MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joindm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem joindm 16327
Description: Domain of join function for a poset-type structure. (Contributed by NM, 16-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joinfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
joinfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joindm  |-  ( K  e.  V  ->  dom  .\/  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y }  e.  dom  U }
)
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    U( x, y)    .\/ ( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem joindm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinfval.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
2 joinfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2joinfval2 16326 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  .\/  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) } )
43dmeqd 5042 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  dom  .\/  =  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) } )
5 dmoprab 6396 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) }
6 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( U `
 { x ,  y } )  e. 
_V
76isseti 3037 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  ( U `
 { x ,  y } )
8 19.42v 1842 . . . . 5  |-  ( E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  {
x ,  y } ) )  <->  ( {
x ,  y }  e.  dom  U  /\  E. z  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) )
97, 8mpbiran2 933 . . . 4  |-  ( E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  {
x ,  y } ) )  <->  { x ,  y }  e.  dom  U )
109opabbii 4460 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  {
x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  { x ,  y }  e.  dom  U }
115, 10eqtri 2493 . 2  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  { x ,  y }  e.  dom  U }
124, 11syl6eq 2521 1  |-  ( K  e.  V  ->  dom  .\/  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y }  e.  dom  U }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cpr 3961   {copab 4453   dom cdm 4839   ` cfv 5589   {coprab 6309   lubclub 16265   joincjn 16267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-oprab 6312  df-lub 16298  df-join 16300
This theorem is referenced by:  joindef  16328  joindmss  16331
  Copyright terms: Public domain W3C validator