Theorem kbval 11513

Description: The outer product of two vectors, expressed as | A>. <.B | in Dirac notation. See df-kb 11414.

Assertion

Ref	Expression
kbval	|- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem kbval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 10501	. . 3 |- ~H e. _V
2	1	opabex2 4539	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih B) .h A))} e. _V
3		opreq2 4890	. . . . 5 |- (z = A -> ((x .ih w) .h z) = ((x .ih w) .h A))
4	3	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (z = A -> (y = ((x .ih w) .h z) <-> y = ((x .ih w) .h A)))
5	4	anbi2d 678	. . 3 |- (z = A -> ((x e. ~H /\ y = ((x .ih w) .h z)) <-> (x e. ~H /\ y = ((x .ih w) .h A))))
6	5	opabbidv 3401	. 2 |- (z = A -> {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih w) .h z))} = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih w) .h A))})
7		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (w = B -> (x .ih w) = (x .ih B))
8	7	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (w = B -> ((x .ih w) .h A) = ((x .ih B) .h A))
9	8	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (w = B -> (y = ((x .ih w) .h A) <-> y = ((x .ih B) .h A)))
10	9	anbi2d 678	. . 3 |- (w = B -> ((x e. ~H /\ y = ((x .ih w) .h A)) <-> (x e. ~H /\ y = ((x .ih B) .h A))))
11	10	opabbidv 3401	. 2 |- (w = B -> {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih w) .h A))} = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih B) .h A))})
12		df-kb 11414	. 2 |- ketbra = {<.<.z, w>., t>. | ((z e. ~H /\ w e. ~H) /\ t = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih w) .h z))})}
13	2, 6, 11, 12	oprabval2 4957	1 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {copab 3395  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   .h csm 10422   .ih csp 10425   ketbra ck 10458

This theorem is referenced by:  kbop 11514  kbvalval 11515  kbmul 11516  kbass2 11688  kbass5 11691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-kb 11414

Copyright terms: Public domain