Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgen2ss Structured version   Unicode version

Theorem kgen2ss 20348
 Description: The compact generator preserves the subset (fineness) relationship on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgen2ss TopOn TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen

Proof of Theorem kgen2ss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
2 elpwi 3964 . . . . . . . . 9
3 resttopon 19955 . . . . . . . . 9 TopOn t TopOn
41, 2, 3syl2an 475 . . . . . . . 8 TopOn TopOn t TopOn
5 simp2 998 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn TopOn
6 resttopon 19955 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
75, 2, 6syl2an 475 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t TopOn
8 toponuni 19720 . . . . . . . . . 10 t TopOn t
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t
109fveq2d 5853 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn TopOnt
114, 10eleqtrd 2492 . . . . . . 7 TopOn TopOn t TopOnt
12 simpl2 1001 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
13 topontop 19719 . . . . . . . . 9 TopOn
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
15 simpl3 1002 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
16 ssrest 19970 . . . . . . . 8 t t
1714, 15, 16syl2anc 659 . . . . . . 7 TopOn TopOn t t
18 eqid 2402 . . . . . . . . . 10 t t
1918sscmp 20198 . . . . . . . . 9 t TopOnt t t t t
20193com23 1203 . . . . . . . 8 t TopOnt t t t t
21203expia 1199 . . . . . . 7 t TopOnt t t t t
2211, 17, 21syl2anc 659 . . . . . 6 TopOn TopOn t t
2317sseld 3441 . . . . . 6 TopOn TopOn t t
2422, 23imim12d 74 . . . . 5 TopOn TopOn t t t t
2524ralimdva 2812 . . . 4 TopOn TopOn t t t t
2625anim2d 563 . . 3 TopOn TopOn t t t t
27 elkgen 20329 . . . 4 TopOn 𝑘Gen t t
28273ad2ant1 1018 . . 3 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
29 elkgen 20329 . . . 4 TopOn 𝑘Gen t t
30293ad2ant2 1019 . . 3 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
3126, 28, 303imtr4d 268 . 2 TopOn TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
3231ssrdv 3448 1 TopOn TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754   cin 3413   wss 3414  cpw 3955  cuni 4191  cfv 5569  (class class class)co 6278   ↾t crest 15035  ctop 19686  TopOnctopon 19687  ccmp 20179  𝑘Genckgen 20326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-fin 7558  df-fi 7905  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cmp 20180  df-kgen 20327 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator