Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2lem Structured version   Unicode version

Theorem kelac2lem 29585
Description: Lemma for kelac2 29586 and dfac21 29587: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
kelac2lem  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )

Proof of Theorem kelac2lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4645 . . . . 5  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
2 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32elpr 4006 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } ) )
4 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
54elpr 4006 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )
6 eqtr3 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  x  =  y )
76orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
8 ineq12 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( { ~P U. S }  i^i  S
) )
9 incom 3654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
10 pwuninel 6907 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  ~P U. S  e.  S
11 disjsn 4047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1210, 11mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/)
139, 12eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/)
148, 13syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1514olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
16 ineq12 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( S  i^i  { ~P U. S } ) )
1716, 12syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
1817olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
19 eqtr3 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  x  =  y )
2019orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
217, 15, 18, 20ccase 937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } )  /\  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
223, 5, 21syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } }  /\  y  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)  ->  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2322rgen2a 2900 . . . . 5  |-  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) )
24 baspartn 18694 . . . . 5  |-  ( ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  /\  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases )
251, 23, 24mp2an 672 . . . 4  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases
26 tgcl 18709 . . . 4  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
2725, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
28 prfi 7700 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
29 pwfi 7720 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin 
<->  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin )
3028, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
31 tgdom 18718 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )
321, 31ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } }
33 domfi 7648 . . . . 5  |-  ( ( ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin  /\  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3430, 32, 33mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  e.  Fin
3534a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3627, 35elind 3651 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )
)
37 fincmp 19131 . 2  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
3836, 37syl 16 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    i^i cin 3438   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {cpr 3990   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   ` cfv 5529    ~<_ cdom 7421   Fincfn 7423   topGenctg 14498   Topctop 18633   TopBasesctb 18637   Compccmp 19124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-cmp 19125
This theorem is referenced by:  kelac2  29586  dfac21  29587
  Copyright terms: Public domain W3C validator