Theorem kgentopon 19866

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentopon	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem kgentopon

Dummy variables y x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4266	. . . . . . 7 |- ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
2		kgenval 19863	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) = { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } )
3		ssrab2 3585	. . . . . . . . 9 |- { x e. ~P X | A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) } C_ ~P X
4	2, 3	syl6eqss 3554	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X )
5		sspwuni 4411	. . . . . . . 8 |- ( (𝑘Gen ` J ) C_ ~P X <-> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
6	4, 5	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. (𝑘Gen ` J ) C_ X )
7	1, 6	sylan9ssr 3518	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x C_ X )
8		iunin2 4389	. . . . . . . . . 10 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( k i^i U_ y e. x y )
9		uniiun 4378	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U_ y e. x y
10	9	ineq2i 3697	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( k i^i U_ y e. x y )
11		incom 3691	. . . . . . . . . 10 |- ( k i^i U. x ) = ( U. x i^i k )
12	8, 10, 11	3eqtr2i 2502	. . . . . . . . 9 |- U_ y e. x ( k i^i y ) = ( U. x i^i k )
13		cmptop 19701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( J ↾t k ) e. Top )
14	13	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
15		incom 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i k ) = ( k i^i y )
16		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x C_ (𝑘Gen ` J ) )
17	16	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
18		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
19		kgeni 19865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
21	15, 20	syl5eqelr 2560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) /\ y e. x ) -> ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
22	21	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
23		iunopn 19214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ A. y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
24	14, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> U_ y e. x ( k i^i y ) e. ( J ↾t k ) )
25	12, 24	syl5eqelr 2560	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
26	25	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
27	26	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
28		elkgen 19864	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
29	28	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> ( U. x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( U. x C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( U. x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
30	7, 27, 29	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x C_ (𝑘Gen ` J ) ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) )
31	30	ex 434	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
32	31	alrimiv 1695	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
33		inss1 3718	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
34		elssuni 4275	. . . . . . . 8 |- ( x e. (𝑘Gen ` J ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
35	34	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
36		ssid 3523	. . . . . . . . . . . 12 |- X C_ X
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ X )
38		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
39	38	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k C_ X )
40		dfss1 3703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k C_ X <-> ( X i^i k ) = k )
41	39, 40	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) = k )
42	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> k C_ X )
43		resttopon 19468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k C_ X ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
44	42, 43	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
45		toponmax 19236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) -> k e. ( J ↾t k ) )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k e. ( J ↾t k ) )
47	41, 46	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
48	47	expr 615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
49	48	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
50		elkgen 19864	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( X C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( X i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
51	37, 49, 50	mpbir2and 920	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. (𝑘Gen ` J ) )
52		elssuni 4275	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (𝑘Gen ` J ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
53	51, 52	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
54	53, 6	eqssd 3521	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
55	54	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
56	35, 55	sseqtr4d 3541	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> x C_ X )
57	33, 56	syl5ss 3515	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
58		inindir 3716	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) i^i k ) = ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) )
59	13	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
60		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. (𝑘Gen ` J ) )
61		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
62		kgeni 19865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
63	60, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
64		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> y e. (𝑘Gen ` J ) )
65	64, 61, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
66		inopn 19215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) /\ ( y i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
67	59, 63, 65, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i k ) i^i ( y i^i k ) ) e. ( J ↾t k ) )
68	58, 67	syl5eqel 2559	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ ( k e. ~P X /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
69	68	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
70	69	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
71		elkgen 19864	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
72	71	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( x i^i y ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
73	57, 70, 72	mpbir2and 920	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ y e. (𝑘Gen ` J ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
74	73	ralrimivva 2885	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) )
75		fvex 5876	. . . 4 |- (𝑘Gen ` J ) e. _V
76		istopg 19211	. . . 4 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. _V -> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (𝑘Gen ` J ) -> U. x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ A. x e. (𝑘Gen ` J ) A. y e. (𝑘Gen ` J ) ( x i^i y ) e. (𝑘Gen ` J ) ) )
78	32, 74, 77	sylanbrc 664	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. Top )
79		istopon 19233	. 2 |- ( (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) <-> ( (𝑘Gen ` J ) e. Top /\ X = U. (𝑘Gen ` J ) ) )
80	78, 54, 79	sylanbrc 664	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ↾_t crest 14679   Topctop 19201  TopOnctopon 19202   Compccmp 19692  𝑘Genckgen 19861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fi 7872  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cmp 19693  df-kgen 19862

This theorem is referenced by:  kgenuni  19867  kgenftop  19868  kgenhaus  19872  kgenidm  19875  kgencn  19884  kgencn3  19886  kgen2cn  19887