MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenf Structured version   Unicode version

Theorem kgenf 19915
Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenf  |- 𝑘Gen : Top --> Top

Proof of Theorem kgenf
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3098 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
21uniex 6581 . . . . . 6  |-  U. j  e.  _V
32pwex 4620 . . . . 5  |-  ~P U. j  e.  _V
43rabex 4588 . . . 4  |-  { x  e.  ~P U. j  | 
A. k  e.  ~P  U. j ( ( jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) }  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( T.  /\  j  e. 
Top )  ->  { x  e.  ~P U. j  | 
A. k  e.  ~P  U. j ( ( jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) }  e.  _V )
6 df-kgen 19908 . . . 4  |- 𝑘Gen  =  (
j  e.  Top  |->  { x  e.  ~P U. j  |  A. k  e.  ~P  U. j ( ( jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) } )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
-> 𝑘Gen 
=  ( j  e. 
Top  |->  { x  e. 
~P U. j  |  A. k  e.  ~P  U. j
( ( jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) } ) )
8 kgenftop 19914 . . . 4  |-  ( x  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  x )  e.  Top )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  x )  e.  Top )
105, 7, 9fmpt2d 6046 . 2  |-  ( T. 
-> 𝑘Gen
: Top --> Top )
1110trud 1392 1  |- 𝑘Gen : Top --> Top
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383   T. wtru 1384    e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095    i^i cin 3460   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾t crest 14695   Topctop 19267   Compccmp 19759  𝑘Genckgen 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-cmp 19760  df-kgen 19908
This theorem is referenced by:  kgentop  19916  kgenidm  19921  iskgen2  19922  kgen2cn  19933
  Copyright terms: Public domain W3C validator