x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4112	. . . . . . 7 |- ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
2		kgenval 19108	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) = { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } )
3		ssrab2 3437	. . . . . . . . 9 |- { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } C_ ~P X
4	2, 3	syl6eqss 3406	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X )
5		sspwuni 4256	. . . . . . . 8 |- ( (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X <-> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
6	4, 5	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
7	1, 6	sylan9ssr 3370	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x C_ X )
8		iunin2 4234	. . . . . . . . . 10 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( k i^i U_ y e. x y )
9		uniiun 4223	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U_ y e. x y
10	9	ineq2i 3549	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( k i^i U_ y e. x y )
11		incom 3543	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( U. x i^i k )
12	8, 10, 11	3eqtr2i 2469	. . . . . . . . 9 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( U. x i^i k )
13		cmptop 18998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( J ↾t k ) e. Top )
14	13	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
15		incom 3543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i k ) = ( k i^i y )
16		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x C_ (𝑘Gen ` J ) )
17	16	sselda 3356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
18		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
19		kgeni 19110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
21	15, 20	syl5eqelr 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
22	21	ralrimiva 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
23		iunopn 18511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
24	14, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
25	12, 24	syl5eqelr 2528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
26	25	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
27	26	ralrimiva 2799	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
28		elkgen 19109	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
29	28	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
30	7, 27, 29	mpbir2and 913	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) )
31	30	ex 434	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
32	31	alrimiv 1685	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
33		inss1 3570	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
34		elssuni 4121	. . . . . . . 8 |- ( x e. (𝑘Gen ` J ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
35	34	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
36		ssid 3375	. . . . . . . . . . . 12 |- X C_ X
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ X )
38		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
39	38	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k C_ X )
40		dfss1 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k C_ X <-> ( X i^i k ) = k )
41	39, 40	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) = k )
42	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> k C_ X )
43		resttopon 18765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k C_ X ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
44	42, 43	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
45		toponmax 18533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) -> k e. ( J ↾t k ) )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k e. ( J ↾t k ) )
47	41, 46	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
48	47	expr 615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
49	48	ralrimiva 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
50		elkgen 19109	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( X C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
51	37, 49, 50	mpbir2and 913	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. (𝑘Gen ` J ) )
52		elssuni 4121	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (𝑘Gen ` J ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
53	51, 52	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
54	53, 6	eqssd 3373	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
55	54	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
56	35, 55	sseqtr4d 3393	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ X )
57	33, 56	syl5ss 3367	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
58		inindir 3568	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) i^i k ) = ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) )
59	13	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
60		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. (𝑘Gen ` J ) )
61		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
62		kgeni 19110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
63	60, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
64		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
65	64, 61, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
66		inopn 18512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) /\ ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
67	59, 63, 65, 66	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
68	58, 67	syl5eqel 2527	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
69	68	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
70	69	ralrimiva 2799	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
71		elkgen 19109	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
72	71	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
73	57, 70, 72	mpbir2and 913	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
74	73	ralrimivva 2808	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
75		fvex 5701	. . . 4 |- (𝑘Gen ` J ) e. _V
76		istopg 18508	. . . 4 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. _V -> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) )
78	32, 74, 77	sylanbrc 664	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. Top )
79		istopon 18530	. 2 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) <-> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top /\ X = U. (𝑘Gen ` J ) ) )
80	78, 54, 79	sylanbrc 664	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   U_ciun 4171   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ↾_t crest 14359   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   Compccmp 18989  𝑘Genckgen 19106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fi 7661  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-kgen 19107

This theorem is referenced by:  kgenuni  19112  kgenftop  19113  kgenhaus  19117  kgenidm  19120  kgencn  19129  kgencn3  19131  kgen2cn  19132