HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbpj Structured version   Unicode version

Theorem kbpj 27168
Description: If a vector  A has norm 1, the outer product  |  A >.  <. A  | is the projector onto the subspace spanned by  A. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbpj  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  -> 
( A  ketbra  A )  =  ( proj h `  ( span `  { A } ) ) )

Proof of Theorem kbpj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6241 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  A )  =  1  ->  ( ( normh `  A ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2 sq1 12217 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
31, 2syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( (
normh `  A )  =  1  ->  ( ( normh `  A ) ^
2 )  =  1 )
43oveq2d 6250 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  =  1  ->  ( (
x  .ih  A )  /  ( ( normh `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( x  .ih  A
)  /  1 ) )
5 hicl 26291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  A
)  e.  CC )
65ancoms 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  A
)  e.  CC )
76div1d 10273 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  A )  /  1 )  =  ( x  .ih  A ) )
84, 7sylan9eqr 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  A )  =  1 )  -> 
( ( x  .ih  A )  /  ( (
normh `  A ) ^
2 ) )  =  ( x  .ih  A
) )
98an32s 805 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  A )  /  ( (
normh `  A ) ^
2 ) )  =  ( x  .ih  A
) )
109oveq1d 6249 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  A )  / 
( ( normh `  A
) ^ 2 ) )  .h  A )  =  ( ( x 
.ih  A )  .h  A ) )
11 simpll 752 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  ~H )
12 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
13 ax-1ne0 9511 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
14 neeq1 2684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  A )  =  1  ->  ( ( normh `  A )  =/=  0  <->  1  =/=  0
) )
1513, 14mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( (
normh `  A )  =  1  ->  ( normh `  A )  =/=  0
)
16 normne0 26341 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  0h )
)
1715, 16syl5ib 219 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  =  1  ->  A  =/=  0h ) )
1817imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  ->  A  =/=  0h )
1918adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  =/=  0h )
20 pjspansn 26789 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  x  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  (
( proj h `  ( span `  { A } ) ) `  x )  =  ( ( ( x  .ih  A )  /  ( (
normh `  A ) ^
2 ) )  .h  A ) )
2111, 12, 19, 20syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  ( span `  { A } ) ) `  x )  =  ( ( ( x  .ih  A )  /  ( (
normh `  A ) ^
2 ) )  .h  A ) )
22 kbval 27166 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( A  ketbra  A ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  A )  .h  A ) )
23223anidm12 1287 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  A ) `  x )  =  ( ( x 
.ih  A )  .h  A ) )
2423adantlr 713 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  A ) `  x )  =  ( ( x 
.ih  A )  .h  A ) )
2510, 21, 243eqtr4rd 2454 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  A ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( span `  { A } ) ) `  x ) )
2625ralrimiva 2817 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( A  ketbra  A ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( span `  { A } ) ) `  x ) )
27 kbop 27165 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  ketbra  A ) : ~H --> ~H )
2827anidms 643 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  ketbra  A ) : ~H --> ~H )
29 ffn 5670 . . . . 5  |-  ( ( A  ketbra  A ) : ~H --> ~H  ->  ( A 
ketbra  A )  Fn  ~H )
3028, 29syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  ketbra  A )  Fn 
~H )
31 spansnch 26772 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( span `  { A }
)  e.  CH )
32 pjfn 26921 . . . . 5  |-  ( (
span `  { A } )  e.  CH  ->  ( proj h `  ( span `  { A } ) )  Fn 
~H )
3331, 32syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( proj h `  ( span `  { A } ) )  Fn  ~H )
34 eqfnfv 5915 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  A )  Fn  ~H  /\  ( proj h `  ( span `  { A } ) )  Fn  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  A )  =  ( proj h `  ( span `  { A } ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( A  ketbra  A ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( span `  { A } ) ) `  x ) ) )
3530, 33, 34syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( A  ketbra  A )  =  ( proj h `  ( span `  { A } ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( A 
ketbra  A ) `  x
)  =  ( (
proj h `  ( span `  { A } ) ) `  x ) ) )
3635adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  -> 
( ( A  ketbra  A )  =  ( proj h `  ( span `  { A } ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( A  ketbra  A ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( span `  { A } ) ) `  x ) ) )
3726, 36mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  =  1 )  -> 
( A  ketbra  A )  =  ( proj h `  ( span `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   {csn 3971    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   0cc0 9442   1c1 9443    / cdiv 10167   2c2 10546   ^cexp 12120   ~Hchil 26130    .h csm 26132    .ih csp 26133   normhcno 26134   0hc0v 26135   CHcch 26140   spancspn 26143   proj hcpjh 26148    ketbra ck 26168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cc 8767  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522  ax-hilex 26210  ax-hfvadd 26211  ax-hvcom 26212  ax-hvass 26213  ax-hv0cl 26214  ax-hvaddid 26215  ax-hfvmul 26216  ax-hvmulid 26217  ax-hvmulass 26218  ax-hvdistr1 26219  ax-hvdistr2 26220  ax-hvmul0 26221  ax-hfi 26290  ax-his1 26293  ax-his2 26294  ax-his3 26295  ax-his4 26296  ax-hcompl 26413
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-acn 8275  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-lm 19915  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cfil 21878  df-cau 21879  df-cmet 21880  df-grpo 25487  df-gid 25488  df-ginv 25489  df-gdiv 25490  df-ablo 25578  df-subgo 25598  df-vc 25733  df-nv 25779  df-va 25782  df-ba 25783  df-sm 25784  df-0v 25785  df-vs 25786  df-nmcv 25787  df-ims 25788  df-dip 25905  df-ssp 25929  df-ph 26022  df-cbn 26073  df-hnorm 26179  df-hba 26180  df-hvsub 26182  df-hlim 26183  df-hcau 26184  df-sh 26418  df-ch 26433  df-oc 26464  df-ch0 26465  df-shs 26520  df-span 26521  df-pjh 26607  df-kb 27063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator