Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kerf1hrm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem kerf1hrm 17971
 Description: A ring homomorphism is injective if and only if its kernel is the singleton . (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
kerf1hrm.a
kerf1hrm.b
kerf1hrm.n
kerf1hrm.0
Assertion
Ref Expression
kerf1hrm RingHom

Proof of Theorem kerf1hrm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . . . . 7 RingHom RingHom
2 f1fn 5780 . . . . . . . . . . 11
32adantl 468 . . . . . . . . . 10 RingHom
4 elpreima 6002 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 RingHom
65biimpa 487 . . . . . . . 8 RingHom
76simpld 461 . . . . . . 7 RingHom
86simprd 465 . . . . . . . 8 RingHom
9 fvex 5875 . . . . . . . . 9
109elsnc 3992 . . . . . . . 8
118, 10sylib 200 . . . . . . 7 RingHom
12 kerf1hrm.a . . . . . . . . . . 11
13 kerf1hrm.b . . . . . . . . . . 11
14 kerf1hrm.0 . . . . . . . . . . 11
15 kerf1hrm.n . . . . . . . . . . 11
1612, 13, 14, 15f1rhm0to0 17968 . . . . . . . . . 10 RingHom
1716biimpd 211 . . . . . . . . 9 RingHom
18173expa 1208 . . . . . . . 8 RingHom
1918imp 431 . . . . . . 7 RingHom
201, 7, 11, 19syl21anc 1267 . . . . . 6 RingHom
2120ex 436 . . . . 5 RingHom
22 elsn 3982 . . . . 5
2321, 22syl6ibr 231 . . . 4 RingHom
2423ssrdv 3438 . . 3 RingHom
25 rhmrcl1 17947 . . . . . . 7 RingHom
26 ringgrp 17785 . . . . . . 7
2712, 15grpidcl 16694 . . . . . . 7
2825, 26, 273syl 18 . . . . . 6 RingHom
29 rhmghm 17953 . . . . . . . 8 RingHom
3015, 14ghmid 16889 . . . . . . . 8
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 RingHom
32 fvex 5875 . . . . . . . 8
3332elsnc 3992 . . . . . . 7
3431, 33sylibr 216 . . . . . 6 RingHom
3512, 13rhmf 17954 . . . . . . 7 RingHom
36 ffn 5728 . . . . . . 7
37 elpreima 6002 . . . . . . 7
3835, 36, 373syl 18 . . . . . 6 RingHom
3928, 34, 38mpbir2and 933 . . . . 5 RingHom
4039snssd 4117 . . . 4 RingHom
4140adantr 467 . . 3 RingHom
4224, 41eqssd 3449 . 2 RingHom
4335adantr 467 . . 3 RingHom
4429adantr 467 . . . . . . . . . 10 RingHom
45 simpr2l 1067 . . . . . . . . . 10 RingHom
46 simpr2r 1068 . . . . . . . . . 10 RingHom
47 simpr3 1016 . . . . . . . . . 10 RingHom
48 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
49 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
5012, 14, 48, 49ghmeqker 16909 . . . . . . . . . . 11
5150biimpa 487 . . . . . . . . . 10
5244, 45, 46, 47, 51syl31anc 1271 . . . . . . . . 9 RingHom
53 simpr1 1014 . . . . . . . . 9 RingHom
5452, 53eleqtrd 2531 . . . . . . . 8 RingHom
55 ovex 6318 . . . . . . . . 9
5655elsnc 3992 . . . . . . . 8
5754, 56sylib 200 . . . . . . 7 RingHom
5825adantr 467 . . . . . . . . 9 RingHom
5958, 26syl 17 . . . . . . . 8 RingHom
6012, 15, 49grpsubeq0 16740 . . . . . . . 8
6159, 45, 46, 60syl3anc 1268 . . . . . . 7 RingHom
6257, 61mpbid 214 . . . . . 6 RingHom
63623anassrs 1232 . . . . 5 RingHom
6463ex 436 . . . 4 RingHom
6564ralrimivva 2809 . . 3 RingHom
66 dff13 6159 . . 3
6743, 65, 66sylanbrc 670 . 2 RingHom
6842, 67impbida 843 1 RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737   wss 3404  csn 3968  ccnv 4833  cima 4837   wfn 5577  wf 5578  wf1 5579  cfv 5582  (class class class)co 6290  cbs 15121  c0g 15338  cgrp 16669  csg 16671   cghm 16880  crg 17780   RingHom crh 17940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-ghm 16881  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-rnghom 17943 This theorem is referenced by:  zrhf1ker  28779
 Copyright terms: Public domain W3C validator