Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem jm3.1lem2 35873
Description: Lemma for jm3.1 35875. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.b  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm3.1.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
jm3.1.d  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelre 11169 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  RR )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
4 jm3.1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
54nnnn0d 10925 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
63, 5reexpcld 12433 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
7 jm3.1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8 eluzelre 11169 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 2re 10679 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
11 remulcl 9624 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
1210, 9, 11sylancr 669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
1312, 3remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  e.  RR )
143resqcld 12442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR )
1513, 14resubcld 10047 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
16 1re 9642 . . 3  |-  1  e.  RR
17 resubcl 9938 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
1815, 16, 17sylancl 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  e.  RR )
19 jm3.1.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( K Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_  A )
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 35872 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  A )
219, 3remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  e.  RR )
22 resubcl 9938 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
233, 16, 22sylancl 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
2421, 23readdcld 9670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  e.  RR )
25 eluz2b1 11230 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  < 
K ) )
2625simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  K )
271, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  K )
28 eluz2nn 11197 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
297, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3029nngt0d 10653 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  A )
31 ltmulgt11 10465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  K  <->  A  <  ( A  x.  K ) ) )
329, 3, 30, 31syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  K  <->  A  <  ( A  x.  K ) ) )
3327, 32mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  x.  K ) )
34 uz2m1nn 11233 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
351, 34syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  NN )
3635nnrpd 11339 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  RR+ )
3721, 36ltaddrpd 11371 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  <  ( ( A  x.  K )  +  ( K  - 
1 ) ) )
389, 21, 24, 33, 37lttrd 9796 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( A  x.  K )  +  ( K  - 
1 ) ) )
39 peano2re 9806 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
403, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
4140, 3remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  e.  RR )
42 resubcl 9938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  K
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
4321, 16, 42sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  RR )
4443, 14resubcld 10047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
453recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
4645exp1d 12411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  =  K )
47 eluz2nn 11197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
4948nnge1d 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  K )
50 nnuz 11194 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
514, 50syl6eleq 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
523, 49, 51leexp2ad 12448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  <_  ( K ^ N ) )
5346, 52eqbrtrrd 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  <_  ( K ^ N ) )
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 9793 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  <  A )
55 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  ZZ )
561, 55syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
57 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
587, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
59 zltp1le 10986 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( K  <  A  <->  ( K  +  1 )  <_  A ) )
6056, 58, 59syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  <  A  <->  ( K  +  1 )  <_  A ) )
6154, 60mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  <_  A )
6248nngt0d 10653 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  K )
63 lemul1 10457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( ( K  + 
1 )  <_  A  <->  ( ( K  +  1 )  x.  K )  <_  ( A  x.  K ) ) )
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1272 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  <_  A  <->  ( ( K  +  1 )  x.  K )  <_  ( A  x.  K ) ) )
6561, 64mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  <_  ( A  x.  K ) )
6641, 21, 44, 65leadd1dd 10227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) )  <_  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
6721recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  K
)  e.  CC )
6841, 14resubcld 10047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
6968recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  e.  CC )
70 1cnd 9659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7167, 69, 70addsub12d 10009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^
2 ) )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) ) )
7245, 70, 45adddird 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  =  ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K ) ) )
7345sqvald 12413 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K ) )
7472, 73oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K ) )  -  ( K  x.  K
) ) )
7545, 45mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  x.  K
)  e.  CC )
76 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
77 mulcl 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( 1  x.  K
)  e.  CC )
7876, 45, 77sylancr 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  K
)  e.  CC )
7975, 78pncan2d 9988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  K )  +  ( 1  x.  K
) )  -  ( K  x.  K )
)  =  ( 1  x.  K ) )
8045mulid2d 9661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  K
)  =  K )
8174, 79, 803eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  K )
8281oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( K  - 
1 ) )
8382oveq2d 6306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) ) )
8441recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 )  x.  K
)  e.  CC )
8514recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  CC )
8643recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  -  1 )  e.  CC )
8784, 85, 86subadd23d 10008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
8871, 83, 873eqtr3d 2493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  =  ( ( ( K  +  1 )  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
89 2cnd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
909recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9189, 90, 45mulassd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  =  ( 2  x.  ( A  x.  K ) ) )
92672timesd 10855 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  x.  K )
)  =  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) ) )
9391, 92eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  =  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) ) )
9493oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^ 2 ) ) )
9594oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  x.  K
)  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^
2 ) )  - 
1 ) )
9621, 21readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  e.  RR )
9796recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  e.  CC )
9897, 85, 70sub32d 10018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  x.  K
)  +  ( A  x.  K ) )  -  1 )  -  ( K ^ 2 ) ) )
9967, 67, 70addsubassd 10006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K
) )  -  1 )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  - 
1 ) ) )
10099oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  - 
1 ) )  -  ( K ^ 2 ) ) )
10167, 86, 85addsubassd 10006 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  K )  +  ( ( A  x.  K )  -  1 ) )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
102100, 101eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  K )  +  ( A  x.  K ) )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
10395, 98, 1023eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K )  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( A  x.  K )  +  ( ( ( A  x.  K )  - 
1 )  -  ( K ^ 2 ) ) ) )
10466, 88, 1033brtr4d 4433 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  K )  +  ( K  -  1 ) )  <_  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 9795 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( ( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 9796 1  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  <  ( (
( ( 2  x.  A )  x.  K
)  -  ( K ^ 2 ) )  -  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ^cexp 12272   Yrm crmy 35749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-squarenn 35686  df-pell1qr 35687  df-pell14qr 35688  df-pell1234qr 35689  df-pellfund 35690  df-rmx 35750  df-rmy 35751
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  35874  jm3.1  35875
  Copyright terms: Public domain W3C validator