Theorem kelac2lem 35934

Description: Lemma for kelac2 35935 and dfac21 35936: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kelac2lem	|- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Proof of Theorem kelac2lem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4645	. . . . 5 |- { S , { ~P U. S } } e. _V
2		vex 3050	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	elpr 3988	. . . . . . 7 |- ( x e. { S , { ~P U. S } } <-> ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) )
4		vex 3050	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	4	elpr 3988	. . . . . . 7 |- ( y e. { S , { ~P U. S } } <-> ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) )
6		eqtr3 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> x = y )
7	6	orcd 394	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
8		ineq12 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = ( { ~P U. S } i^i S ) )
9		incom 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = ( S i^i { ~P U. S } )
10		pwuninel 7027	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ~P U. S e. S
11		disjsn 4034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S i^i { ~P U. S } ) = (/) <-> -. ~P U. S e. S )
12	10, 11	mpbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( S i^i { ~P U. S } ) = (/)
13	9, 12	eqtri 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = (/)
14	8, 13	syl6eq 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = (/) )
15	14	olcd 395	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
16		ineq12 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = ( S i^i { ~P U. S } ) )
17	16, 12	syl6eq 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = (/) )
18	17	olcd 395	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
19		eqtr3 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> x = y )
20	19	orcd 394	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
21	7, 15, 18, 20	ccase 958	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) /\ ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
22	3, 5, 21	syl2anb 482	. . . . . 6 |- ( ( x e. { S , { ~P U. S } } /\ y e. { S , { ~P U. S } } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
23	22	rgen2a 2817	. . . . 5 |- A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) )
24		baspartn 19981	. . . . 5 |- ( ( { S , { ~P U. S } } e. _V /\ A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> { S , { ~P U. S } } e. TopBases )
25	1, 23, 24	mp2an 679	. . . 4 |- { S , { ~P U. S } } e. TopBases
26		tgcl 19997	. . . 4 |- ( { S , { ~P U. S } } e. TopBases -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
27	25, 26	mp1i 13	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
28		prfi 7851	. . . . . 6 |- { S , { ~P U. S } } e. Fin
29		pwfi 7874	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. Fin <-> ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin )
30	28, 29	mpbi 212	. . . . 5 |- ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin
31		tgdom 20006	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. _V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } )
32	1, 31	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } }
33		domfi 7798	. . . . 5 |- ( ( ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin /\ ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
34	30, 32, 33	mp2an 679	. . . 4 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin
35	34	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
36	27, 35	elind 3620	. 2 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) )
37		fincmp 20420	. 2 |- ( ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )
38	36, 37	syl 17	1 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   i^i cin 3405   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   {csn 3970   {cpr 3972   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   ` cfv 5585   ~<_ cdom 7572   Fincfn 7574   topGenctg 15348   Topctop 19929   TopBasesctb 19932   Compccmp 20413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-topgen 15354  df-top 19933  df-bases 19934  df-cmp 20414

This theorem is referenced by:  kelac2  35935  dfac21  35936