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Theorem kbass5 27155
Description: Dirac bra-ket associative law  (  |  A >.  <. B  |  ) (  |  C >.  <. D  | 
)  =  ( (  |  A >.  <. B  | 
)  |  C >. )
<. D  |. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )

Proof of Theorem kbass5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbval 26989 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( C  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
213expa 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C 
ketbra  D ) `  x
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
32adantll 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  C ) )
43fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) ) )
5 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  ~H )
6 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  B  e.  ~H )
7 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
8 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  D  e.  ~H )
9 hicl 26114 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
107, 8, 9syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
11 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  C  e.  ~H )
12 hvmulcl 26047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
1310, 11, 12syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
14 kbval 26989 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( x  .ih  D
)  .h  C )  e.  ~H )  -> 
( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
155, 6, 13, 14syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
164, 15eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
17 kbop 26988 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
1817adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
19 fvco3 5851 . . . . 5  |-  ( ( ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
2018, 19sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
21 kbval 26989 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  ketbra  B ) `
 C )  =  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) )
225, 6, 11, 21syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  =  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) )
2322oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
24 kbop 26988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H )
2524ffvelrnda 5933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  e.  ~H )
2625adantrr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
2726adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
28 kbval 26989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x  .ih  D
)  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
2927, 8, 7, 28syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
30 ax-his3 26118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  .h  C ) 
.ih  B )  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) ) )
3110, 11, 6, 30syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  .h  C )  .ih  B
)  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) ) )
3231oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) )  .h  A
) )
33 hicl 26114 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
3411, 6, 33syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
35 ax-hvmulass 26041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  ( C  .ih  B )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) )  .h  A )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3610, 34, 5, 35syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  x.  ( C  .ih  B
) )  .h  A
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) ) )
3732, 36eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3823, 29, 373eqtr4d 2433 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
3916, 20, 383eqtr4d 2433 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) )
4039ralrimiva 2796 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) )
41 fco 5649 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H  /\  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
4224, 17, 41syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
43 kbop 26988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4425, 43sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e. 
~H )  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4544anasss 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
46 ffn 5639 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  Fn  ~H )
47 ffn 5639 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  Fn  ~H )
48 eqfnfv 5883 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) )  Fn 
~H  /\  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D )  Fn  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) ) )
4946, 47, 48syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  /\  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5042, 45, 49syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5140, 50mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732    o. ccom 4917    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401    x. cmul 9408   ~Hchil 25953    .h csm 25955    .ih csp 25956    ketbra ck 25991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-hilex 26033  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulass 26041  ax-hfi 26113  ax-his3 26118
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-kb 26886
This theorem is referenced by:  kbass6  27156
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