Theorem kgencn2 20649

Description: A function F : J --> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces z and continuous g : z --> J, the composite F o. g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencn2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, g, F   g, J, z   g, K, z   g, X, z   g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencn 20648	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )
2		rncmp 20488	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
3	2	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
4		simprr 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn J ) )
5		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- U. z = U. z
6		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
7	5, 6	cnf 20339	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( z Cn J ) -> g : U. z --> U. J )
8		frn 5747	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : U. z --> U. J -> ran g C_ U. J )
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ U. J )
10		toponuni 20019	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
11	10	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> X = U. J )
12	9, 11	sseqtr4d 3455	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ X )
13		vex 3034	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
14	13	rnex 6746	. . . . . . . . . 10 |- ran g e. _V
15	14	elpw 3948	. . . . . . . . 9 |- ( ran g e. ~P X <-> ran g C_ X )
16	12, 15	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g e. ~P X )
17		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t ran g ) )
18	17	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) e. Comp <-> ( J ↾t ran g ) e. Comp ) )
19		reseq2 5106	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( F |` k ) = ( F |` ran g ) )
20	17	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) Cn K ) = ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) )
21	19, 20	eleq12d 2543	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
22	18, 21	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( k = ran g -> ( ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
23	22	rspcv 3132	. . . . . . . 8 |- ( ran g e. ~P X -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
24	16, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
25	3, 24	mpid 41	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
26		simplll 776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		ssid 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ran g C_ ran g
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ ran g )
29		cnrest2 20379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran g C_ ran g /\ ran g C_ X ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
30	26, 28, 12, 29	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
31	4, 30	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) )
32		cnco 20359	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) /\ ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) )
33	32	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
35		cores 5345	. . . . . . . . 9 |- ( ran g C_ ran g -> ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g ) )
36	27, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g )
37	36	eleq1i 2540	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) )
38	34, 37	syl6ib 234	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
39	25, 38	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
40	39	ralrimdvva 2817	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
41		oveq1 6315	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn J ) = ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
42		oveq1 6315	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn K ) = ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
43	42	eleq2d 2534	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
44	41, 43	raleqbidv 2987	. . . . . . . 8 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
45	44	rspcv 3132	. . . . . . 7 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
46		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
47	46	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ X )
48	47	resabs1d 5140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) = ( _I |` k ) )
49		idcn 20350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
50	49	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
51	10	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> X = U. J )
52	47, 51	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ U. J )
53	6	cnrest 20378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) /\ k C_ U. J ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
55	48, 54	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
56		coeq2 4998	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( _I |` k ) ) )
57	56	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
58	57	rspcv 3132	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
60		coires1 5360	. . . . . . . . 9 |- ( F o. ( _I |` k ) ) = ( F |` k )
61	60	eleq1i 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
62	59, 61	syl6ib 234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
63	45, 62	syl9r 73	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
64	63	com23 80	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
65	64	ralrimdva 2812	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
66	40, 65	impbid 195	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
67	66	pm5.32da 653	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )
68	1, 67	bitrd 261	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   _I cid 4749   ran crn 4840   |` cres 4841   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317   Compccmp 20478  𝑘Genckgen 20625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cmp 20479  df-kgen 20626

This theorem is referenced by: (None)