Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2lem Structured version   Unicode version

Theorem kelac2lem 30938
Description: Lemma for kelac2 30939 and dfac21 30940: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
kelac2lem  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )

Proof of Theorem kelac2lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4695 . . . . 5  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
2 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32elpr 4051 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } ) )
4 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
54elpr 4051 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )
6 eqtr3 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  x  =  y )
76orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
8 ineq12 3700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( { ~P U. S }  i^i  S
) )
9 incom 3696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
10 pwuninel 7016 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  ~P U. S  e.  S
11 disjsn 4094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1210, 11mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/)
139, 12eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/)
148, 13syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1514olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
16 ineq12 3700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( S  i^i  { ~P U. S } ) )
1716, 12syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
1817olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
19 eqtr3 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  x  =  y )
2019orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
217, 15, 18, 20ccase 944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } )  /\  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
223, 5, 21syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } }  /\  y  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)  ->  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2322rgen2a 2894 . . . . 5  |-  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) )
24 baspartn 19324 . . . . 5  |-  ( ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  /\  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases )
251, 23, 24mp2an 672 . . . 4  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases
26 tgcl 19339 . . . 4  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
2725, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
28 prfi 7807 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
29 pwfi 7827 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin 
<->  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin )
3028, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
31 tgdom 19348 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )
321, 31ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } }
33 domfi 7753 . . . . 5  |-  ( ( ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin  /\  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3430, 32, 33mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  e.  Fin
3534a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3627, 35elind 3693 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )
)
37 fincmp 19761 . 2  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
3836, 37syl 16 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   {cpr 4035   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   ` cfv 5594    ~<_ cdom 7526   Fincfn 7528   topGenctg 14710   Topctop 19263   TopBasesctb 19267   Compccmp 19754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-cmp 19755
This theorem is referenced by:  kelac2  30939  dfac21  30940
  Copyright terms: Public domain W3C validator