Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem jm3.1lem2 30888
Description: Lemma for jm3.1 30890. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.b  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
jm3.1.d  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelre 11104 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  RR )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
4 jm3.1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
54nnnn0d 10864 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
63, 5reexpcld 12307 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
7 jm3.1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8 eluzelre 11104 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 2re 10617 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
11 remulcl 9589 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
1210, 9, 11sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
1312, 3remulcld 9636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  e.  RR )
143resqcld 12316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR )
1513, 14resubcld 9999 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
16 1re 9607 . . 3  |-  1  e.  RR
17 resubcl 9895 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
1815, 16, 17sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
19 jm3.1.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 30887 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  A )
219, 3remulcld 9636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  e.  RR )
22 resubcl 9895 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
233, 16, 22sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
2421, 23readdcld 9635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  e.  RR )
25 eluz2b1 11165 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  < 
K ) )
2625simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  K )
271, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  K )
28 eluz2b2 11166 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
2928simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
307, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3130nngt0d 10591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  A )
32 ltmulgt11 10414 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  K  <->  A  <  ( A  x.  K ) ) )
339, 3, 31, 32syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  K  <->  A  <  ( A  x.  K ) ) )
3427, 33mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  x.  K ) )
35 uz2m1nn 11168 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
361, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
3736nnrpd 11267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  RR+ )
3821, 37ltaddrpd 11297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  <  ( ( A  x.  K )  +  ( K  - 
1 ) ) )
399, 21, 24, 34, 38lttrd 9754 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( A  x.  K )  +  ( K  - 
1 ) ) )
40 peano2re 9764 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
413, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
4241, 3remulcld 9636 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  e.  RR )
43 resubcl 9895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  K
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
4421, 16, 43sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
4544, 14resubcld 9999 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
463recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
4746exp1d 12285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  =  K )
48 eluz2b2 11166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
4948simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
5150nnge1d 10590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  K )
52 nnuz 11129 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
534, 52syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
543, 51, 53leexp2ad 12322 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  <_  ( K ^ N ) )
5547, 54eqbrtrrd 4475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  <_  ( K ^ N ) )
563, 6, 9, 55, 20lelttrd 9751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  <  A )
57 eluzelz 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  ZZ )
581, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
59 eluzelz 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
607, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
61 zltp1le 10924 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( K  <  A  <->  ( K  +  1 )  <_  A ) )
6258, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  <  A  <->  ( K  +  1 )  <_  A ) )
6356, 62mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  <_  A )
6450nngt0d 10591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  K )
65 lemul1 10406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( ( K  + 
1 )  <_  A  <->  ( ( K  +  1 )  x.  K )  <_  ( A  x.  K ) ) )
6641, 9, 3, 64, 65syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  <_  A  <->  ( ( K  +  1 )  x.  K )  <_  ( A  x.  K ) ) )
6763, 66mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  <_  ( A  x.  K ) )
6842, 21, 45, 67leadd1dd 10178 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) )  <_  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
6921recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  e.  CC )
7042, 14resubcld 9999 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
7170recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  CC )
72 ax-1cn 9562 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7469, 71, 73addsub12d 9965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^
2 ) )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) ) )
7546, 73, 46adddird 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  =  ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K ) ) )
7646sqvald 12287 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K ) )
7775, 76oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K ) )  -  ( K  x.  K
) ) )
7846, 46mulcld 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  x.  K
)  e.  CC )
79 mulcl 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( 1  x.  K
)  e.  CC )
8072, 46, 79sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  K
)  e.  CC )
8178, 80pncan2d 9944 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K
) )  -  ( K  x.  K )
)  =  ( 1  x.  K ) )
8246mulid2d 9626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  K
)  =  K )
8377, 81, 823eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  K )
8483oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( K  - 
1 ) )
8584oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) ) )
8642recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  e.  CC )
8714recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  CC )
8844recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  CC )
8986, 87, 88subadd23d 9964 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
9074, 85, 893eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
91 2cnd 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
929recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9391, 92, 46mulassd 9631 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  =  ( 2  x.  ( A  x.  K ) ) )
94692timesd 10793 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  x.  K )
)  =  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) ) )
9593, 94eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  =  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) ) )
9695oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  x.  K
)  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^
2 ) )  - 
1 ) )
9821, 21readdcld 9635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  e.  RR )
9998recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  e.  CC )
10099, 87, 73sub32d 9974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  x.  K
)  +  ( A  x.  K ) )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) )
10169, 69, 73addsubassd 9962 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K
) )  -  1 )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  - 
1 ) ) )
102101oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  - 
1 ) )  -  ( K ^ 2 ) ) )
10369, 88, 87addsubassd 9962 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
104102, 103eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
10597, 100, 1043eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
10668, 90, 1053brtr4d 4483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  <_  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
1079, 24, 18, 39, 106ltletrd 9753 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
1086, 9, 18, 20, 107lttrd 9754 1  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ^cexp 12146   Yrm crmy 30765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-numer 14144  df-denom 14145  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-squarenn 30705  df-pell1qr 30706  df-pell14qr 30707  df-pell1234qr 30708  df-pellfund 30709  df-rmx 30766  df-rmy 30767
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  30889  jm3.1  30890
  Copyright terms: Public domain W3C validator