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Theorem kgencn 19792
Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, K    k, X    k, Y

Proof of Theorem kgencn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentopon 19774 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
2 iscn 19502 . . 3  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
4 elkgen 19772 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
54ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
6 cnvimass 5355 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
7 fdm 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  dom  F  =  X )
96, 8syl5sseq 3552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
109biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
115, 10bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1211ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
13 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
14 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
15 resttopon 19428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
17 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
18 iscn 19502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
21 fssres 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  k  C_  X )  -> 
( F  |`  k
) : k --> Y )
2220, 14, 21syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( F  |`  k ) : k --> Y )
2322biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
2419, 23bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) )
25 cnvresima 5494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( F  |`  k
) " x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  k )
2625eleq1i 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
2726ralbii 2895 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2824, 27syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
2928imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
30 r19.21v 2869 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <-> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3129, 30syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
3231ralbidva 2900 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
33 ralcom 3022 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3432, 33syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3512, 34bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3635pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. k  e. 
~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) ) )
373, 36bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491   Compccmp 19652  𝑘Genckgen 19769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494  df-cmp 19653  df-kgen 19770
This theorem is referenced by:  kgencn2  19793
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