Theorem kgencn2 20559

Description: A function F : J --> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces z and continuous g : z --> J, the composite F o. g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencn2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, g, F   g, J, z   g, K, z   g, X, z   g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencn 20558	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )
2		rncmp 20398	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
3	2	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( J ↾t ran g ) e. Comp )
4		simprr 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn J ) )
5		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- U. z = U. z
6		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
7	5, 6	cnf 20249	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( z Cn J ) -> g : U. z --> U. J )
8		frn 5749	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : U. z --> U. J -> ran g C_ U. J )
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ U. J )
10		toponuni 19929	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
11	10	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> X = U. J )
12	9, 11	sseqtr4d 3501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ X )
13		vex 3084	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
14	13	rnex 6738	. . . . . . . . . 10 |- ran g e. _V
15	14	elpw 3985	. . . . . . . . 9 |- ( ran g e. ~P X <-> ran g C_ X )
16	12, 15	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g e. ~P X )
17		oveq2 6310	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t ran g ) )
18	17	eleq1d 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) e. Comp <-> ( J ↾t ran g ) e. Comp ) )
19		reseq2 5116	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( F |` k ) = ( F |` ran g ) )
20	17	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ran g -> ( ( J ↾t k ) Cn K ) = ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) )
21	19, 20	eleq12d 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ran g -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
22	18, 21	imbi12d 321	. . . . . . . . 9 |- ( k = ran g -> ( ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
23	22	rspcv 3178	. . . . . . . 8 |- ( ran g e. ~P X -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
24	16, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( ( J ↾t ran g ) e. Comp -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) ) )
25	3, 24	mpid 42	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) )
26		simplll 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		ssid 3483	. . . . . . . . . . 11 |- ran g C_ ran g
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ran g C_ ran g )
29		cnrest2 20289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ran g C_ ran g /\ ran g C_ X ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
30	26, 28, 12, 29	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( g e. ( z Cn J ) <-> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) ) )
31	4, 30	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) )
32		cnco 20269	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) /\ ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) )
33	32	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( z Cn ( J ↾t ran g ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
35		cores 5354	. . . . . . . . 9 |- ( ran g C_ ran g -> ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g ) )
36	27, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ran g ) o. g ) = ( F o. g )
37	36	eleq1i 2499	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ran g ) o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) )
38	34, 37	syl6ib 229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( ( F |` ran g ) e. ( ( J ↾t ran g ) Cn K ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
39	25, 38	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. Comp /\ g e. ( z Cn J ) ) ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
40	39	ralrimdvva 2849	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) -> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
41		oveq1 6309	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn J ) = ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
42		oveq1 6309	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( z Cn K ) = ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
43	42	eleq2d 2492	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
44	41, 43	raleqbidv 3039	. . . . . . . 8 |- ( z = ( J ↾t k ) -> ( A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) <-> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
45	44	rspcv 3178	. . . . . . 7 |- ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
46		elpwi 3988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
47	46	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ X )
48	47	resabs1d 5150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) = ( _I |` k ) )
49		idcn 20260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
50	49	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
51	10	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> X = U. J )
52	47, 51	sseqtrd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> k C_ U. J )
53	6	cnrest 20288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) /\ k C_ U. J ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( _I |` X ) |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
55	48, 54	eqeltrrd 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) )
56		coeq2 5009	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( _I |` k ) ) )
57	56	eleq1d 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( _I |` k ) -> ( ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
58	57	rspcv 3178	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
60		coires1 5369	. . . . . . . . 9 |- ( F o. ( _I |` k ) ) = ( F |` k )
61	60	eleq1i 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. ( _I |` k ) ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) )
62	59, 61	syl6ib 229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. g e. ( ( J ↾t k ) Cn J ) ( F o. g ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) )
63	45, 62	syl9r 74	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
64	63	com23 81	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
65	64	ralrimdva 2843	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) -> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
66	40, 65	impbid 193	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) )
67	66	pm5.32da 645	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )
68	1, 67	bitrd 256	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. Comp A. g e. ( z Cn J ) ( F o. g ) e. ( z Cn K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   _I cid 4760   ran crn 4851   |` cres 4852   o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   ↾_t crest 15307  TopOnctopon 19905   Cn ccn 20227   Compccmp 20388  𝑘Genckgen 20535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-fin 7578  df-fi 7928  df-rest 15309  df-topgen 15330  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-cn 20230  df-cmp 20389  df-kgen 20536

This theorem is referenced by: (None)