Theorem kgentopon 20630

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentopon	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem kgentopon

Dummy variables y x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4211	. . . . . . 7 |- ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
2		kgenval 20627	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) = { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } )
3		ssrab2 3500	. . . . . . . . 9 |- { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } C_ ~P X
4	2, 3	syl6eqss 3468	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X )
5		sspwuni 4360	. . . . . . . 8 |- ( (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X <-> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
6	4, 5	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
7	1, 6	sylan9ssr 3432	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x C_ X )
8		iunin2 4333	. . . . . . . . . 10 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( k i^i U_ y e. x y )
9		uniiun 4322	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U_ y e. x y
10	9	ineq2i 3622	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( k i^i U_ y e. x y )
11		incom 3616	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( U. x i^i k )
12	8, 10, 11	3eqtr2i 2499	. . . . . . . . 9 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( U. x i^i k )
13		cmptop 20487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( J ↾t k ) e. Top )
14	13	ad2antll 743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
15		incom 3616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i k ) = ( k i^i y )
16		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x C_ (𝑘Gen ` J ) )
17	16	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
18		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
19		kgeni 20629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
21	15, 20	syl5eqelr 2554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
22	21	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
23		iunopn 20005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
24	14, 22, 23	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
25	12, 24	syl5eqelr 2554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
26	25	expr 626	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
27	26	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
28		elkgen 20628	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
29	28	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
30	7, 27, 29	mpbir2and 936	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) )
31	30	ex 441	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
32	31	alrimiv 1781	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
33		inss1 3643	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
34		elssuni 4219	. . . . . . . 8 |- ( x e. (𝑘Gen ` J ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
35	34	ad2antrl 742	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
36		ssid 3437	. . . . . . . . . . . 12 |- X C_ X
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ X )
38		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
39	38	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k C_ X )
40		dfss1 3628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k C_ X <-> ( X i^i k ) = k )
41	39, 40	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) = k )
42	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> k C_ X )
43		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k C_ X ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
44	42, 43	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
45		toponmax 20020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) -> k e. ( J ↾t k ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k e. ( J ↾t k ) )
47	41, 46	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
48	47	expr 626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
49	48	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
50		elkgen 20628	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( X C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
51	37, 49, 50	mpbir2and 936	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. (𝑘Gen ` J ) )
52		elssuni 4219	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (𝑘Gen ` J ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
54	53, 6	eqssd 3435	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
55	54	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
56	35, 55	sseqtr4d 3455	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ X )
57	33, 56	syl5ss 3429	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
58		inindir 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) i^i k ) = ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) )
59	13	ad2antll 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
60		simplrl 778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. (𝑘Gen ` J ) )
61		simprr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
62		kgeni 20629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
63	60, 61, 62	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
64		simplrr 779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
65	64, 61, 19	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
66		inopn 20006	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) /\ ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
67	59, 63, 65, 66	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
68	58, 67	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
69	68	expr 626	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
70	69	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
71		elkgen 20628	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
72	71	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
73	57, 70, 72	mpbir2and 936	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
74	73	ralrimivva 2814	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
75		fvex 5889	. . . 4 |- (𝑘Gen ` J ) e. _V
76		istopg 20002	. . . 4 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. _V -> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) )
78	32, 74, 77	sylanbrc 677	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. Top )
79		istopon 20017	. 2 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) <-> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top /\ X = U. (𝑘Gen ` J ) ) )
80	78, 54, 79	sylanbrc 677	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Compccmp 20478  𝑘Genckgen 20625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-kgen 20626

This theorem is referenced by:  kgenuni  20631  kgenftop  20632  kgenhaus  20636  kgenidm  20639  kgencn  20648  kgencn3  20650  kgen2cn  20651