Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kercvrlsm Structured version   Unicode version

Theorem kercvrlsm 35391
 Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kercvrlsm.u
kercvrlsm.p
kercvrlsm.z
kercvrlsm.k
kercvrlsm.b
kercvrlsm.f LMHom
kercvrlsm.d
kercvrlsm.cv
Assertion
Ref Expression
kercvrlsm

Proof of Theorem kercvrlsm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kercvrlsm.f . . . . 5 LMHom
2 lmhmlmod1 17999 . . . . 5 LMHom
31, 2syl 17 . . . 4
4 kercvrlsm.k . . . . . 6
5 kercvrlsm.z . . . . . 6
6 kercvrlsm.u . . . . . 6
74, 5, 6lmhmkerlss 18017 . . . . 5 LMHom
81, 7syl 17 . . . 4
9 kercvrlsm.d . . . 4
10 kercvrlsm.p . . . . 5
116, 10lsmcl 18049 . . . 4
123, 8, 9, 11syl3anc 1230 . . 3
13 kercvrlsm.b . . . 4
1413, 6lssss 17903 . . 3
1512, 14syl 17 . 2
16 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
1713, 16lmhmf 18000 . . . . . . . . . 10 LMHom
181, 17syl 17 . . . . . . . . 9
19 ffn 5714 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8
21 fnfvelrn 6006 . . . . . . . 8
2220, 21sylan 469 . . . . . . 7
23 kercvrlsm.cv . . . . . . . 8
2423adantr 463 . . . . . . 7
2522, 24eleqtrrd 2493 . . . . . 6
2620adantr 463 . . . . . . 7
2713, 6lssss 17903 . . . . . . . . 9
289, 27syl 17 . . . . . . . 8
2928adantr 463 . . . . . . 7
30 fvelimab 5905 . . . . . . 7
3126, 29, 30syl2anc 659 . . . . . 6
3225, 31mpbid 210 . . . . 5
33 lmodgrp 17839 . . . . . . . . . . . . 13
343, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3534adantr 463 . . . . . . . . . . 11
36 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
3728sselda 3442 . . . . . . . . . . . 12
3837adantrl 714 . . . . . . . . . . 11
39 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
40 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
4113, 39, 40grpnpcan 16454 . . . . . . . . . . 11
4235, 36, 38, 41syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10
4342adantr 463 . . . . . . . . 9
443ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10
4513, 6lssss 17903 . . . . . . . . . . . 12
468, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10
4828ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10
49 eqcom 2411 . . . . . . . . . . . 12
50 lmghm 17997 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13
5313, 5, 4, 40ghmeqker 16617 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 36, 38, 53syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12
5549, 54syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11
5655biimpa 482 . . . . . . . . . 10
57 simplrr 763 . . . . . . . . . 10
5813, 39, 10lsmelvalix 16985 . . . . . . . . . 10
5944, 47, 48, 56, 57, 58syl32anc 1238 . . . . . . . . 9
6043, 59eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8
6160ex 432 . . . . . . 7
6261anassrs 646 . . . . . 6
6362rexlimdva 2896 . . . . 5
6432, 63mpd 15 . . . 4
6564ex 432 . . 3
6665ssrdv 3448 . 2
6715, 66eqssd 3459 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2755   wss 3414  csn 3972  ccnv 4822   crn 4824  cima 4826   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909  c0g 15054  cgrp 16377  csg 16379   cghm 16588  clsm 16978  clmod 17832  clss 17898   LMHom clmhm 17985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lmhm 17988 This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  35394
 Copyright terms: Public domain W3C validator