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Theorem kgencn 20223
Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, K    k, X    k, Y

Proof of Theorem kgencn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentopon 20205 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
2 iscn 19903 . . 3  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
31, 2sylan 469 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
4 elkgen 20203 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
54ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
6 cnvimass 5345 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
7 fdm 5717 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
87adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  dom  F  =  X )
96, 8syl5sseq 3537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
109biantrurd 506 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
115, 10bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1211ralbidv 2893 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
13 simpll 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
14 elpwi 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
15 resttopon 19829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
1613, 14, 15syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
17 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
18 iscn 19903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
20 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
21 fssres 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  k  C_  X )  -> 
( F  |`  k
) : k --> Y )
2220, 14, 21syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( F  |`  k ) : k --> Y )
2322biantrurd 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
2419, 23bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) )
25 cnvresima 5479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( F  |`  k
) " x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  k )
2625eleq1i 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
2726ralbii 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2824, 27syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
2928imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
30 r19.21v 2859 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <-> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3129, 30syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
3231ralbidva 2890 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
33 ralcom 3015 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3432, 33syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3512, 34bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3635pm5.32da 639 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. k  e. 
~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) ) )
373, 36bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   `'ccnv 4987   dom cdm 4988    |` cres 4990   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾t crest 14910  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892   Compccmp 20053  𝑘Genckgen 20200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cn 19895  df-cmp 20054  df-kgen 20201
This theorem is referenced by:  kgencn2  20224
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