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Theorem kgentopon 20221
Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables  y  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4209 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
2 kgenval 20218 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) } )
3 ssrab2 3521 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) }  C_  ~P X
42, 3syl6eqss 3489 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  ~P X
)
5 sspwuni 4357 . . . . . . . 8  |-  ( (𝑘Gen `  J )  C_  ~P X 
<-> 
U. (𝑘Gen `  J )  C_  X )
64, 5sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. (𝑘Gen `  J )  C_  X
)
71, 6sylan9ssr 3453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  C_  X
)
8 iunin2 4332 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
9 uniiun 4321 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
109ineq2i 3635 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
11 incom 3629 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( U. x  i^i  k )
128, 10, 113eqtr2i 2435 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( U. x  i^i  k
)
13 cmptop 20078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
1413ad2antll 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  k )  e.  Top )
15 incom 3629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  k )  =  ( k  i^i  y
)
16 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )
1716sselda 3439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
18 simplrr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( Jt  k )  e. 
Comp )
19 kgeni 20220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2017, 18, 19syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2115, 20syl5eqelr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2221ralrimiva 2815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
23 iunopn 19589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2414, 22, 23syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
2512, 24syl5eqelr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2625expr 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
2726ralrimiva 2815 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
28 elkgen 20219 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
2928adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
307, 27, 29mpbir2and 921 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )
3130ex 432 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
3231alrimiv 1738 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x
( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
33 inss1 3656 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
34 elssuni 4217 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
3534ad2antrl 726 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
36 ssid 3458 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  C_  X
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  X
)
38 elpwi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
3938ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  C_  X )
40 dfss1 3641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
C_  X  <->  ( X  i^i  k )  =  k )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  =  k )
4238adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_  X )
43 resttopon 19845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
4442, 43sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )
)
45 toponmax 19611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  ->  k  e.  ( Jt  k ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  e.  ( Jt  k ) )
4741, 46eqeltrd 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4847expr 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  ~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( X  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
4948ralrimiva 2815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
50 elkgen 20219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
5137, 49, 50mpbir2and 921 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
52 elssuni 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
5453, 6eqssd 3456 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5554adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5635, 55sseqtr4d 3476 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  X
)
5733, 56syl5ss 3450 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  X
)
58 inindir 3654 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  =  ( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)
5913ad2antll 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
60 simplrl 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )
61 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Comp )
62 kgeni 20220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
6360, 61, 62syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
64 simplrr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
6564, 61, 19syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
66 inopn 19590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  /\  (
y  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  ->  ( ( x  i^i  k )  i^i  ( y  i^i  k
) )  e.  ( Jt  k ) )
6759, 63, 65, 66syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)  e.  ( Jt  k ) )
6858, 67syl5eqel 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
6968expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  k  e. 
~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
7069ralrimiva 2815 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
71 elkgen 20219 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7271adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7357, 70, 72mpbir2and 921 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
7473ralrimivva 2822 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
75 fvex 5813 . . . 4  |-  (𝑘Gen `  J
)  e.  _V
76 istopg 19586 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  _V  ->  ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top 
<->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen `  J
)  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . 3  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen
`  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J
) A. y  e.  (𝑘Gen `  J ) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
7832, 74, 77sylanbrc 662 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  Top )
79 istopon 19608 . 2  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  <->  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  /\  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
8078, 54, 79sylanbrc 662 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1401    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   {crab 2755   _Vcvv 3056    i^i cin 3410    C_ wss 3411   ~Pcpw 3952   U.cuni 4188   U_ciun 4268   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   ↾t crest 14925   Topctop 19576  TopOnctopon 19577   Compccmp 20069  𝑘Genckgen 20216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-fin 7476  df-fi 7823  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cmp 20070  df-kgen 20217
This theorem is referenced by:  kgenuni  20222  kgenftop  20223  kgenhaus  20227  kgenidm  20230  kgencn  20239  kgencn3  20241  kgen2cn  20242
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