Theorem kgentopon 19011

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentopon	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem kgentopon

Dummy variables y x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4109	. . . . . . 7 |- ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
2		kgenval 19008	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) = { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } )
3		ssrab2 3434	. . . . . . . . 9 |- { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } C_ ~P X
4	2, 3	syl6eqss 3403	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X )
5		sspwuni 4253	. . . . . . . 8 |- ( (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X <-> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
6	4, 5	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
7	1, 6	sylan9ssr 3367	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x C_ X )
8		iunin2 4231	. . . . . . . . . 10 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( k i^i U_ y e. x y )
9		uniiun 4220	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U_ y e. x y
10	9	ineq2i 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( k i^i U_ y e. x y )
11		incom 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( U. x i^i k )
12	8, 10, 11	3eqtr2i 2467	. . . . . . . . 9 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( U. x i^i k )
13		cmptop 18898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( J ↾t k ) e. Top )
14	13	ad2antll 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
15		incom 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i k ) = ( k i^i y )
16		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x C_ (𝑘Gen ` J ) )
17	16	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
18		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
19		kgeni 19010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
21	15, 20	syl5eqelr 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
22	21	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
23		iunopn 18411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
24	14, 22, 23	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
25	12, 24	syl5eqelr 2526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
26	25	expr 612	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
27	26	ralrimiva 2797	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
28		elkgen 19009	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
29	28	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
30	7, 27, 29	mpbir2and 908	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) )
31	30	ex 434	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
32	31	alrimiv 1690	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
33		inss1 3567	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
34		elssuni 4118	. . . . . . . 8 |- ( x e. (𝑘Gen ` J ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
35	34	ad2antrl 722	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
36		ssid 3372	. . . . . . . . . . . 12 |- X C_ X
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ X )
38		elpwi 3866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
39	38	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k C_ X )
40		dfss1 3552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k C_ X <-> ( X i^i k ) = k )
41	39, 40	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) = k )
42	38	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> k C_ X )
43		resttopon 18665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k C_ X ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
44	42, 43	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
45		toponmax 18433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) -> k e. ( J ↾t k ) )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k e. ( J ↾t k ) )
47	41, 46	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
48	47	expr 612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
49	48	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
50		elkgen 19009	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( X C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
51	37, 49, 50	mpbir2and 908	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. (𝑘Gen ` J ) )
52		elssuni 4118	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (𝑘Gen ` J ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
53	51, 52	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
54	53, 6	eqssd 3370	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
55	54	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
56	35, 55	sseqtr4d 3390	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ X )
57	33, 56	syl5ss 3364	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
58		inindir 3565	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) i^i k ) = ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) )
59	13	ad2antll 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
60		simplrl 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. (𝑘Gen ` J ) )
61		simprr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
62		kgeni 19010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
63	60, 61, 62	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
64		simplrr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
65	64, 61, 19	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
66		inopn 18412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) /\ ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
67	59, 63, 65, 66	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
68	58, 67	syl5eqel 2525	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
69	68	expr 612	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
70	69	ralrimiva 2797	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
71		elkgen 19009	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
72	71	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
73	57, 70, 72	mpbir2and 908	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
74	73	ralrimivva 2806	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
75		fvex 5698	. . . 4 |- (𝑘Gen ` J ) e. _V
76		istopg 18408	. . . 4 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. _V -> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) )
78	32, 74, 77	sylanbrc 659	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. Top )
79		istopon 18430	. 2 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) <-> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top /\ X = U. (𝑘Gen ` J ) ) )
80	78, 54, 79	sylanbrc 659	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   U_ciun 4168   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾_t crest 14355   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   Compccmp 18889  𝑘Genckgen 19006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890  df-kgen 19007

This theorem is referenced by:  kgenuni  19012  kgenftop  19013  kgenhaus  19017  kgenidm  19020  kgencn  19029  kgencn3  19031  kgen2cn  19032