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Theorem kgencn3 20566
Description: The set of continuous functions from  J to  K is unaffected by k-ification of  K, if  J is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )

Proof of Theorem kgencn3
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnf 20255 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  f : U. J --> U. K
)
43adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f : U. J
--> U. K )
5 cnvimass 5187 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x ) 
C_  dom  f
6 fdm 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
74, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
87adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
95, 8syl5sseq 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  C_  U. J )
10 cnvresima 5323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( f  |`  y
) " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  i^i  y )
114ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f : U. J --> U. K
)
12 ffun 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  Fun  f )
13 inpreima 6005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  f  ->  ( `' f " ( x  i^i  ( f " y
) ) )  =  ( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) ) )
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' f " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) ) )
1514ineq1d 3632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
) )
16 in32 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )
17 ssrin 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' f " x
)  C_  dom  f  -> 
( ( `' f
" x )  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y
) )
185, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y )
19 dminss 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  f  i^i  y ) 
C_  ( `' f
" ( f "
y ) )
2018, 19sstri 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( `' f "
( f " y
) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) ) )
22 df-ss 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) )  <->  ( (
( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " x )  i^i  y ) )
2321, 22sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  y )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2416, 23syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) )  i^i  y )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2515, 24eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
2610, 25syl5eq 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
27 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2827ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
29 elpwi 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P U. J  ->  y  C_  U. J )
3029ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  y  C_ 
U. J )
311cnrest 20294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  C_  U. J )  ->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
3228, 30, 31syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
33 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
3433ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  Top )
352toptopon 19941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3634, 35sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
37 df-ima 4846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" y )  =  ran  ( f  |`  y )
3837eqimss2i 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
f  |`  y )  C_  ( f " y
)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y ) )
40 imassrn 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" y )  C_  ran  f
41 frn 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  ran  f  C_  U. K
)
4211, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  f  C_  U. K )
4340, 42syl5ss 3442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f " y ) 
C_  U. K )
44 cnrest2 20295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y )  /\  ( f " y
)  C_  U. K )  ->  ( ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K )  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4536, 39, 43, 44syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K
)  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4632, 45mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f
" y ) ) ) )
47 simplr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )
48 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  y )  e.  Comp )
49 imacmp 20405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  y )  e. 
Comp )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
5028, 48, 49syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
51 kgeni 20545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  K
)  /\  ( Kt  (
f " y ) )  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )
5247, 50, 51syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
x  i^i  ( f " y ) )  e.  ( Kt  ( f
" y ) ) )
53 cnima 20274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f " y
) ) )  /\  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5446, 52, 53syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5526, 54eqeltrrd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) )
5655expr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  y  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( ( `' f " x )  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) )
5756ralrimiva 2801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) )
58 kgentop 20550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
5958ad3antrrr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  Top )
601toptopon 19941 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6159, 60sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
62 elkgen 20544 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
( `' f "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( ( `' f " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
649, 57, 63mpbir2and 932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
65 kgenidm 20555 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
6665ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
6764, 66eleqtrd 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  J )
6867ralrimiva 2801 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J )
6958, 60sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 kgentopon 20546 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
7135, 70sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
72 iscn 20244 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
7369, 71, 72syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <-> 
( f : U. J
--> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K
) ( `' f
" x )  e.  J ) ) )
7473adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
754, 68, 74mpbir2and 932 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K
) ) )
7675ex 436 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  -> 
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) ) )
7776ssrdv 3437 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
7871adantl 468 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
79 toponcom 19938 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
8033, 78, 79syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
81 kgenss 20551 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
8281adantl 468 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
83 eqid 2450 . . . 4  |-  U. (𝑘Gen `  K )  =  U. (𝑘Gen
`  K )
8483cnss2 20286 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K ) )  /\  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )  -> 
( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  C_  ( J  Cn  K
) )
8580, 82, 84syl2anc 666 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) 
C_  ( J  Cn  K ) )
8677, 85eqssd 3448 1  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835   "cima 4836   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ↾t crest 15312   Topctop 19910  TopOnctopon 19911    Cn ccn 20233   Compccmp 20394  𝑘Genckgen 20541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cn 20236  df-cmp 20395  df-kgen 20542
This theorem is referenced by:  kgen2cn  20567  txkgen  20660  qtopkgen  20718
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