Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgeni Structured version   Unicode version

Theorem kgeni 20015
 Description: Property of the open sets in the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgeni 𝑘Gen t t

Proof of Theorem kgeni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3693 . . . . 5
2 in32 3695 . . . . 5
31, 2eqtr3i 2474 . . . 4
4 df-kgen 20012 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen t t
54dmmptss 5493 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen
6 elfvdm 5882 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen 𝑘Gen
75, 6sseldi 3487 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen
87adantr 465 . . . . . . . . 9 𝑘Gen t
9 eqid 2443 . . . . . . . . . 10
109toptopon 19411 . . . . . . . . 9 TopOn
118, 10sylib 196 . . . . . . . 8 𝑘Gen t TopOn
12 simpl 457 . . . . . . . 8 𝑘Gen t 𝑘Gen
13 elkgen 20014 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
1413biimpa 484 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen t t
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . 7 𝑘Gen t t t
1615simpld 459 . . . . . 6 𝑘Gen t
17 df-ss 3475 . . . . . 6
1816, 17sylib 196 . . . . 5 𝑘Gen t
1918ineq1d 3684 . . . 4 𝑘Gen t
203, 19syl5eq 2496 . . 3 𝑘Gen t
21 inss2 3704 . . . . 5
22 cmptop 19872 . . . . . . . 8 t t
2322adantl 466 . . . . . . 7 𝑘Gen t t
24 restrcl 19635 . . . . . . . 8 t
2524simprd 463 . . . . . . 7 t
2623, 25syl 16 . . . . . 6 𝑘Gen t
27 inex1g 4580 . . . . . 6
28 elpwg 4005 . . . . . 6
2926, 27, 283syl 20 . . . . 5 𝑘Gen t
3021, 29mpbiri 233 . . . 4 𝑘Gen t
3115simprd 463 . . . 4 𝑘Gen t t t
329restin 19644 . . . . . 6 t t
338, 26, 32syl2anc 661 . . . . 5 𝑘Gen t t t
34 simpr 461 . . . . 5 𝑘Gen t t
3533, 34eqeltrrd 2532 . . . 4 𝑘Gen t t
36 oveq2 6289 . . . . . . 7 t t
3736eleq1d 2512 . . . . . 6 t t
38 ineq2 3679 . . . . . . 7
3938, 36eleq12d 2525 . . . . . 6 t t
4037, 39imbi12d 320 . . . . 5 t t t t
4140rspcv 3192 . . . 4 t t t t
4230, 31, 35, 41syl3c 61 . . 3 𝑘Gen t t
4320, 42eqeltrrd 2532 . 2 𝑘Gen t t
4443, 33eleqtrrd 2534 1 𝑘Gen t t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  crab 2797  cvv 3095   cin 3460   wss 3461  cpw 3997  cuni 4234   cdm 4989  cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾t crest 14799  ctop 19371  TopOnctopon 19372  ccmp 19863  𝑘Genckgen 20011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-rest 14801  df-top 19376  df-topon 19379  df-cmp 19864  df-kgen 20012 This theorem is referenced by:  kgentopon  20016  kgencmp  20023  kgenidm  20025  llycmpkgen2  20028  1stckgen  20032  kgencn3  20036  txkgen  20130
 Copyright terms: Public domain W3C validator