Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Structured version   Unicode version

Theorem kgencmp2 19913
 Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2 t 𝑘Gent

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 19912 . . 3 t t 𝑘Gent
2 simpr 461 . . 3 t t
31, 2eqeltrrd 2556 . 2 t 𝑘Gent
4 cmptop 19761 . . . . . . 7 𝑘Gent 𝑘Gent
5 restrcl 19524 . . . . . . . 8 𝑘Gent 𝑘Gen
65simprd 463 . . . . . . 7 𝑘Gent
74, 6syl 16 . . . . . 6 𝑘Gent
8 resttop 19527 . . . . . 6 t
97, 8sylan2 474 . . . . 5 𝑘Gent t
10 eqid 2467 . . . . . 6 t t
1110toptopon 19301 . . . . 5 t t TopOnt
129, 11sylib 196 . . . 4 𝑘Gent t TopOnt
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9
1413kgenuni 19906 . . . . . . . 8 𝑘Gen
1514adantr 465 . . . . . . 7 𝑘Gent 𝑘Gen
1615ineq2d 3705 . . . . . 6 𝑘Gent 𝑘Gen
1713restuni2 19534 . . . . . . 7 t
187, 17sylan2 474 . . . . . 6 𝑘Gent t
19 kgenftop 19907 . . . . . . 7 𝑘Gen
20 eqid 2467 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen
2120restuni2 19534 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gent
2219, 7, 21syl2an 477 . . . . . 6 𝑘Gent 𝑘Gen 𝑘Gent
2316, 18, 223eqtr3d 2516 . . . . 5 𝑘Gent t 𝑘Gent
2423fveq2d 5876 . . . 4 𝑘Gent TopOnt TopOn𝑘Gent
2512, 24eleqtrd 2557 . . 3 𝑘Gent t TopOn𝑘Gent
26 simpr 461 . . 3 𝑘Gent 𝑘Gent
2719adantr 465 . . . 4 𝑘Gent 𝑘Gen
28 kgenss 19910 . . . . 5 𝑘Gen
2928adantr 465 . . . 4 𝑘Gent 𝑘Gen
30 ssrest 19543 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen t 𝑘Gent
3127, 29, 30syl2anc 661 . . 3 𝑘Gent t 𝑘Gent
32 eqid 2467 . . . 4 𝑘Gent 𝑘Gent
3332sscmp 19771 . . 3 t TopOn𝑘Gent 𝑘Gent t 𝑘Gent t
3425, 26, 31, 33syl3anc 1228 . 2 𝑘Gent t
353, 34impbida 830 1 t 𝑘Gent
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  cuni 4251  cfv 5594  (class class class)co 6295   ↾t crest 14692  ctop 19261  TopOnctopon 19262  ccmp 19752  𝑘Genckgen 19900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cmp 19753  df-kgen 19901 This theorem is referenced by:  kgenidm  19914
 Copyright terms: Public domain W3C validator