Theorem kgencn2 20572

Description: A function F : J --> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces z and continuous g : z --> J, the composite F o. g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencn2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, g, F   g, J, z   g, K, z   g, X, z   g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencn 20571	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )
2		rncmp 20411	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
3	2	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
4		simprr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn J ) )
5		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- U. z = U. z
6		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
7	5, 6	cnf 20262	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( z Cn J ) -> g : U. z --> U. J )
8		frn 5735	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : U. z --> U. J -> ran g C_ U. J )
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ U. J )
10		toponuni 19942	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
11	10	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> X = U. J )
12	9, 11	sseqtr4d 3469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ X )
13		vex 3048	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
14	13	rnex 6727	. . . . . . . . . 10 |- ran g e. _V
15	14	elpw 3957	. . . . . . . . 9 |- ( ran g e. ~P X <-> ran g C_ X )
16	12, 15	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g e. ~P X )
17		oveq2 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t ran g ) )
18	17	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) e. Comp <-> ( J ↾t ran g ) e. Comp ) )
19		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( F |` k ) = ( F |` ran g ) )
20	17	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) Cn K ) = ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) )
21	19, 20	eleq12d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
22	18, 21	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( k = ran g -> ( ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
23	22	rspcv 3146	. . . . . . . 8 |- ( ran g e. ~P X -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
24	16, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
25	3, 24	mpid 42	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
26		simplll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		ssid 3451	. . . . . . . . . . 11 |- ran g C_ ran g
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ ran g )
29		cnrest2 20302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran g C_ ran g /\ ran g C_ X ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
30	26, 28, 12, 29	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
31	4, 30	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) )
32		cnco 20282	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) /\ ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) )
33	32	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
35		cores 5338	. . . . . . . . 9 |- ( ran g C_ ran g -> ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g ) )
36	27, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g )
37	36	eleq1i 2520	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) )
38	34, 37	syl6ib 230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
39	25, 38	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
40	39	ralrimdvva 2812	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
41		oveq1 6297	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn J ) = ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
42		oveq1 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn K ) = ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
43	42	eleq2d 2514	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
44	41, 43	raleqbidv 3001	. . . . . . . 8 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
45	44	rspcv 3146	. . . . . . 7 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
46		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
47	46	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ X )
48	47	resabs1d 5134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) = ( _I |` k ) )
49		idcn 20273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
50	49	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
51	10	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> X = U. J )
52	47, 51	sseqtrd 3468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ U. J )
53	6	cnrest 20301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) /\ k C_ U. J ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
55	48, 54	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
56		coeq2 4993	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( _I |` k ) ) )
57	56	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
58	57	rspcv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
60		coires1 5353	. . . . . . . . 9 |- ( F o. ( _I |` k ) ) = ( F |` k )
61	60	eleq1i 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
62	59, 61	syl6ib 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
63	45, 62	syl9r 74	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
64	63	com23 81	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
65	64	ralrimdva 2806	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
66	40, 65	impbid 194	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
67	66	pm5.32da 647	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )
68	1, 67	bitrd 257	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   _I cid 4744   ran crn 4835   |` cres 4836   o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾_t crest 15319  TopOnctopon 19918   Cn ccn 20240   Compccmp 20401  𝑘Genckgen 20548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-cmp 20402  df-kgen 20549

This theorem is referenced by: (None)