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Theorem kelac2 27031
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
kelac2.z  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
kelac2.k  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
kelac2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, I
Allowed substitution hints:    S( x)    V( x)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
2 kelac2.s . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
3 kelac2lem 27030 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
4 cmptop 17412 . . 3  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
52, 3, 43syl 19 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
6 uncom 3451 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { ~P U. S } )  =  ( { ~P U. S }  u.  S )
76difeq1i 3421 . . . . . 6  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( ( { ~P U. S }  u.  S
)  \  S )
8 difun2 3667 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  u.  S )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
97, 8eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
10 snex 4365 . . . . . . 7  |-  { ~P U. S }  e.  _V
11 uniprg 3990 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ~P U. S }  e.  _V )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
122, 10, 11sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
1312difeq1d 3424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  ( ( S  u.  { ~P U. S } ) 
\  S ) )
14 incom 3493 . . . . . . 7  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
15 pwuninel 6504 . . . . . . . . 9  |-  -.  ~P U. S  e.  S
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -.  ~P U. S  e.  S
)
17 disjsn 3828 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1816, 17sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) )
1914, 18syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) )
20 disj3 3632 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) 
<->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
2119, 20sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
229, 13, 213eqtr4a 2462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  { ~P U. S } )
23 prex 4366 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
24 bastg 16986 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2523, 24mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
) )
2610prid2 3873 . . . . . 6  |-  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } } )
2825, 27sseldd 3309 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2922, 28eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
30 prid1g 3870 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)
31 elssuni 4003 . . . . 5  |-  ( S  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
322, 30, 313syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. { S ,  { ~P U. S } } )
33 unitg 16987 . . . . . . 7  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } } )
3423, 33ax-mp 8 . . . . . 6  |-  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } }
3534eqcomi 2408 . . . . 5  |-  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )
3635iscld2 17047 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top  /\  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
375, 32, 36syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
3829, 37mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
39 f1oi 5672 . . 3  |-  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S
4039a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S )
41 elssuni 4003 . . . . 5  |-  ( { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4226, 41mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
43 uniexg 4665 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  U. S  e.  _V )
44 pwexg 4343 . . . . . 6  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
452, 43, 443syl 19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  _V )
46 snidg 3799 . . . . 5  |-  ( ~P
U. S  e.  _V  ->  ~P U. S  e. 
{ ~P U. S } )
4745, 46syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  { ~P U. S } )
4842, 47sseldd 3309 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4948, 34syl6eleqr 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) )
50 kelac2.k . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
511, 5, 38, 40, 49, 50kelac1 27029 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    _I cid 4453    |` cres 4839   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   X_cixp 7022   topGenctg 13620   Xt_cpt 13621   Topctop 16913   Clsdccld 17035   Compccmp 17403
This theorem is referenced by:  dfac21  27032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-top 16918  df-bases 16920  df-cld 17038  df-cmp 17404
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