MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem kgenss 20635
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4219 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  C_  U. J ) )
3 elrestr 15405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
433expa 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
54an32s 821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
65a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
76ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
87ex 441 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
92, 8jcad 542 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
10 eqid 2471 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 20025 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
12 elkgen 20628 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
1311, 12sylbi 200 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
149, 13sylibrd 242 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) ) )
1514ssrdv 3424 1  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    e. wcel 1904   A.wral 2756    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Compccmp 20478  𝑘Genckgen 20625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rest 15399  df-top 19998  df-topon 20000  df-kgen 20626
This theorem is referenced by:  kgenhaus  20636  kgencmp  20637  kgencmp2  20638  kgenidm  20639  iskgen2  20640  kgencn3  20650  kgen2cn  20651
  Copyright terms: Public domain W3C validator