Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kerunit Structured version   Unicode version

Theorem kerunit 28279
 Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then , i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerunit.1 Unit
kerunit.2
kerunit.3
Assertion
Ref Expression
kerunit RingHom

Proof of Theorem kerunit
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3628 . . . . . . . 8
21biimpi 196 . . . . . . 7
32adantl 466 . . . . . 6 RingHom
43simpld 459 . . . . 5 RingHom
5 rhmrcl1 17690 . . . . . 6 RingHom
6 kerunit.1 . . . . . . . 8 Unit
7 eqid 2404 . . . . . . . 8
8 eqid 2404 . . . . . . . 8
9 eqid 2404 . . . . . . . 8
106, 7, 8, 9unitlinv 17648 . . . . . . 7
1110fveq2d 5855 . . . . . 6
125, 11sylan 471 . . . . 5 RingHom
134, 12syldan 470 . . . 4 RingHom
14 simpl 457 . . . . . 6 RingHom RingHom
155adantr 465 . . . . . . 7 RingHom
16 eqid 2404 . . . . . . . 8
176, 7, 16ringinvcl 17647 . . . . . . 7
1815, 4, 17syl2anc 661 . . . . . 6 RingHom
1916, 6unitcl 17630 . . . . . . 7
204, 19syl 17 . . . . . 6 RingHom
21 eqid 2404 . . . . . . 7
2216, 8, 21rhmmul 17698 . . . . . 6 RingHom
2314, 18, 20, 22syl3anc 1232 . . . . 5 RingHom
243simprd 463 . . . . . . . 8 RingHom
25 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
2616, 25rhmf 17697 . . . . . . . . . 10 RingHom
27 ffn 5716 . . . . . . . . . 10
28 elpreima 5987 . . . . . . . . . 10
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 RingHom
3029simplbda 624 . . . . . . . 8 RingHom
3124, 30syldan 470 . . . . . . 7 RingHom
32 fvex 5861 . . . . . . . 8
3332elsnc 3998 . . . . . . 7
3431, 33sylib 198 . . . . . 6 RingHom
3534oveq2d 6296 . . . . 5 RingHom
36 rhmrcl2 17691 . . . . . . 7 RingHom
3736adantr 465 . . . . . 6 RingHom
3826adantr 465 . . . . . . 7 RingHom
3938, 18ffvelrnd 6012 . . . . . 6 RingHom
40 kerunit.2 . . . . . . 7
4125, 21, 40ringrz 17558 . . . . . 6
4237, 39, 41syl2anc 661 . . . . 5 RingHom
4323, 35, 423eqtrd 2449 . . . 4 RingHom
44 kerunit.3 . . . . . 6
459, 44rhm1 17701 . . . . 5 RingHom
4645adantr 465 . . . 4 RingHom
4713, 43, 463eqtr3rd 2454 . . 3 RingHom
4847reximdva0 3752 . 2 RingHom
49 id 23 . . 3
5049rexlimivw 2895 . 2
5148, 50syl 17 1 RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844   wne 2600  wrex 2757   cin 3415  c0 3740  csn 3974  ccnv 4824  cima 4828   wfn 5566  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280  cbs 14843  cmulr 14912  c0g 15056  cur 17475  crg 17520  Unitcui 17610  cinvr 17642   RingHom crh 17683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-ghm 16591  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-rnghom 17686 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator