Theorem joinlem 16817

Description: Lemma for join properties.

Hypotheses

Ref	Expression
joinval2.b	|- B = (base` K)
joinval2.l	|- L = (le` K)
joinval2.j	|- J = (join` K)

Assertion

Ref	Expression
joinlem	|- (((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (XJY) e. B) -> ((XL(XJY) /\ YL(XJY)) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> (XJY)Lz)))

Distinct variable groups:   z,B   z,J   z,K   z,L   z,X   z,Y

Proof of Theorem joinlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinval2.b	. . . . . . 7 |- B = (base` K)
2		joinval2.l	. . . . . . 7 |- L = (le` K)
3		joinval2.j	. . . . . . 7 |- J = (join` K)
4	1, 2, 3	joinval2 16816	. . . . . 6 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XJY) = (iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))))
5	4	eleq1d 1963	. . . . 5 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XJY) e. B <-> (iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) e. B))
6		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- (base` K) e. _V
7	1, 6	eqeltri 1967	. . . . . . 7 |- B e. _V
8	7	riotaclb 5573	. . . . . 6 |- (E!x e. B ((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)) <-> (iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) e. B)
9		riota4 5577	. . . . . 6 |- (E!x e. B ((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)) -> [(iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)))
10	8, 9	sylbir 218	. . . . 5 |- ((iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) e. B -> [(iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)))
11	5, 10	syl6bi 231	. . . 4 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XJY) e. B -> [(iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))))
12		dfsbcq 2455	. . . . 5 |- ((XJY) = (iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) -> ([(XJY) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)) <-> [(iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))))
13	4, 12	syl 12	. . . 4 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> ([(XJY) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)) <-> [(iota_x e. B((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))))
14	11, 13	sylibrd 221	. . 3 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XJY) e. B -> [(XJY) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz))))
15		oprex 4907	. . . 4 |- (XJY) e. _V
16		breq2 3342	. . . . . 6 |- (x = (XJY) -> (XLx <-> XL(XJY)))
17		breq2 3342	. . . . . 6 |- (x = (XJY) -> (YLx <-> YL(XJY)))
18	16, 17	anbi12d 690	. . . . 5 |- (x = (XJY) -> ((XLx /\ YLx) <-> (XL(XJY) /\ YL(XJY))))
19		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (x = (XJY) -> (xLz <-> (XJY)Lz))
20	19	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (x = (XJY) -> (((XLz /\ YLz) -> xLz) <-> ((XLz /\ YLz) -> (XJY)Lz)))
21	20	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (x = (XJY) -> (A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz) <-> A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> (XJY)Lz)))
22	18, 21	anbi12d 690	. . . 4 |- (x = (XJY) -> (((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)) <-> ((XL(XJY) /\ YL(XJY)) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> (XJY)Lz))))
23	15, 22	sbcie 2485	. . 3 |- ([(XJY) / x]((XLx /\ YLx) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> xLz)) <-> ((XL(XJY) /\ YL(XJY)) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> (XJY)Lz)))
24	14, 23	syl6ib 229	. 2 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XJY) e. B -> ((XL(XJY) /\ YL(XJY)) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> (XJY)Lz))))
25	24	imp 377	1 |- (((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (XJY) e. B) -> ((XL(XJY) /\ YL(XJY)) /\ A.z e. B ((XLz /\ YLz) -> (XJY)Lz)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  E!wreu 2107  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  iota_crio 5555  basecbs 16758  lecple 16759  joincjn 16766

This theorem is referenced by:  lejoin1 16818  lejoin2 16819  joinle 16820

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-lub 16799  df-join 16801

Copyright terms: Public domain