Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joinfval Structured version   Unicode version

Theorem joinfval 15500
 Description: Value of join function for a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.) TODO: prove joinfval2 15501 first to reduce net proof size (existence part)?
Hypotheses
Ref Expression
joinfval.u
joinfval.j
Assertion
Ref Expression
joinfval
Distinct variable groups:   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem joinfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3102 . 2
2 joinfval.j . . 3
3 fvex 5862 . . . . . . 7
4 moeq 3259 . . . . . . . 8
54a1i 11 . . . . . . 7
6 eqid 2441 . . . . . . 7
73, 3, 5, 6oprabex 6769 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 joinfval.u . . . . . . . . . . . 12
109lubfun 15479 . . . . . . . . . . 11
11 funbrfv2b 5898 . . . . . . . . . . 11
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14
14 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
1713, 14, 9, 15, 16lubelss 15481 . . . . . . . . . . . . 13
1817ex 434 . . . . . . . . . . . 12
19 vex 3096 . . . . . . . . . . . . 13
20 vex 3096 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20prss 4165 . . . . . . . . . . . 12
2218, 21syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11
23 eqcom 2450 . . . . . . . . . . . . 13
2423biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2622, 25anim12d 563 . . . . . . . . . 10
2712, 26syl5bi 217 . . . . . . . . 9
2827alrimiv 1704 . . . . . . . 8
2928alrimiv 1704 . . . . . . 7
3029alrimiv 1704 . . . . . 6
31 ssoprab2 6334 . . . . . 6
3230, 31syl 16 . . . . 5
338, 32ssexd 4580 . . . 4
34 fveq2 5852 . . . . . . . 8
3534, 9syl6eqr 2500 . . . . . . 7
3635breqd 4444 . . . . . 6
3736oprabbidv 6332 . . . . 5
38 df-join 15475 . . . . 5
3937, 38fvmptg 5935 . . . 4
4033, 39mpdan 668 . . 3
412, 40syl5eq 2494 . 2
421, 41syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1379   wceq 1381   wcel 1802  wmo 2267  cvv 3093   wss 3458  cpr 4012   class class class wbr 4433   cdm 4985   wfun 5568  cfv 5574  coprab 6278  cbs 14504  cple 14576  club 15440  cjn 15442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-oprab 6281  df-lub 15473  df-join 15475 This theorem is referenced by:  joinfval2  15501  join0  15637  odumeet  15639  odujoin  15641
 Copyright terms: Public domain W3C validator