Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem jm3.1lem2 29372
Description: Lemma for jm3.1 29374. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.b  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
jm3.1.d  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelre 10876 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  RR )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
4 jm3.1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
54nnnn0d 10641 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
63, 5reexpcld 12030 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
7 jm3.1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8 eluzelre 10876 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 2re 10396 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
11 remulcl 9372 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
1210, 9, 11sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
1312, 3remulcld 9419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  e.  RR )
143resqcld 12039 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR )
1513, 14resubcld 9781 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
16 1re 9390 . . 3  |-  1  e.  RR
17 resubcl 9678 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
1815, 16, 17sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
19 jm3.1.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 29371 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  A )
219, 3remulcld 9419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  e.  RR )
22 resubcl 9678 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
233, 16, 22sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
2421, 23readdcld 9418 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  e.  RR )
25 eluz2b1 10931 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  < 
K ) )
2625simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  K )
271, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  K )
28 eluz2b2 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
2928simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
307, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3130nngt0d 10370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  A )
32 ltmulgt11 10194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  K  <->  A  <  ( A  x.  K ) ) )
339, 3, 31, 32syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  K  <->  A  <  ( A  x.  K ) ) )
3427, 33mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  x.  K ) )
35 uz2m1nn 10934 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
361, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
3736nnrpd 11031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  RR+ )
3821, 37ltaddrpd 11061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  <  ( ( A  x.  K )  +  ( K  - 
1 ) ) )
399, 21, 24, 34, 38lttrd 9537 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( A  x.  K )  +  ( K  - 
1 ) ) )
40 peano2re 9547 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
413, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
4241, 3remulcld 9419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  e.  RR )
43 resubcl 9678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  K
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
4421, 16, 43sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
4544, 14resubcld 9781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
463recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
4746exp1d 12008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  =  K )
48 eluz2b2 10932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
4948simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
5150nnge1d 10369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  K )
52 nnuz 10901 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
534, 52syl6eleq 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
543, 51, 53leexp2ad 12045 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  <_  ( K ^ N ) )
5547, 54eqbrtrrd 4319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  <_  ( K ^ N ) )
563, 6, 9, 55, 20lelttrd 9534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  <  A )
57 eluzelz 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  ZZ )
581, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
59 eluzelz 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
607, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
61 zltp1le 10699 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( K  <  A  <->  ( K  +  1 )  <_  A ) )
6258, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  <  A  <->  ( K  +  1 )  <_  A ) )
6356, 62mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  <_  A )
6450nngt0d 10370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  K )
65 lemul1 10186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( ( K  + 
1 )  <_  A  <->  ( ( K  +  1 )  x.  K )  <_  ( A  x.  K ) ) )
6641, 9, 3, 64, 65syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  <_  A  <->  ( ( K  +  1 )  x.  K )  <_  ( A  x.  K ) ) )
6763, 66mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  <_  ( A  x.  K ) )
6842, 21, 45, 67leadd1dd 9958 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) )  <_  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
6921recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  e.  CC )
7042, 14resubcld 9781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
7170recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  CC )
72 ax-1cn 9345 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7469, 71, 73addsub12d 9747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^
2 ) )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) ) )
7546, 73, 46adddird 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  =  ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K ) ) )
7646sqvald 12010 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K ) )
7775, 76oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K ) )  -  ( K  x.  K
) ) )
7846, 46mulcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  x.  K
)  e.  CC )
79 mulcl 9371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( 1  x.  K
)  e.  CC )
8072, 46, 79sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  K
)  e.  CC )
8178, 80pncan2d 9726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K
) )  -  ( K  x.  K )
)  =  ( 1  x.  K ) )
8246mulid2d 9409 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  K
)  =  K )
8377, 81, 823eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  K )
8483oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( K  - 
1 ) )
8584oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) ) )
8642recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  e.  CC )
8714recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  CC )
8844recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  CC )
8986, 87, 88subadd23d 9746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
9074, 85, 893eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
91 2cnd 10399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
929recnd 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9391, 92, 46mulassd 9414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  =  ( 2  x.  ( A  x.  K ) ) )
94692timesd 10572 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  x.  K )
)  =  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) ) )
9593, 94eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  =  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) ) )
9695oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  x.  K
)  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^
2 ) )  - 
1 ) )
9821, 21readdcld 9418 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  e.  RR )
9998recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  e.  CC )
10099, 87, 73sub32d 9756 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  x.  K
)  +  ( A  x.  K ) )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) )
10169, 69, 73addsubassd 9744 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K
) )  -  1 )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  - 
1 ) ) )
102101oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  - 
1 ) )  -  ( K ^ 2 ) ) )
10369, 88, 87addsubassd 9744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
104102, 103eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
10597, 100, 1043eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
10668, 90, 1053brtr4d 4327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  <_  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
1079, 24, 18, 39, 106ltletrd 9536 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
1086, 9, 18, 20, 107lttrd 9537 1  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   2c2 10376   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ^cexp 11870   Yrm crmy 29247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-numer 13818  df-denom 13819  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-squarenn 29187  df-pell1qr 29188  df-pell14qr 29189  df-pell1234qr 29190  df-pellfund 29191  df-rmx 29248  df-rmy 29249
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  29373  jm3.1  29374
  Copyright terms: Public domain W3C validator