Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2lem Structured version   Unicode version

Theorem kelac2lem 29370
Description: Lemma for kelac2 29371 and dfac21 29372: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
kelac2lem  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )

Proof of Theorem kelac2lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4529 . . . . 5  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
2 vex 2970 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32elpr 3890 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } ) )
4 vex 2970 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
54elpr 3890 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )
6 eqtr3 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  x  =  y )
76orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
8 ineq12 3542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( { ~P U. S }  i^i  S
) )
9 incom 3538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
10 pwuninel 6786 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  ~P U. S  e.  S
11 disjsn 3931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1210, 11mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/)
139, 12eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/)
148, 13syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1514olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
16 ineq12 3542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( S  i^i  { ~P U. S } ) )
1716, 12syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
1817olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
19 eqtr3 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  x  =  y )
2019orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
217, 15, 18, 20ccase 937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } )  /\  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
223, 5, 21syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } }  /\  y  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)  ->  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2322rgen2a 2777 . . . . 5  |-  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) )
24 baspartn 18534 . . . . 5  |-  ( ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  /\  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases )
251, 23, 24mp2an 672 . . . 4  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases
26 tgcl 18549 . . . 4  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
2725, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
28 prfi 7578 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
29 pwfi 7598 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin 
<->  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin )
3028, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
31 tgdom 18558 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )
321, 31ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } }
33 domfi 7526 . . . . 5  |-  ( ( ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin  /\  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3430, 32, 33mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  e.  Fin
3534a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3627, 35elind 3535 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )
)
37 fincmp 18971 . 2  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
3836, 37syl 16 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967    i^i cin 3322   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   {cpr 3874   U.cuni 4086   class class class wbr 4287   ` cfv 5413    ~<_ cdom 7300   Fincfn 7302   topGenctg 14368   Topctop 18473   TopBasesctb 18477   Compccmp 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-cmp 18965
This theorem is referenced by:  kelac2  29371  dfac21  29372
  Copyright terms: Public domain W3C validator