Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kerf1hrm Structured version   Unicode version

Theorem kerf1hrm 26243
Description: A ring homomorphism  F is injective if and only if its kernel is the singleton  { N }. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerf1hrm.a  |-  A  =  ( Base `  R
)
kerf1hrm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
kerf1hrm.n  |-  N  =  ( 0g `  R
)
kerf1hrm.0  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
kerf1hrm  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N }
) )

Proof of Theorem kerf1hrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B ) )
2 f1fn 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
32adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F  Fn  A )
4 elpreima 5818 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e. 
{  .0.  } ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e. 
{  .0.  } ) ) )
65biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  (
x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  {  .0.  }
) )
76simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  x  e.  A )
86simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F `  x )  e.  {  .0.  } )
9 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
109elsnc 3896 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  {  .0.  }  <->  ( F `  x )  =  .0.  )
118, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  ( F `  x )  =  .0.  )
12 rhmghm 16801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
13 kerf1hrm.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( 0g `  R
)
14 kerf1hrm.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
1513, 14ghmid 15744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  N )  =  .0.  )
1612, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  N )  =  .0.  )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  N
)  =  .0.  )
1817eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  <-> 
( F `  x
)  =  .0.  )
)
19 rhmrcl1 16797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  Ring )
21 rnggrp 16638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
22 kerf1hrm.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Base `  R
)
2322, 13grpidcl 15557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Grp  ->  N  e.  A )
2420, 21, 233syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  N  e.  A )
25 dff13 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
2625simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2827r19.21bi 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
29 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  N  ->  ( F `  y )  =  ( F `  N ) )
3029eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  N  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) ) )
31 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  N  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  N
)  ->  x  =  N ) ) )
3332rspcva 3066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  ->  x  =  N ) )
3424, 28, 33syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  N )  ->  x  =  N ) )
3518, 34sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  .0. 
->  x  =  N
) )
3635imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B
)  /\  x  e.  A )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  =  N )
371, 7, 11, 36syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  /\  x  e.  ( `' F " {  .0.  }
) )  ->  x  =  N )
3837ex 434 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  ->  x  =  N ) )
39 elsn 3886 . . . . 5  |-  ( x  e.  { N }  <->  x  =  N )
4038, 39syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( `' F " {  .0.  } )  ->  x  e.  { N } ) )
4140ssrdv 3357 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( `' F " {  .0.  } )  C_  { N } )
4219, 21, 233syl 20 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  N  e.  A )
43 fvex 5696 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 N )  e. 
_V
4443elsnc 3896 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  N )  e.  {  .0.  }  <->  ( F `  N )  =  .0.  )
4516, 44sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  N )  e.  {  .0.  } )
46 kerf1hrm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
4722, 46rhmf 16802 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : A
--> B )
48 ffn 5554 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
49 elpreima 5818 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( N  e.  ( `' F " {  .0.  }
)  <->  ( N  e.  A  /\  ( F `
 N )  e. 
{  .0.  } ) ) )
5047, 48, 493syl 20 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( N  e.  ( `' F " {  .0.  } )  <->  ( N  e.  A  /\  ( F `  N )  e.  {  .0.  } ) ) )
5142, 45, 50mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  N  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
5251snssd 4013 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  { N }  C_  ( `' F " {  .0.  } ) )
5352adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  ->  { N }  C_  ( `' F " {  .0.  } ) )
5441, 53eqssd 3368 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )
5547adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  F : A --> B )
5612adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
57 simpr2l 1047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  e.  A )
58 simpr2r 1048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  y  e.  A )
59 simpr3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
60 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " {  .0.  } )  =  ( `' F " {  .0.  } )
61 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
6222, 14, 60, 61ghmeqker 15764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( x
( -g `  R ) y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) ) )
6362biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  ( x (
-g `  R )
y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
6456, 57, 58, 59, 63syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  e.  ( `' F " {  .0.  } ) )
65 simpr1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )
6664, 65eleqtrd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  e. 
{ N } )
67 ovex 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( -g `  R
) y )  e. 
_V
6867elsnc 3896 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( -g `  R
) y )  e. 
{ N }  <->  ( x
( -g `  R ) y )  =  N )
6966, 68sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
x ( -g `  R
) y )  =  N )
7019adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  R  e.  Ring )
7170, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  R  e.  Grp )
7222, 13, 61grpsubeq0 15603 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x (
-g `  R )
y )  =  N  <-> 
x  =  y ) )
7371, 57, 58, 72syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( x ( -g `  R ) y )  =  N  <->  x  =  y ) )
7469, 73mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  (
( `' F " {  .0.  } )  =  { N }  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )
75743anassrs 1209 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
7675ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7776ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7855, 77, 25sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N } )  ->  F : A -1-1-> B )
7954, 78impbida 828 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( `' F " {  .0.  } )  =  { N }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   {csn 3872   `'ccnv 4834   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405    GrpHom cghm 15735   Ringcrg 16633   RingHom crh 16792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-ghm 15736  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-rnghom 16794
This theorem is referenced by:  zrhf1ker  26356
  Copyright terms: Public domain W3C validator