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Theorem joineu 15514
Description: Uniqueness of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
joinval2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
joinval2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
joinval2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
joinlem.e  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
Assertion
Ref Expression
joineu  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x,  .\/ , z    x, K, z    x, X, z   
x, Y, z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    .<_ ( x, z)    V( x, z)

Proof of Theorem joineu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinlem.e . 2  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 joinval2.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 joinval2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
5 joinval2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 joinval2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
72, 3, 4, 5, 6joindef 15508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  <->  { X ,  Y }  e.  dom  ( lub `  K ) ) )
8 joinval2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 joinval2.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 biid 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
114adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  ( lub `  K ) )  ->  K  e.  V )
12 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  ( lub `  K ) )  ->  { X ,  Y }  e.  dom  ( lub `  K ) )
138, 9, 2, 10, 11, 12lubeu 15487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  ( lub `  K ) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1413ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { X ,  Y }  e.  dom  ( lub `  K )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
158, 9, 3, 4, 5, 6joinval2lem 15512 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
165, 6, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1716reubidv 3051 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1814, 17sylibd 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { X ,  Y }  e.  dom  ( lub `  K )  ->  E! x  e.  B  ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
197, 18sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  ->  E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
201, 19mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E!wreu 2819   {cpr 4035   <.cop 4039   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   ` cfv 5594   Basecbs 14507   lecple 14579   lubclub 15446   joincjn 15448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-oprab 6299  df-lub 15478  df-join 15480
This theorem is referenced by:  joinlem  15515
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