MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencn2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem kgencn2 20572
Description: A function  F : J
--> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces  z and continuous  g : z --> J, the composite  F  o.  g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, F    g, J, z    g, K, z    g, X, z   
g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgencn 20571 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
2 rncmp 20411 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J
) )  ->  ( Jt  ran  g )  e.  Comp )
32adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( Jt  ran  g )  e.  Comp )
4 simprr 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  g  e.  ( z  Cn  J
) )
5 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. z  =  U. z
6 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 20262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( z  Cn  J )  ->  g : U. z --> U. J
)
8 frn 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : U. z --> U. J  ->  ran  g  C_  U. J )
94, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  U. J )
10 toponuni 19942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1110ad3antrrr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  X  =  U. J )
129, 11sseqtr4d 3469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  X )
13 vex 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
1413rnex 6727 . . . . . . . . . 10  |-  ran  g  e.  _V
1514elpw 3957 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  g  e.  ~P X  <->  ran  g  C_  X )
1612, 15sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  e.  ~P X
)
17 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  ran  g ) )
1817eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  ran  g
)  e.  Comp )
)
19 reseq2 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( F  |`  k
)  =  ( F  |`  ran  g ) )
2017oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( Jt  k )  Cn  K )  =  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K ) )
2119, 20eleq12d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  |` 
ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K ) ) )
2218, 21imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <-> 
( ( Jt  ran  g
)  e.  Comp  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K
) ) ) )
2322rspcv 3146 . . . . . . . 8  |-  ( ran  g  e.  ~P X  ->  ( A. k  e. 
~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) )  ->  (
( Jt  ran  g )  e. 
Comp  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K ) ) ) )
2416, 23syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( ( Jt  ran  g )  e.  Comp  -> 
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K ) ) ) )
253, 24mpid 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K ) ) )
26 simplll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
27 ssid 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  g  C_ 
ran  g
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  ran  g )
29 cnrest2 20302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  g  C_  ran  g  /\  ran  g  C_  X )  ->  ( g  e.  ( z  Cn  J
)  <->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) ) )
3026, 28, 12, 29syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
g  e.  ( z  Cn  J )  <->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) ) )
314, 30mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) )
32 cnco 20282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g
) )  /\  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K
) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) )
3332ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) )  ->  ( ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K )  ->  ( ( F  |`  ran  g )  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
3431, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
35 cores 5338 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  g  C_  ran  g  -> 
( ( F  |`  ran  g )  o.  g
)  =  ( F  o.  g ) )
3627, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ran  g )  o.  g )  =  ( F  o.  g
)
3736eleq1i 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  <->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) )
3834, 37syl6ib 230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K
) ) )
3925, 38syld 45 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
4039ralrimdvva 2812 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
41 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( z  Cn  J )  =  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
42 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( z  Cn  K )  =  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )
4342eleq2d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K
)  <->  ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
4441, 43raleqbidv 3001 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  <->  A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
4544rspcv 3146 . . . . . . 7  |-  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( A. z  e. 
Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K )  ->  A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
46 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
4746adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  k  C_  X )
4847resabs1d 5134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  =  (  _I  |`  k )
)
49 idcn 20273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
5049ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J
) )
5110ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  X  =  U. J )
5247, 51sseqtrd 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  k  C_ 
U. J )
536cnrest 20301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J )  /\  k  C_ 
U. J )  -> 
( (  _I  |`  X )  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
5450, 52, 53syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
5548, 54eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (  _I  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
56 coeq2 4993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  (  _I  |`  k
)  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  (  _I  |`  k ) ) )
5756eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  (  _I  |`  k
)  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  o.  (  _I  |`  k
) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
5857rspcv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J )  -> 
( A. g  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  ->  ( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) )
5955, 58syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  -> 
( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
60 coires1 5353 . . . . . . . . 9  |-  ( F  o.  (  _I  |`  k
) )  =  ( F  |`  k )
6160eleq1i 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )
6259, 61syl6ib 230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) )
6345, 62syl9r 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K )  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
6463com23 81 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) )
6564ralrimdva 2806 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
6640, 65impbid 194 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
6766pm5.32da 647 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e. 
Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
681, 67bitrd 257 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198    _I cid 4744   ran crn 4835    |` cres 4836    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240   Compccmp 20401  𝑘Genckgen 20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-cmp 20402  df-kgen 20549
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator