MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgeni Structured version   Unicode version

Theorem kgeni 20015
Description: Property of the open sets in the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgeni  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  K ) )

Proof of Theorem kgeni
Dummy variables  y  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3693 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  K )  i^i  U. J )  =  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J
) )
2 in32 3695 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  K )  i^i  U. J )  =  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K )
31, 2eqtr3i 2474 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  =  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K
)
4 df-kgen 20012 . . . . . . . . . . . 12  |- 𝑘Gen  =  (
j  e.  Top  |->  { x  e.  ~P U. j  |  A. y  e.  ~P  U. j ( ( jt  y )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( jt  y ) ) } )
54dmmptss 5493 . . . . . . . . . . 11  |-  dom 𝑘Gen  C_  Top
6 elfvdm 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  J  e.  dom 𝑘Gen )
75, 6sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  J  e.  Top )
87adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  J  e.  Top )
9 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
109toptopon 19411 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
118, 10sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
12 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A  e.  (𝑘Gen `  J
) )
13 elkgen 20014 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
1413biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  A  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) )
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) )
1615simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A  C_  U. J )
17 df-ss 3475 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( A  i^i  U. J )  =  A )
1816, 17sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  A )
1918ineq1d 3684 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K
)  =  ( A  i^i  K ) )
203, 19syl5eq 2496 . . 3  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  =  ( A  i^i  K ) )
21 inss2 3704 . . . . 5  |-  ( K  i^i  U. J ) 
C_  U. J
22 cmptop 19872 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  K )  e.  Comp  -> 
( Jt  K )  e.  Top )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
24 restrcl 19635 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  K  e.  _V )
)
2524simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
2623, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  K  e.  _V )
27 inex1g 4580 . . . . . 6  |-  ( K  e.  _V  ->  ( K  i^i  U. J )  e.  _V )
28 elpwg 4005 . . . . . 6  |-  ( ( K  i^i  U. J
)  e.  _V  ->  ( ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J  <->  ( K  i^i  U. J )  C_  U. J
) )
2926, 27, 283syl 20 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J  <->  ( K  i^i  U. J )  C_  U. J
) )
3021, 29mpbiri 233 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J )
3115simprd 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) )
329restin 19644 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
338, 26, 32syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
34 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
3533, 34eqeltrrd 2532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e. 
Comp )
36 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  ( Jt  y )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
3736eleq1d 2512 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( Jt  y )  e. 
Comp 
<->  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e. 
Comp ) )
38 ineq2 3679 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  ( A  i^i  y )  =  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) ) )
3938, 36eleq12d 2525 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( A  i^i  y
)  e.  ( Jt  y )  <->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J
) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) ) )
4037, 39imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) )  <-> 
( ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) ) ) )
4140rspcv 3192 . . . 4  |-  ( ( K  i^i  U. J
)  e.  ~P U. J  ->  ( A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) )  -> 
( ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) ) ) )
4230, 31, 35, 41syl3c 61 . . 3  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) )
4320, 42eqeltrrd 2532 . 2  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) )
4443, 33eleqtrrd 2534 1  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾t crest 14799   Topctop 19371  TopOnctopon 19372   Compccmp 19863  𝑘Genckgen 20011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-rest 14801  df-top 19376  df-topon 19379  df-cmp 19864  df-kgen 20012
This theorem is referenced by:  kgentopon  20016  kgencmp  20023  kgenidm  20025  llycmpkgen2  20028  1stckgen  20032  kgencn3  20036  txkgen  20130
  Copyright terms: Public domain W3C validator