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Theorem kerf1hrm 26145
Description: A ring homomorphism  F is injective if and only if its kernel is the singleton  { N }. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerf1hrm.a  |-  A  =  ( Base `  R
)
kerf1hrm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
kerf1hrm.n  |-  N  =  ( 0g `  R
)
kerf1hrm.0  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
kerf1hrm  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N }
) )

Proof of Theorem kerf1hrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B ) )
2 f1fn 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
32adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F  Fn  A )
4 elpreima 5811 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e. 
{  .0.  } ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e. 
{  .0.  } ) ) )
65biimpa 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  (
x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  {  .0.  }
) )
76simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  x  e.  A )
86simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F `  x )  e.  {  .0.  } )
9 fvex 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
109elsnc 3889 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  {  .0.  }  <->  ( F `  x )  =  .0.  )
118, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F `  x )  =  .0.  )
12 rhmghm 16747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
13 kerf1hrm.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( 0g `  R
)
14 kerf1hrm.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
1513, 14ghmid 15733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  N )  =  .0.  )
1612, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  N )  =  .0.  )
1716ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  N
)  =  .0.  )
1817eqeq2d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  <-> 
( F `  x
)  =  .0.  )
)
19 rhmrcl1 16743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  Ring )
21 rnggrp 16586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
22 kerf1hrm.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Base `  R
)
2322, 13grpidcl 15546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Grp  ->  N  e.  A )
2420, 21, 233syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  N  e.  A )
25 dff13 5958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
2625simprbi 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2726adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2827r19.21bi 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
29 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  N  ->  ( F `  y )  =  ( F `  N ) )
3029eqeq2d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  N  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) ) )
31 eqeq2 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  N  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  N
)  ->  x  =  N ) ) )
3332rspcva 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  ->  x  =  N ) )
3424, 28, 33syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  ->  x  =  N ) )
3518, 34sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  .0. 
->  x  =  N
) )
3635imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B
)  /\  x  e.  A )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  =  N )
371, 7, 11, 36syl21anc 1210 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  x  =  N )
3837ex 434 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  ->  x  =  N ) )
39 elsn 3879 . . . . 5  |-  ( x  e.  { N }  <->  x  =  N )
4038, 39syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  ->  x  e.  { N } ) )
4140ssrdv 3350 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( `' F " {  .0.  } )  C_  { N } )
4219, 21, 233syl 20 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  N  e.  A )
43 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 N )  e. 
_V
4443elsnc 3889 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  N )  e.  {  .0.  }  <->  ( F `  N )  =  .0.  )
4516, 44sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  N )  e.  {  .0.  } )
46 kerf1hrm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
4722, 46rhmf 16748 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : A
--> B )
48 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
49 elpreima 5811 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( N  e.  ( `' F " {  .0.  }
)  <->  ( N  e.  A  /\  ( F `
 N )  e. 
{  .0.  } ) ) )
5047, 48, 493syl 20 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( N  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( N  e.  A  /\  ( F `  N )  e.  {  .0.  } ) ) )
5142, 45, 50mpbir2and 906 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  N  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
5251snssd 4006 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  { N }  C_  ( `' F " {  .0.  } ) )
5352adantr 462 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  { N }  C_  ( `' F " {  .0.  } ) )
5441, 53eqssd 3361 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )
5547adantr 462 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  F : A --> B )
5612adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
57 simpr2l 1040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  e.  A )
58 simpr2r 1041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  y  e.  A )
59 simpr3 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
60 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " {  .0.  } )  =  ( `' F " {  .0.  } )
61 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
6222, 14, 60, 61ghmeqker 15753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( x
( -g `  R ) y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) ) )
6362biimpa 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  ( x (
-g `  R )
y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
6456, 57, 58, 59, 63syl31anc 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
65 simpr1 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )
6664, 65eleqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  e. 
{ N } )
67 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( -g `  R
) y )  e. 
_V
6867elsnc 3889 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( -g `  R
) y )  e. 
{ N }  <->  ( x
( -g `  R ) y )  =  N )
6966, 68sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  =  N )
7019adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  R  e.  Ring )
7170, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  R  e.  Grp )
7222, 13, 61grpsubeq0 15592 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x (
-g `  R )
y )  =  N  <-> 
x  =  y ) )
7371, 57, 58, 72syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( x ( -g `  R ) y )  =  N  <->  x  =  y ) )
7469, 73mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )
75743anassrs 1202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
7675ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7776ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7855, 77, 25sylanbrc 657 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  F : A -1-1-> B )
7954, 78impbida 821 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705    C_ wss 3316   {csn 3865   `'ccnv 4826   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   0gc0g 14361   Grpcgrp 15393   -gcsg 15396    GrpHom cghm 15724   Ringcrg 16577   RingHom crh 16738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-plusg 14234  df-0g 14363  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-ghm 15725  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-rnghom 16740
This theorem is referenced by:  zrhf1ker  26258
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