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Theorem kgentopon 19111
Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables  y  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4112 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
2 kgenval 19108 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) } )
3 ssrab2 3437 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) }  C_  ~P X
42, 3syl6eqss 3406 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  ~P X
)
5 sspwuni 4256 . . . . . . . 8  |-  ( (𝑘Gen `  J )  C_  ~P X 
<-> 
U. (𝑘Gen `  J )  C_  X )
64, 5sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. (𝑘Gen `  J )  C_  X
)
71, 6sylan9ssr 3370 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  C_  X
)
8 iunin2 4234 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
9 uniiun 4223 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
109ineq2i 3549 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
11 incom 3543 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( U. x  i^i  k )
128, 10, 113eqtr2i 2469 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( U. x  i^i  k
)
13 cmptop 18998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
1413ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  k )  e.  Top )
15 incom 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  k )  =  ( k  i^i  y
)
16 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )
1716sselda 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
18 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( Jt  k )  e. 
Comp )
19 kgeni 19110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2115, 20syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2221ralrimiva 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
23 iunopn 18511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2414, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
2512, 24syl5eqelr 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2625expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
2726ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
28 elkgen 19109 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
307, 27, 29mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )
3130ex 434 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
3231alrimiv 1685 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x
( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
33 inss1 3570 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
34 elssuni 4121 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
3534ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
36 ssid 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  C_  X
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  X
)
38 elpwi 3869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  C_  X )
40 dfss1 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
C_  X  <->  ( X  i^i  k )  =  k )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  =  k )
4238adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_  X )
43 resttopon 18765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
4442, 43sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )
)
45 toponmax 18533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  ->  k  e.  ( Jt  k ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  e.  ( Jt  k ) )
4741, 46eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4847expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  ~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( X  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
4948ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
50 elkgen 19109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
5137, 49, 50mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
52 elssuni 4121 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
5453, 6eqssd 3373 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5635, 55sseqtr4d 3393 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  X
)
5733, 56syl5ss 3367 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  X
)
58 inindir 3568 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  =  ( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)
5913ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
60 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )
61 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Comp )
62 kgeni 19110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
64 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
6564, 61, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
66 inopn 18512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  /\  (
y  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  ->  ( ( x  i^i  k )  i^i  ( y  i^i  k
) )  e.  ( Jt  k ) )
6759, 63, 65, 66syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)  e.  ( Jt  k ) )
6858, 67syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
6968expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  k  e. 
~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
7069ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
71 elkgen 19109 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7271adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7357, 70, 72mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
7473ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
75 fvex 5701 . . . 4  |-  (𝑘Gen `  J
)  e.  _V
76 istopg 18508 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  _V  ->  ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top 
<->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen `  J
)  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . 3  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen
`  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J
) A. y  e.  (𝑘Gen `  J ) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
7832, 74, 77sylanbrc 664 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  Top )
79 istopon 18530 . 2  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  <->  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  /\  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
8078, 54, 79sylanbrc 664 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   U_ciun 4171   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ↾t crest 14359   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   Compccmp 18989  𝑘Genckgen 19106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fi 7661  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-kgen 19107
This theorem is referenced by:  kgenuni  19112  kgenftop  19113  kgenhaus  19117  kgenidm  19120  kgencn  19129  kgencn3  19131  kgen2cn  19132
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