Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgentopon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem kgentopon 20565
 Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon TopOn 𝑘Gen TopOn

Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4222 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen
2 kgenval 20562 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
3 ssrab2 3516 . . . . . . . . 9 t t
42, 3syl6eqss 3484 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen
5 sspwuni 4370 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen
64, 5sylib 200 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen
71, 6sylan9ssr 3448 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen
8 iunin2 4345 . . . . . . . . . 10
9 uniiun 4334 . . . . . . . . . . 11
109ineq2i 3633 . . . . . . . . . 10
11 incom 3627 . . . . . . . . . 10
128, 10, 113eqtr2i 2481 . . . . . . . . 9
13 cmptop 20422 . . . . . . . . . . 11 t t
1413ad2antll 736 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen t t
15 incom 3627 . . . . . . . . . . . 12
16 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn 𝑘Gen t 𝑘Gen
1716sselda 3434 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn 𝑘Gen t 𝑘Gen
18 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn 𝑘Gen t t
19 kgeni 20564 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘Gen t t
2017, 18, 19syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 TopOn 𝑘Gen t t
2115, 20syl5eqelr 2536 . . . . . . . . . . 11 TopOn 𝑘Gen t t
2221ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen t t
23 iunopn 19940 . . . . . . . . . 10 t t t
2414, 22, 23syl2anc 667 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
2512, 24syl5eqelr 2536 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen t t
2625expr 620 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen t t
2726ralrimiva 2804 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen t t
28 elkgen 20563 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen t t
2928adantr 467 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
307, 27, 29mpbir2and 934 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
3130ex 436 . . . 4 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
3231alrimiv 1775 . . 3 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
33 inss1 3654 . . . . . 6
34 elssuni 4230 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen
3534ad2antrl 735 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
36 ssid 3453 . . . . . . . . . . . 12
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 TopOn
38 elpwi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn t
40 dfss1 3639 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 40sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn t
4238adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
43 resttopon 20189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn t TopOn
4442, 43sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn t t TopOn
45 toponmax 19955 . . . . . . . . . . . . . . 15 t TopOn t
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn t t
4741, 46eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t t
4847expr 620 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t t
4948ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . 11 TopOn t t
50 elkgen 20563 . . . . . . . . . . 11 TopOn 𝑘Gen t t
5137, 49, 50mpbir2and 934 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen
52 elssuni 4230 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen 𝑘Gen
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen
5453, 6eqssd 3451 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen
5554adantr 467 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
5635, 55sseqtr4d 3471 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
5733, 56syl5ss 3445 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
58 inindir 3652 . . . . . . . 8
5913ad2antll 736 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
60 simplrl 771 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t 𝑘Gen
61 simprr 767 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
62 kgeni 20564 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen t t
6360, 61, 62syl2anc 667 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
64 simplrr 772 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t 𝑘Gen
6564, 61, 19syl2anc 667 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
66 inopn 19941 . . . . . . . . 9 t t t t
6759, 63, 65, 66syl3anc 1269 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
6858, 67syl5eqel 2535 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
6968expr 620 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
7069ralrimiva 2804 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
71 elkgen 20563 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen t t
7271adantr 467 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen t t
7357, 70, 72mpbir2and 934 . . . 4 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
7473ralrimivva 2811 . . 3 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
75 fvex 5880 . . . 4 𝑘Gen
76 istopg 19937 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
7775, 76ax-mp 5 . . 3 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
7832, 74, 77sylanbrc 671 . 2 TopOn 𝑘Gen
79 istopon 19952 . 2 𝑘Gen TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
8078, 54, 79sylanbrc 671 1 TopOn 𝑘Gen TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371  wal 1444   wceq 1446   wcel 1889  wral 2739  crab 2743  cvv 3047   cin 3405   wss 3406  cpw 3953  cuni 4201  ciun 4281  cfv 5585  (class class class)co 6295   ↾t crest 15331  ctop 19929  TopOnctopon 19930  ccmp 20413  𝑘Genckgen 20560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-fi 7930  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-kgen 20561 This theorem is referenced by:  kgenuni  20566  kgenftop  20567  kgenhaus  20571  kgenidm  20574  kgencn  20583  kgencn3  20585  kgen2cn  20586
 Copyright terms: Public domain W3C validator