Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencn Structured version   Unicode version

Theorem kgencn 19792
 Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn TopOn TopOn 𝑘Gen t t
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem kgencn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentopon 19774 . . 3 TopOn 𝑘Gen TopOn
2 iscn 19502 . . 3 𝑘Gen TopOn TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
31, 2sylan 471 . 2 TopOn TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
4 elkgen 19772 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen t t
54ad2antrr 725 . . . . . 6 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
6 cnvimass 5355 . . . . . . . 8
7 fdm 5733 . . . . . . . . 9
87adantl 466 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
96, 8syl5sseq 3552 . . . . . . 7 TopOn TopOn
109biantrurd 508 . . . . . 6 TopOn TopOn t t t t
115, 10bitr4d 256 . . . . 5 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
1211ralbidv 2903 . . . 4 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
13 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
14 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . 12
15 resttopon 19428 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t TopOn
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t TopOn
17 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn TopOn
18 iscn 19502 . . . . . . . . . . 11 t TopOn TopOn t t
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t t
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
21 fssres 5749 . . . . . . . . . . . 12
2220, 14, 21syl2an 477 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
2322biantrurd 508 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t t
2419, 23bitr4d 256 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t t
25 cnvresima 5494 . . . . . . . . . . 11
2625eleq1i 2544 . . . . . . . . . 10 t t
2726ralbii 2895 . . . . . . . . 9 t t
2824, 27syl6bb 261 . . . . . . . 8 TopOn TopOn t t
2928imbi2d 316 . . . . . . 7 TopOn TopOn t t t t
30 r19.21v 2869 . . . . . . 7 t t t t
3129, 30syl6bbr 263 . . . . . 6 TopOn TopOn t t t t
3231ralbidva 2900 . . . . 5 TopOn TopOn t t t t
33 ralcom 3022 . . . . 5 t t t t
3432, 33syl6rbbr 264 . . . 4 TopOn TopOn t t t t
3512, 34bitrd 253 . . 3 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
3635pm5.32da 641 . 2 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
373, 36bitrd 253 1 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   cin 3475   wss 3476  cpw 4010  ccnv 4998   cdm 4999   cres 5001  cima 5002  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672  TopOnctopon 19162   ccn 19491  ccmp 19652  𝑘Genckgen 19769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494  df-cmp 19653  df-kgen 19770 This theorem is referenced by:  kgencn2  19793
 Copyright terms: Public domain W3C validator