HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbass5 Structured version   Unicode version

Theorem kbass5 25677
Description: Dirac bra-ket associative law  (  |  A >.  <. B  |  ) (  |  C >.  <. D  | 
)  =  ( (  |  A >.  <. B  | 
)  |  C >. )
<. D  |. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )

Proof of Theorem kbass5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbval 25511 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( C  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
213expa 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C 
ketbra  D ) `  x
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
32adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  C ) )
43fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) ) )
5 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  ~H )
6 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  B  e.  ~H )
7 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
8 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  D  e.  ~H )
9 hicl 24635 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
11 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  C  e.  ~H )
12 hvmulcl 24568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
14 kbval 25511 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( x  .ih  D
)  .h  C )  e.  ~H )  -> 
( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
155, 6, 13, 14syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
164, 15eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
17 kbop 25510 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
1817adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
19 fvco3 5878 . . . . 5  |-  ( ( ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
2018, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
21 kbval 25511 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  ketbra  B ) `
 C )  =  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) )
225, 6, 11, 21syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  =  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) )
2322oveq2d 6217 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
24 kbop 25510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H )
2524ffvelrnda 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  e.  ~H )
2625adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
28 kbval 25511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x  .ih  D
)  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
2927, 8, 7, 28syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
30 ax-his3 24639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  .h  C ) 
.ih  B )  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) ) )
3110, 11, 6, 30syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  .h  C )  .ih  B
)  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) ) )
3231oveq1d 6216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) )  .h  A
) )
33 hicl 24635 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
3411, 6, 33syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
35 ax-hvmulass 24562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  ( C  .ih  B )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) )  .h  A )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3610, 34, 5, 35syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  x.  ( C  .ih  B
) )  .h  A
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) ) )
3732, 36eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3823, 29, 373eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
3916, 20, 383eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) )
4039ralrimiva 2830 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) )
41 fco 5677 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H  /\  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
4224, 17, 41syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
43 kbop 25510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4425, 43sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e. 
~H )  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4544anasss 647 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
46 ffn 5668 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  Fn  ~H )
47 ffn 5668 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  Fn  ~H )
48 eqfnfv 5907 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) )  Fn 
~H  /\  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D )  Fn  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) ) )
4946, 47, 48syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  /\  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5042, 45, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5140, 50mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    o. ccom 4953    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392    x. cmul 9399   ~Hchil 24474    .h csm 24476    .ih csp 24477    ketbra ck 24512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-hilex 24554  ax-hfvmul 24560  ax-hvmulass 24562  ax-hfi 24634  ax-his3 24639
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-kb 25408
This theorem is referenced by:  kbass6  25678
  Copyright terms: Public domain W3C validator