Theorem kgencn2 19105

Description: A function F : J --> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces z and continuous g : z --> J, the composite F o. g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencn2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, g, F   g, J, z   g, K, z   g, X, z   g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencn 19104	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )
2		rncmp 18974	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
3	2	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
4		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn J ) )
5		eqid 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- U. z = U. z
6		eqid 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
7	5, 6	cnf 18825	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( z Cn J ) -> g : U. z --> U. J )
8		frn 5560	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : U. z --> U. J -> ran g C_ U. J )
9	4, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ U. J )
10		toponuni 18507	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
11	10	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> X = U. J )
12	9, 11	sseqtr4d 3388	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ X )
13		vex 2970	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
14	13	rnex 6507	. . . . . . . . . 10 |- ran g e. _V
15	14	elpw 3861	. . . . . . . . 9 |- ( ran g e. ~P X <-> ran g C_ X )
16	12, 15	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g e. ~P X )
17		oveq2 6094	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t ran g ) )
18	17	eleq1d 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) e. Comp <-> ( J ↾t ran g ) e. Comp ) )
19		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( F |` k ) = ( F |` ran g ) )
20	17	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) Cn K ) = ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) )
21	19, 20	eleq12d 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
22	18, 21	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( k = ran g -> ( ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
23	22	rspcv 3064	. . . . . . . 8 |- ( ran g e. ~P X -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
24	16, 23	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
25	3, 24	mpid 41	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
26		simplll 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		ssid 3370	. . . . . . . . . . 11 |- ran g C_ ran g
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ ran g )
29		cnrest2 18865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran g C_ ran g /\ ran g C_ X ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
30	26, 28, 12, 29	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
31	4, 30	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) )
32		cnco 18845	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) /\ ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) )
33	32	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
34	31, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
35		cores 5336	. . . . . . . . 9 |- ( ran g C_ ran g -> ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g ) )
36	27, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g )
37	36	eleq1i 2501	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) )
38	34, 37	syl6ib 226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
39	25, 38	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
40	39	ralrimdvva 2806	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
41		oveq1 6093	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn J ) = ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
42		oveq1 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn K ) = ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
43	42	eleq2d 2505	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
44	41, 43	raleqbidv 2926	. . . . . . . 8 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
45	44	rspcv 3064	. . . . . . 7 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
46		elpwi 3864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ X )
48		resabs1 5134	. . . . . . . . . . 11 |- ( k C_ X -> ( ( _I |` X ) |` k ) = ( _I |` k ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) = ( _I |` k ) )
50		idcn 18836	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
51	50	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
52	10	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> X = U. J )
53	47, 52	sseqtrd 3387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ U. J )
54	6	cnrest 18864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) /\ k C_ U. J ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
55	51, 53, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
56	49, 55	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
57		coeq2 4993	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( _I |` k ) ) )
58	57	eleq1d 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
59	58	rspcv 3064	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
60	56, 59	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
61		coires1 5350	. . . . . . . . 9 |- ( F o. ( _I |` k ) ) = ( F |` k )
62	61	eleq1i 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
63	60, 62	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
64	45, 63	syl9r 72	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
65	64	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
66	65	ralrimdva 2801	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
67	40, 66	impbid 191	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
68	67	pm5.32da 641	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )
69	1, 68	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086   _I cid 4626   ran crn 4836   |` cres 4837   o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ↾_t crest 14351  TopOnctopon 18474   Cn ccn 18803   Compccmp 18964  𝑘Genckgen 19081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cn 18806  df-cmp 18965  df-kgen 19082

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