Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2lem Structured version   Unicode version

Theorem kelac2lem 31214
Description: Lemma for kelac2 31215 and dfac21 31216: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
kelac2lem  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )

Proof of Theorem kelac2lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4698 . . . . 5  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
2 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32elpr 4050 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } ) )
4 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
54elpr 4050 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )
6 eqtr3 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  x  =  y )
76orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
8 ineq12 3691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( { ~P U. S }  i^i  S
) )
9 incom 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
10 pwuninel 7022 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  ~P U. S  e.  S
11 disjsn 4092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1210, 11mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/)
139, 12eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/)
148, 13syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1514olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
16 ineq12 3691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( S  i^i  { ~P U. S } ) )
1716, 12syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
1817olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
19 eqtr3 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  x  =  y )
2019orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
217, 15, 18, 20ccase 946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } )  /\  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
223, 5, 21syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } }  /\  y  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)  ->  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2322rgen2a 2884 . . . . 5  |-  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) )
24 baspartn 19582 . . . . 5  |-  ( ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  /\  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases )
251, 23, 24mp2an 672 . . . 4  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases
26 tgcl 19598 . . . 4  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
2725, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
28 prfi 7813 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
29 pwfi 7833 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin 
<->  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin )
3028, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
31 tgdom 19607 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )
321, 31ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } }
33 domfi 7760 . . . . 5  |-  ( ( ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin  /\  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3430, 32, 33mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  e.  Fin
3534a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3627, 35elind 3684 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )
)
37 fincmp 20020 . 2  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
3836, 37syl 16 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ` cfv 5594    ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   topGenctg 14855   Topctop 19521   TopBasesctb 19525   Compccmp 20013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-cmp 20014
This theorem is referenced by:  kelac2  31215  dfac21  31216
  Copyright terms: Public domain W3C validator