MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Structured version   Unicode version

Theorem kgencmp2 19124
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 19123 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
31, 2eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K )  e.  Comp )
4 cmptop 19003 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top )
5 restrcl 18766 . . . . . . . 8  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  (
(𝑘Gen `  J )  e. 
_V  /\  K  e.  _V ) )
65simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  K  e. 
_V )
8 resttop 18769 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
97, 8sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  K )  =  U. ( Jt  K )
1110toptopon 18543 . . . . 5  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  <->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
129, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
13 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1413kgenuni 19117 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1615ineq2d 3557 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
1713restuni2 18776 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
187, 17sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
19 kgenftop 19118 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
20 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. (𝑘Gen `  J )  =  U. (𝑘Gen
`  J )
2120restuni2 18776 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2219, 7, 21syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2316, 18, 223eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. ( Jt  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2423fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (TopOn ` 
U. ( Jt  K ) )  =  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) ) )
2512, 24eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) ) )
26 simpr 461 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )
2719adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
28 kgenss 19121 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
2928adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
30 ssrest 18785 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )  -> 
( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
3127, 29, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
32 eqid 2443 . . . 4  |-  U. (
(𝑘Gen `  J )t  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K )
3332sscmp 19013 . . 3  |-  ( ( ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  /\  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )  ->  ( Jt  K
)  e.  Comp )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
353, 34impbida 828 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   U.cuni 4096   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ↾t crest 14364   Topctop 18503  TopOnctopon 18504   Compccmp 18994  𝑘Genckgen 19111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-fi 7666  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995  df-kgen 19112
This theorem is referenced by:  kgenidm  19125
  Copyright terms: Public domain W3C validator