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Theorem kelac2 29423
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
kelac2.z  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
kelac2.k  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
kelac2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, I
Allowed substitution hints:    S( x)    V( x)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
2 kelac2.s . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
3 kelac2lem 29422 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
4 cmptop 19003 . . 3  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
52, 3, 43syl 20 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
6 uncom 3505 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { ~P U. S } )  =  ( { ~P U. S }  u.  S )
76difeq1i 3475 . . . . . 6  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( ( { ~P U. S }  u.  S
)  \  S )
8 difun2 3763 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  u.  S )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
97, 8eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
10 snex 4538 . . . . . . 7  |-  { ~P U. S }  e.  _V
11 uniprg 4110 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ~P U. S }  e.  _V )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
122, 10, 11sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
1312difeq1d 3478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  ( ( S  u.  { ~P U. S } ) 
\  S ) )
14 incom 3548 . . . . . . 7  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
15 pwuninel 6799 . . . . . . . . 9  |-  -.  ~P U. S  e.  S
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -.  ~P U. S  e.  S
)
17 disjsn 3941 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) )
1914, 18syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) )
20 disj3 3728 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) 
<->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
2119, 20sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
229, 13, 213eqtr4a 2501 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  { ~P U. S } )
23 prex 4539 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
24 bastg 18576 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2523, 24mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
) )
2610prid2 3989 . . . . . 6  |-  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } } )
2825, 27sseldd 3362 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2922, 28eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
30 prid1g 3986 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)
31 elssuni 4126 . . . . 5  |-  ( S  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
322, 30, 313syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. { S ,  { ~P U. S } } )
33 unitg 18577 . . . . . . 7  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } } )
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } }
3534eqcomi 2447 . . . . 5  |-  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )
3635iscld2 18637 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top  /\  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
375, 32, 36syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
3829, 37mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
39 f1oi 5681 . . 3  |-  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S
4039a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S )
41 elssuni 4126 . . . . 5  |-  ( { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4226, 41mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
43 uniexg 6382 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  U. S  e.  _V )
44 pwexg 4481 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
45 snidg 3908 . . . . 5  |-  ( ~P
U. S  e.  _V  ->  ~P U. S  e. 
{ ~P U. S } )
462, 43, 44, 454syl 21 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  { ~P U. S } )
4742, 46sseldd 3362 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4847, 34syl6eleqr 2534 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) )
49 kelac2.k . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 29421 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   {csn 3882   {cpr 3884   U.cuni 4096    e. cmpt 4355    _I cid 4636    |` cres 4847   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423   X_cixp 7268   topGenctg 14381   Xt_cpt 14382   Topctop 18503   Clsdccld 18625   Compccmp 18994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-top 18508  df-bases 18510  df-cld 18628  df-cmp 18995
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