Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jumpncnp Structured version   Unicode version

Theorem jumpncnp 37352
 Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
jumpncnp.k fld
jumpncnp.a
jumpncnp.3
jumpncnp.f
jumpncnp.b
jumpncnp.lpt1
jumpncnp.lpt2
jumpncnp.8 lim
jumpncnp.9 lim
jumpncnp.lner
Assertion
Ref Expression
jumpncnp fld

Proof of Theorem jumpncnp
StepHypRef Expression
1 jumpncnp.k . . . . 5 fld
2 jumpncnp.a . . . . 5
3 jumpncnp.3 . . . . 5
4 jumpncnp.f . . . . 5
5 jumpncnp.lpt1 . . . . 5
6 jumpncnp.lpt2 . . . . 5
7 jumpncnp.8 . . . . 5 lim
8 jumpncnp.9 . . . . 5 lim
9 jumpncnp.lner . . . . 5
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9limclner 37308 . . . 4 lim
11 ne0i 3764 . . . . 5 lim lim
1211necon2bi 2659 . . . 4 lim lim
1310, 12syl 17 . . 3 lim
1413intnand 924 . 2 lim
15 ax-resscn 9585 . . 3
16 jumpncnp.b . . 3
17 eqid 2420 . . . 4 fld fld
1817tgioo2 21725 . . . . 5 fldt
193, 18eqtri 2449 . . . 4 fldt
2017, 19cnplimc 22716 . . 3 fld lim
2115, 16, 20sylancr 667 . 2 fld lim
2214, 21mtbird 302 1 fld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616   cin 3432   wss 3433  c0 3758   crn 4846   cres 4847  wf 5588  cfv 5592  (class class class)co 6296  cc 9526  cr 9527   cpnf 9661   cmnf 9662  cioo 11624   ↾t crest 15271  ctopn 15272  ctg 15288  ℂfldccnfld 18898  clp 20074   ccnp 20165   lim climc 22691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-fz 11772  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-rest 15273  df-topn 15274  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-cnp 20168  df-xms 21259  df-ms 21260  df-limc 22695 This theorem is referenced by:  fouriersw  37667
 Copyright terms: Public domain W3C validator