MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Structured version   Unicode version

Theorem kgencmp2 19913
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 19912 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
31, 2eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K )  e.  Comp )
4 cmptop 19761 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top )
5 restrcl 19524 . . . . . . . 8  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  (
(𝑘Gen `  J )  e. 
_V  /\  K  e.  _V ) )
65simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  K  e. 
_V )
8 resttop 19527 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
97, 8sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
10 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  K )  =  U. ( Jt  K )
1110toptopon 19301 . . . . 5  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  <->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
129, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1413kgenuni 19906 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1615ineq2d 3705 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
1713restuni2 19534 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
187, 17sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
19 kgenftop 19907 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
20 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. (𝑘Gen `  J )  =  U. (𝑘Gen
`  J )
2120restuni2 19534 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2219, 7, 21syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2316, 18, 223eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. ( Jt  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2423fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (TopOn ` 
U. ( Jt  K ) )  =  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) ) )
2512, 24eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) ) )
26 simpr 461 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )
2719adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
28 kgenss 19910 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
2928adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
30 ssrest 19543 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )  -> 
( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
3127, 29, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
32 eqid 2467 . . . 4  |-  U. (
(𝑘Gen `  J )t  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K )
3332sscmp 19771 . . 3  |-  ( ( ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  /\  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )  ->  ( Jt  K
)  e.  Comp )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
353, 34impbida 830 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ↾t crest 14692   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   Compccmp 19752  𝑘Genckgen 19900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cmp 19753  df-kgen 19901
This theorem is referenced by:  kgenidm  19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator