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Theorem kerf1hrm 24215
Description: A ring homomorphism  F is injective if and only if its kernel is the singleton  { N }. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerf1hrm.a  |-  A  =  ( Base `  R
)
kerf1hrm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
kerf1hrm.n  |-  N  =  ( 0g `  R
)
kerf1hrm.0  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
kerf1hrm  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N }
) )

Proof of Theorem kerf1hrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B ) )
2 f1fn 5599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
32adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F  Fn  A )
4 elpreima 5809 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e. 
{  .0.  } ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e. 
{  .0.  } ) ) )
65biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  (
x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  {  .0.  }
) )
76simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  x  e.  A )
86simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F `  x )  e.  {  .0.  } )
9 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
109elsnc 3797 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  {  .0.  }  <->  ( F `  x )  =  .0.  )
118, 10sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F `  x )  =  .0.  )
12 rhmghm 15781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
13 kerf1hrm.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( 0g `  R
)
14 kerf1hrm.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
1513, 14ghmid 14967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  N )  =  .0.  )
1612, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  N )  =  .0.  )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  N
)  =  .0.  )
1817eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  <-> 
( F `  x
)  =  .0.  )
)
19 rhmrcl1 15777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  Ring )
21 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
22 kerf1hrm.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Base `  R
)
2322, 13grpidcl 14788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Grp  ->  N  e.  A )
2420, 21, 233syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  N  e.  A )
25 dff13 5963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
2625simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2827r19.21bi 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
29 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  N  ->  ( F `  y )  =  ( F `  N ) )
3029eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  N  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) ) )
31 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
3230, 31imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  N  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  N
)  ->  x  =  N ) ) )
3332rspcva 3010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  ->  x  =  N ) )
3424, 28, 33syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  ->  x  =  N ) )
3518, 34sylbird 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  .0. 
->  x  =  N
) )
3635imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B
)  /\  x  e.  A )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  =  N )
371, 7, 11, 36syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  x  =  N )
3837ex 424 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  ->  x  =  N ) )
39 elsn 3789 . . . . 5  |-  ( x  e.  { N }  <->  x  =  N )
4038, 39syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  ->  x  e.  { N } ) )
4140ssrdv 3314 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( `' F " {  .0.  } )  C_  { N } )
4219, 21, 233syl 19 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  N  e.  A )
43 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 N )  e. 
_V
4443elsnc 3797 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  N )  e.  {  .0.  }  <->  ( F `  N )  =  .0.  )
4516, 44sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  N )  e.  {  .0.  } )
46 kerf1hrm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
4722, 46rhmf 15782 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : A
--> B )
48 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
49 elpreima 5809 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( N  e.  ( `' F " {  .0.  }
)  <->  ( N  e.  A  /\  ( F `
 N )  e. 
{  .0.  } ) ) )
5047, 48, 493syl 19 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( N  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( N  e.  A  /\  ( F `  N )  e.  {  .0.  } ) ) )
5142, 45, 50mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  N  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
5251snssd 3903 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  { N }  C_  ( `' F " {  .0.  } ) )
5352adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  { N }  C_  ( `' F " {  .0.  } ) )
5441, 53eqssd 3325 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )
5547adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  F : A --> B )
5612adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
57 simpr2l 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  e.  A )
58 simpr2r 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  y  e.  A )
59 simpr3 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " {  .0.  } )  =  ( `' F " {  .0.  } )
61 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
6222, 14, 60, 61ghmeqker 14987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( x
( -g `  R ) y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) ) )
6362biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  ( x (
-g `  R )
y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
6456, 57, 58, 59, 63syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
65 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )
6664, 65eleqtrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  e. 
{ N } )
67 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( -g `  R
) y )  e. 
_V
6867elsnc 3797 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( -g `  R
) y )  e. 
{ N }  <->  ( x
( -g `  R ) y )  =  N )
6966, 68sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  =  N )
7019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  R  e.  Ring )
7170, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  R  e.  Grp )
7222, 13, 61grpsubeq0 14830 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x (
-g `  R )
y )  =  N  <-> 
x  =  y ) )
7371, 57, 58, 72syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( x ( -g `  R ) y )  =  N  <->  x  =  y ) )
7469, 73mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )
75743anassrs 1175 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
7675ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7776ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7855, 77, 25sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  F : A -1-1-> B )
7954, 78impbida 806 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   {csn 3774   `'ccnv 4836   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643    GrpHom cghm 14958   Ringcrg 15615   RingHom crh 15772
This theorem is referenced by:  zrhf1ker  24312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-ghm 14959  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-rnghom 15774
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