Theorem kgentopon 20221

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentopon	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem kgentopon

Dummy variables y x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4209	. . . . . . 7 |- ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
2		kgenval 20218	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) = { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } )
3		ssrab2 3521	. . . . . . . . 9 |- { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } C_ ~P X
4	2, 3	syl6eqss 3489	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X )
5		sspwuni 4357	. . . . . . . 8 |- ( (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X <-> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
6	4, 5	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
7	1, 6	sylan9ssr 3453	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x C_ X )
8		iunin2 4332	. . . . . . . . . 10 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( k i^i U_ y e. x y )
9		uniiun 4321	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U_ y e. x y
10	9	ineq2i 3635	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( k i^i U_ y e. x y )
11		incom 3629	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( U. x i^i k )
12	8, 10, 11	3eqtr2i 2435	. . . . . . . . 9 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( U. x i^i k )
13		cmptop 20078	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( J ↾t k ) e. Top )
14	13	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
15		incom 3629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i k ) = ( k i^i y )
16		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x C_ (𝑘Gen ` J ) )
17	16	sselda 3439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
18		simplrr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
19		kgeni 20220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
21	15, 20	syl5eqelr 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
22	21	ralrimiva 2815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
23		iunopn 19589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
24	14, 22, 23	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
25	12, 24	syl5eqelr 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
26	25	expr 613	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
27	26	ralrimiva 2815	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
28		elkgen 20219	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
29	28	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
30	7, 27, 29	mpbir2and 921	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) )
31	30	ex 432	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
32	31	alrimiv 1738	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
33		inss1 3656	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
34		elssuni 4217	. . . . . . . 8 |- ( x e. (𝑘Gen ` J ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
35	34	ad2antrl 726	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
36		ssid 3458	. . . . . . . . . . . 12 |- X C_ X
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ X )
38		elpwi 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
39	38	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k C_ X )
40		dfss1 3641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k C_ X <-> ( X i^i k ) = k )
41	39, 40	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) = k )
42	38	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> k C_ X )
43		resttopon 19845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k C_ X ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
44	42, 43	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
45		toponmax 19611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) -> k e. ( J ↾t k ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k e. ( J ↾t k ) )
47	41, 46	eqeltrd 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
48	47	expr 613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
49	48	ralrimiva 2815	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
50		elkgen 20219	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( X C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
51	37, 49, 50	mpbir2and 921	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. (𝑘Gen ` J ) )
52		elssuni 4217	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (𝑘Gen ` J ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
54	53, 6	eqssd 3456	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
55	54	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
56	35, 55	sseqtr4d 3476	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ X )
57	33, 56	syl5ss 3450	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
58		inindir 3654	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) i^i k ) = ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) )
59	13	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
60		simplrl 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. (𝑘Gen ` J ) )
61		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
62		kgeni 20220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
63	60, 61, 62	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
64		simplrr 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
65	64, 61, 19	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
66		inopn 19590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) /\ ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
67	59, 63, 65, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
68	58, 67	syl5eqel 2492	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
69	68	expr 613	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
70	69	ralrimiva 2815	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
71		elkgen 20219	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
72	71	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
73	57, 70, 72	mpbir2and 921	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
74	73	ralrimivva 2822	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
75		fvex 5813	. . . 4 |- (𝑘Gen ` J ) e. _V
76		istopg 19586	. . . 4 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. _V -> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) )
78	32, 74, 77	sylanbrc 662	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. Top )
79		istopon 19608	. 2 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) <-> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top /\ X = U. (𝑘Gen ` J ) ) )
80	78, 54, 79	sylanbrc 662	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1401   = wceq 1403   e. wcel 1840   A.wral 2751   {crab 2755   _Vcvv 3056   i^i cin 3410   C_ wss 3411   ~Pcpw 3952   U.cuni 4188   U_ciun 4268   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   ↾_t crest 14925   Topctop 19576  TopOnctopon 19577   Compccmp 20069  𝑘Genckgen 20216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-fin 7476  df-fi 7823  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cmp 20070  df-kgen 20217

This theorem is referenced by:  kgenuni  20222  kgenftop  20223  kgenhaus  20227  kgenidm  20230  kgencn  20239  kgencn3  20241  kgen2cn  20242