Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jumpncnp Structured version   Unicode version

Theorem jumpncnp 37352
Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
jumpncnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
jumpncnp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
jumpncnp.3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
jumpncnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
jumpncnp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
jumpncnp.lpt1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ) )
jumpncnp.lpt2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ) )
jumpncnp.8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
jumpncnp.9  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
jumpncnp.lner  |-  ( ph  ->  L  =/=  R )
Assertion
Ref Expression
jumpncnp  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  ( ( J  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )

Proof of Theorem jumpncnp
StepHypRef Expression
1 jumpncnp.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2 jumpncnp.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 jumpncnp.3 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 jumpncnp.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
5 jumpncnp.lpt1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ) )
6 jumpncnp.lpt2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ) )
7 jumpncnp.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
8 jumpncnp.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
9 jumpncnp.lner . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  =/=  R )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9limclner 37308 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  (/) )
11 ne0i 3764 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
1211necon2bi 2659 . . . 4  |-  ( ( F lim CC  B )  =  (/)  ->  -.  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) )
1310, 12syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
1413intnand 924 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F : RR
--> CC  /\  ( F `
 B )  e.  ( F lim CC  B
) ) )
15 ax-resscn 9585 . . 3  |-  RR  C_  CC
16 jumpncnp.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
17 eqid 2420 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1817tgioo2 21725 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
193, 18eqtri 2449 . . . 4  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
2017, 19cnplimc 22716 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  B  e.  RR )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( F : RR
--> CC  /\  ( F `
 B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
2115, 16, 20sylancr 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
)  <->  ( F : RR
--> CC  /\  ( F `
 B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
2214, 21mtbird 302 1  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  ( ( J  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ran crn 4846    |` cres 4847   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   +oocpnf 9661   -oocmnf 9662   (,)cioo 11624   ↾t crest 15271   TopOpenctopn 15272   topGenctg 15288  ℂfldccnfld 18898   limPtclp 20074    CnP ccnp 20165   lim CC climc 22691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-fz 11772  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-rest 15273  df-topn 15274  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-cnp 20168  df-xms 21259  df-ms 21260  df-limc 22695
This theorem is referenced by:  fouriersw  37667
  Copyright terms: Public domain W3C validator