Theorem kgencn2 20227

Description: A function F : J --> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces z and continuous g : z --> J, the composite F o. g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencn2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, g, F   g, J, z   g, K, z   g, X, z   g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencn 20226	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )
2		rncmp 20066	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
3	2	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
4		simprr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn J ) )
5		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- U. z = U. z
6		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
7	5, 6	cnf 19917	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( z Cn J ) -> g : U. z --> U. J )
8		frn 5719	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : U. z --> U. J -> ran g C_ U. J )
9	4, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ U. J )
10		toponuni 19598	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
11	10	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> X = U. J )
12	9, 11	sseqtr4d 3526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ X )
13		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
14	13	rnex 6707	. . . . . . . . . 10 |- ran g e. _V
15	14	elpw 4005	. . . . . . . . 9 |- ( ran g e. ~P X <-> ran g C_ X )
16	12, 15	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g e. ~P X )
17		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t ran g ) )
18	17	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) e. Comp <-> ( J ↾t ran g ) e. Comp ) )
19		reseq2 5257	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( F |` k ) = ( F |` ran g ) )
20	17	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) Cn K ) = ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) )
21	19, 20	eleq12d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
22	18, 21	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( k = ran g -> ( ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
23	22	rspcv 3203	. . . . . . . 8 |- ( ran g e. ~P X -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
24	16, 23	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
25	3, 24	mpid 41	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
26		simplll 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		ssid 3508	. . . . . . . . . . 11 |- ran g C_ ran g
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ ran g )
29		cnrest2 19957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran g C_ ran g /\ ran g C_ X ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
30	26, 28, 12, 29	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
31	4, 30	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) )
32		cnco 19937	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) /\ ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) )
33	32	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
34	31, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
35		cores 5493	. . . . . . . . 9 |- ( ran g C_ ran g -> ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g ) )
36	27, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g )
37	36	eleq1i 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) )
38	34, 37	syl6ib 226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
39	25, 38	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
40	39	ralrimdvva 2878	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
41		oveq1 6277	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn J ) = ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
42		oveq1 6277	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn K ) = ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
43	42	eleq2d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
44	41, 43	raleqbidv 3065	. . . . . . . 8 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
45	44	rspcv 3203	. . . . . . 7 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
46		elpwi 4008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
47	46	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ X )
48	47	resabs1d 5291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) = ( _I |` k ) )
49		idcn 19928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
50	49	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
51	10	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> X = U. J )
52	47, 51	sseqtrd 3525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ U. J )
53	6	cnrest 19956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) /\ k C_ U. J ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
55	48, 54	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
56		coeq2 5150	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( _I |` k ) ) )
57	56	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
58	57	rspcv 3203	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
59	55, 58	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
60		coires1 5508	. . . . . . . . 9 |- ( F o. ( _I |` k ) ) = ( F |` k )
61	60	eleq1i 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
62	59, 61	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
63	45, 62	syl9r 72	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
64	63	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
65	64	ralrimdva 2872	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
66	40, 65	impbid 191	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
67	66	pm5.32da 639	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )
68	1, 67	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   _I cid 4779   ran crn 4989   |` cres 4990   o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾_t crest 14913  TopOnctopon 19565   Cn ccn 19895   Compccmp 20056  𝑘Genckgen 20203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cn 19898  df-cmp 20057  df-kgen 20204

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