MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joindm Structured version   Unicode version

Theorem joindm 15760
Description: Domain of join function for a poset-type structure. (Contributed by NM, 16-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joinfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
joinfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joindm  |-  ( K  e.  V  ->  dom  .\/  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y }  e.  dom  U }
)
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    U( x, y)    .\/ ( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem joindm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinfval.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
2 joinfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2joinfval2 15759 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  .\/  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) } )
43dmeqd 5215 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  dom  .\/  =  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) } )
5 dmoprab 6382 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) }
6 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( U `
 { x ,  y } )  e. 
_V
76isseti 3115 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  ( U `
 { x ,  y } )
8 19.42v 1776 . . . . 5  |-  ( E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  {
x ,  y } ) )  <->  ( {
x ,  y }  e.  dom  U  /\  E. z  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) )
97, 8mpbiran2 919 . . . 4  |-  ( E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  {
x ,  y } ) )  <->  { x ,  y }  e.  dom  U )
109opabbii 4521 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  {
x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  { x ,  y }  e.  dom  U }
115, 10eqtri 2486 . 2  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  U  /\  z  =  ( U `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  { x ,  y }  e.  dom  U }
124, 11syl6eq 2514 1  |-  ( K  e.  V  ->  dom  .\/  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y }  e.  dom  U }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cpr 4034   {copab 4514   dom cdm 5008   ` cfv 5594   {coprab 6297   lubclub 15698   joincjn 15700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-oprab 6300  df-lub 15731  df-join 15733
This theorem is referenced by:  joindef  15761  joindmss  15764
  Copyright terms: Public domain W3C validator