Theorem kelac2lem 31214

Description: Lemma for kelac2 31215 and dfac21 31216: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kelac2lem	|- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Proof of Theorem kelac2lem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4698	. . . . 5 |- { S , { ~P U. S } } e. _V
2		vex 3112	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	elpr 4050	. . . . . . 7 |- ( x e. { S , { ~P U. S } } <-> ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) )
4		vex 3112	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	4	elpr 4050	. . . . . . 7 |- ( y e. { S , { ~P U. S } } <-> ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) )
6		eqtr3 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> x = y )
7	6	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
8		ineq12 3691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = ( { ~P U. S } i^i S ) )
9		incom 3687	. . . . . . . . . . 11 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = ( S i^i { ~P U. S } )
10		pwuninel 7022	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ~P U. S e. S
11		disjsn 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S i^i { ~P U. S } ) = (/) <-> -. ~P U. S e. S )
12	10, 11	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- ( S i^i { ~P U. S } ) = (/)
13	9, 12	eqtri 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = (/)
14	8, 13	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = (/) )
15	14	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
16		ineq12 3691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = ( S i^i { ~P U. S } ) )
17	16, 12	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = (/) )
18	17	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
19		eqtr3 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> x = y )
20	19	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
21	7, 15, 18, 20	ccase 946	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) /\ ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
22	3, 5, 21	syl2anb 479	. . . . . 6 |- ( ( x e. { S , { ~P U. S } } /\ y e. { S , { ~P U. S } } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
23	22	rgen2a 2884	. . . . 5 |- A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) )
24		baspartn 19582	. . . . 5 |- ( ( { S , { ~P U. S } } e. _V /\ A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> { S , { ~P U. S } } e. TopBases )
25	1, 23, 24	mp2an 672	. . . 4 |- { S , { ~P U. S } } e. TopBases
26		tgcl 19598	. . . 4 |- ( { S , { ~P U. S } } e. TopBases -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
27	25, 26	mp1i 12	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
28		prfi 7813	. . . . . 6 |- { S , { ~P U. S } } e. Fin
29		pwfi 7833	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. Fin <-> ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin )
30	28, 29	mpbi 208	. . . . 5 |- ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin
31		tgdom 19607	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. _V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } )
32	1, 31	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } }
33		domfi 7760	. . . . 5 |- ( ( ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin /\ ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
34	30, 32, 33	mp2an 672	. . . 4 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin
35	34	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
36	27, 35	elind 3684	. 2 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) )
37		fincmp 20020	. 2 |- ( ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )
38	36, 37	syl 16	1 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   topGenctg 14855   Topctop 19521   TopBasesctb 19525   Compccmp 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-cmp 20014

This theorem is referenced by:  kelac2  31215  dfac21  31216