Theorem kelac2lem 29585

Description: Lemma for kelac2 29586 and dfac21 29587: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kelac2lem	|- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Proof of Theorem kelac2lem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4645	. . . . 5 |- { S , { ~P U. S } } e. _V
2		vex 3081	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	elpr 4006	. . . . . . 7 |- ( x e. { S , { ~P U. S } } <-> ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) )
4		vex 3081	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	4	elpr 4006	. . . . . . 7 |- ( y e. { S , { ~P U. S } } <-> ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) )
6		eqtr3 2482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> x = y )
7	6	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
8		ineq12 3658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = ( { ~P U. S } i^i S ) )
9		incom 3654	. . . . . . . . . . 11 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = ( S i^i { ~P U. S } )
10		pwuninel 6907	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ~P U. S e. S
11		disjsn 4047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S i^i { ~P U. S } ) = (/) <-> -. ~P U. S e. S )
12	10, 11	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- ( S i^i { ~P U. S } ) = (/)
13	9, 12	eqtri 2483	. . . . . . . . . 10 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = (/)
14	8, 13	syl6eq 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = (/) )
15	14	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
16		ineq12 3658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = ( S i^i { ~P U. S } ) )
17	16, 12	syl6eq 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = (/) )
18	17	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
19		eqtr3 2482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> x = y )
20	19	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
21	7, 15, 18, 20	ccase 937	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) /\ ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
22	3, 5, 21	syl2anb 479	. . . . . 6 |- ( ( x e. { S , { ~P U. S } } /\ y e. { S , { ~P U. S } } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
23	22	rgen2a 2900	. . . . 5 |- A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) )
24		baspartn 18694	. . . . 5 |- ( ( { S , { ~P U. S } } e. _V /\ A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> { S , { ~P U. S } } e. TopBases )
25	1, 23, 24	mp2an 672	. . . 4 |- { S , { ~P U. S } } e. TopBases
26		tgcl 18709	. . . 4 |- ( { S , { ~P U. S } } e. TopBases -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
27	25, 26	mp1i 12	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
28		prfi 7700	. . . . . 6 |- { S , { ~P U. S } } e. Fin
29		pwfi 7720	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. Fin <-> ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin )
30	28, 29	mpbi 208	. . . . 5 |- ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin
31		tgdom 18718	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. _V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } )
32	1, 31	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } }
33		domfi 7648	. . . . 5 |- ( ( ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin /\ ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
34	30, 32, 33	mp2an 672	. . . 4 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin
35	34	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
36	27, 35	elind 3651	. 2 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) )
37		fincmp 19131	. 2 |- ( ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )
38	36, 37	syl 16	1 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   i^i cin 3438   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {cpr 3990   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   ~<_ cdom 7421   Fincfn 7423   topGenctg 14498   Topctop 18633   TopBasesctb 18637   Compccmp 19124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-cmp 19125

This theorem is referenced by:  kelac2  29586  dfac21  29587