Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem kelac2 35968
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
kelac2.z  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
kelac2.k  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
kelac2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, I
Allowed substitution hints:    S( x)    V( x)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
2 kelac2.s . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
3 kelac2lem 35967 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
4 cmptop 20459 . . 3  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
52, 3, 43syl 18 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
6 uncom 3590 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { ~P U. S } )  =  ( { ~P U. S }  u.  S )
76difeq1i 3559 . . . . . 6  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( ( { ~P U. S }  u.  S
)  \  S )
8 difun2 3859 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  u.  S )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
97, 8eqtri 2484 . . . . 5  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
10 snex 4655 . . . . . . 7  |-  { ~P U. S }  e.  _V
11 uniprg 4226 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ~P U. S }  e.  _V )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
122, 10, 11sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
1312difeq1d 3562 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  ( ( S  u.  { ~P U. S } ) 
\  S ) )
14 incom 3637 . . . . . . 7  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
15 pwuninel 7048 . . . . . . . . 9  |-  -.  ~P U. S  e.  S
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -.  ~P U. S  e.  S
)
17 disjsn 4044 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1816, 17sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) )
1914, 18syl5eq 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) )
20 disj3 3821 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) 
<->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
2119, 20sylib 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
229, 13, 213eqtr4a 2522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  { ~P U. S } )
23 prex 4656 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
24 bastg 20030 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2523, 24mp1i 13 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
) )
2610prid2 4094 . . . . . 6  |-  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } } )
2825, 27sseldd 3445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2922, 28eqeltrd 2540 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
30 prid1g 4091 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)
31 elssuni 4241 . . . . 5  |-  ( S  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
322, 30, 313syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. { S ,  { ~P U. S } } )
33 unitg 20031 . . . . . . 7  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } } )
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } }
3534eqcomi 2471 . . . . 5  |-  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )
3635iscld2 20092 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top  /\  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
375, 32, 36syl2anc 671 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
3829, 37mpbird 240 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
39 f1oi 5873 . . 3  |-  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S
4039a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S )
41 elssuni 4241 . . . . 5  |-  ( { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4226, 41mp1i 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
43 uniexg 6615 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  U. S  e.  _V )
44 pwexg 4601 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
45 snidg 4006 . . . . 5  |-  ( ~P
U. S  e.  _V  ->  ~P U. S  e. 
{ ~P U. S } )
462, 43, 44, 454syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  { ~P U. S } )
4742, 46sseldd 3445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4847, 34syl6eleqr 2551 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) )
49 kelac2.k . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 35966 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   {cpr 3982   U.cuni 4212    |-> cmpt 4475    _I cid 4763    |` cres 4855   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   X_cixp 7548   topGenctg 15385   Xt_cpt 15386   Topctop 19966   Clsdccld 20080   Compccmp 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fi 7951  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-top 19970  df-bases 19971  df-cld 20083  df-cmp 20451
This theorem is referenced by:  dfac21  35969
  Copyright terms: Public domain W3C validator