Theorem kelac2lem 29370

Description: Lemma for kelac2 29371 and dfac21 29372: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kelac2lem	|- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Proof of Theorem kelac2lem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4529	. . . . 5 |- { S , { ~P U. S } } e. _V
2		vex 2970	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	elpr 3890	. . . . . . 7 |- ( x e. { S , { ~P U. S } } <-> ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) )
4		vex 2970	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	4	elpr 3890	. . . . . . 7 |- ( y e. { S , { ~P U. S } } <-> ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) )
6		eqtr3 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> x = y )
7	6	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
8		ineq12 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = ( { ~P U. S } i^i S ) )
9		incom 3538	. . . . . . . . . . 11 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = ( S i^i { ~P U. S } )
10		pwuninel 6786	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ~P U. S e. S
11		disjsn 3931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S i^i { ~P U. S } ) = (/) <-> -. ~P U. S e. S )
12	10, 11	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- ( S i^i { ~P U. S } ) = (/)
13	9, 12	eqtri 2458	. . . . . . . . . 10 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = (/)
14	8, 13	syl6eq 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = (/) )
15	14	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
16		ineq12 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = ( S i^i { ~P U. S } ) )
17	16, 12	syl6eq 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = (/) )
18	17	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
19		eqtr3 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> x = y )
20	19	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
21	7, 15, 18, 20	ccase 937	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) /\ ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
22	3, 5, 21	syl2anb 479	. . . . . 6 |- ( ( x e. { S , { ~P U. S } } /\ y e. { S , { ~P U. S } } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
23	22	rgen2a 2777	. . . . 5 |- A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) )
24		baspartn 18534	. . . . 5 |- ( ( { S , { ~P U. S } } e. _V /\ A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> { S , { ~P U. S } } e. TopBases )
25	1, 23, 24	mp2an 672	. . . 4 |- { S , { ~P U. S } } e. TopBases
26		tgcl 18549	. . . 4 |- ( { S , { ~P U. S } } e. TopBases -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
27	25, 26	mp1i 12	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
28		prfi 7578	. . . . . 6 |- { S , { ~P U. S } } e. Fin
29		pwfi 7598	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. Fin <-> ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin )
30	28, 29	mpbi 208	. . . . 5 |- ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin
31		tgdom 18558	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. _V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } )
32	1, 31	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } }
33		domfi 7526	. . . . 5 |- ( ( ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin /\ ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
34	30, 32, 33	mp2an 672	. . . 4 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin
35	34	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
36	27, 35	elind 3535	. 2 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) )
37		fincmp 18971	. 2 |- ( ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )
38	36, 37	syl 16	1 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   {cpr 3874   U.cuni 4086   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   ~<_ cdom 7300   Fincfn 7302   topGenctg 14368   Topctop 18473   TopBasesctb 18477   Compccmp 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-cmp 18965

This theorem is referenced by:  kelac2  29371  dfac21  29372